2024_2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.2.1双曲线及其标准方程分层作业新人教A版选择性必修第一册

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3.2.1　双曲线及其标准方程A级 必备知识基础练1.已知F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,点P的轨迹分别为(　　)A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线2.(多选题)如果方程=1表示双曲线,则m的取值可能是(　　)A.-4 B.-2 C.-1 D.3.(多选题)双曲线=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离可以为(　　)A.17 B.7 C.22 D.24.如图,已知双曲线的方程为=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为(　　)A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m5.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在(　　)A.一个椭圆上B.一个圆上C.一条抛物线上D.双曲线的一支上6.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为　. 7.已知点F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,则△F1PF2的面积为　　　　　. 8.已知双曲线的方程为x2-=1,如图,点A的坐标为(-,0),B是圆C:x2+(y-)2=1上的点,点M在双曲线的右支上,则|MA|+|MB|的最小值为　　　　. B级 关键能力提升练9.若椭圆=1和双曲线=1的共同焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点,则△PF1F2的面积为(　　)A.3 B.6 C.9 D.810.设P是双曲线=1上一点,M,N分别是两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为　　　. 11.某地发生里氏8.0级地震,为了援救灾民,某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品,要把这批药品沿道路PA,PB送到矩形灾民区ABCD中去,若PA=100 km,PB=150 km,BC=60 km,∠APB=60°.试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近.请说明这一界线是一条什么曲线并求出其方程.参考答案学习单元2　双曲线3.2.1　双曲线及其标准方程1.D　因为|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,所以当a=3时,2a=60,解得m-1.由选项知AD符合.3.CD　设双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,则a=5,b=3,c=,设P为双曲线上一点,不妨令|PF1|=12(12>a+c=5+),∴点P可能在左支,也可能在右支,由||PF1|-|PF2||=2a=10,得|12-|PF2||=10,∴|PF2|=22或2.∴点P到另一个焦点的距离是22或2.4.B　由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.5.D　由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r,∵圆P与圆O和圆M都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=10),则解得A=-,B=-,故双曲线的标准方程为=1.7.16　因为P是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1||PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2==0,所以∠F1PF2=90°,所以|PF1||PF2|=×32=16.8.+1　设点D的坐标为(,0),则点A,D是双曲线的焦点,由双曲线的定义,得|MA|-|MD|=2a=2.所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|.又B是圆x2+(y-)2=1上的点,圆的圆心为C(0,),半径为1,故|BD|≥|CD|-1=-1.从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥+1,当点M,B在线段CD上时,等号成立.即|MA|+|MB|的最小值为+1.9.A　对于椭圆=1,可知长半轴长为5,短半轴长为3,半焦距为4,则|F1F2|=8,设点P(m,n),则解得|n|=,所以△PF1F2的面积为×8×=3.故选A.10.9　如图所示,设双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,则点F1(-5,0)为圆(x+5)2+y2=1的圆心,点F2(5,0)为圆(x-5)2+y2=4的圆心,当|PM|-|PN|取最大值时,点P在该双曲线的左支上,由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=6.由圆的几何性质得|PM|≤|PF2|+2,|PN|≥|PF1|-1,所以|PM|-|PN|≤|PF2|-|PF1|+3=6+3=9.11.解 矩形灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA和PB送药一样远近,依题意知,界线是第三类点的轨迹.设M为界线上的任一点,则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50,∴界线是以A,B为焦点的双曲线的右支的一部分,如图,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,设所求双曲线方程的标准形式为=1(a>0,b>0),∵a=25,2c=|AB|==50,∴c=25,b2=c2-a2=3750,故双曲线的标准方程为=1,注意到点C的坐标为(25,60),故y的最大值为60,此时x=35,故界线的曲线方程为=1(25≤x≤35,y≥0).