2024_2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.2.2双曲线的简单几何性质分层作业新人教A版选择性必修第一册

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3.2.2　双曲线的简单几何性质A级 必备知识基础练1.已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a=(　　)A. B.4C.2 D.2.(多选题)在下列双曲线中,以2x±3y=0为渐近线的有(　　)A.=1 B.=1C.=1 D.=13.已知双曲线方程为x2-=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则直线l共有(　　)A.4条 B.3条C.2条 D.1条4.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=,则双曲线的离心率等于(　　)A.-1 B. C.+1 D.+25.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线方程为(　　)A.y=±x B.y=±xC.y=±x D.y=±x6.已知双曲线=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为　　　　　　. 7.已知F为双曲线C:=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为　　　　. 8.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.9.双曲线=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,求△AFB的面积.B级 关键能力提升练10.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为(　　)A.-y2=1 B.=1C.=1 D.=111.已知双曲线=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线的离心率为(　　)A.+1 B.+1 C.2 D.12.已知直线y=x-2与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B,线段AB的垂直平分线过点(4,0),则双曲线C的离心率为　　　　　. 13.已知点A(-,0)和B(,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.(1)求点C的轨迹方程;(2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D,E两点,求线段DE的长.参考答案3.2.2　双曲线的简单几何性质1.D　∵双曲线的离心率e=,c=,∴,解得a=.故选D.2.ABD　令等式右端为0,解得A,B,D中的渐近线方程均为2x±3y=0,C项中渐近线方程为3x±2y=0.3.B　因为双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x,所以过点P(1,0)且与双曲线只有一个公共点的直线方程为x=1或y=2x-2或y=-2x+2,共有3条.故选B.4.C　不妨设双曲线标准方程为=1(a>0,b>0),依题意知直线PQ所在直线方程为x=c,代入双曲线方程得|PQ|=.因为∠PF1Q=,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=,于是2ac=b2=c2-a2,所以e2-2e-1=0,解得e=+1或e=1-(舍去).故选C.5.C　设双曲线的半焦距为c,则F(c,0),将x=c代入双曲线=1,得y=±,不妨取C,B.又A1(-a,0),A2(a,0),所以=-.因为A1B⊥A2C,所以-=-1,即=1,即=1,所以a=b,故渐近线方程是y=±x=±x.6.y=±x　依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c.因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=b,于是双曲线渐近线方程为y=±x=±x.7.32　根据题意,双曲线C:=1的左焦点F(-,0),所以点A(,0)是双曲线的右焦点,P,Q为双曲线C右支上的两点,虚轴长为6,所以|PQ|=12.双曲线图象如图.|PF|-|AP|=2a=4, ①|QF|-|QA|=2a=4, ②①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=8,故周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.8.解 (1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则2b=8,e=,从而b=4,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.9.解 由题意得,双曲线=1的右顶点A(3,0),右焦点F(5,0),渐近线方程为y=±x.不妨设直线FB的方程为y=(x-5),代入双曲线方程并整理,得x2-(x-5)2=9,解得x=,y=-,所以B,-.所以S△AFB=|AF||yB|=(c-a)·|yB|=×(5-3)×.10.ABD　依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x或y=±x,根据选项检验可知A,B,D均可能.11.B　(方法1)令双曲线的左焦点为F1,连接QF,QF1,图略,由题意可知,焦点三角形QF1F是∠QF1F=的直角三角形.令QF=1,则FF1=2,QF1=,e=+1.(方法2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意,直线PQ的方程为y=x,代入双曲线方程并化简,得x2=,y2=3x2=,故x1+x2=0,x1x2=,y1y2=3x1x2=.设焦点坐标为F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故=0,即(x1-c,y1)(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边同除以a4,得-6-3=0,解得=3+2.故c=+1.故选B.12.　直线y=x-2与线段AB的垂直平分线垂直,则线段AB的垂直平分线的斜率为-1,又线段AB的垂直平分线过点(4,0),∴线段AB的垂直平分线的方程为y=-(x-4),即x+y-4=0.联立解得即AB的中点坐标为(3,1).设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,∵AB的中点坐标为(3,1),AB的斜率为1,∴x1+x2=6,y1+y2=2,=1.则两式作差可得,则×1=,∴双曲线C的离心率e=.13.解 (1)∵点A(-,0)和B(,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.|AB|=2>2,∴点C的轨迹方程是以A(-,0)和B(,0)为焦点的双曲线,且a=1,c=,∴点C的轨迹方程是x2-=1.(2)∵点C的轨迹方程是2x2-y2=2,经过点(2,0)且斜率为1的直线方程为y=x-2.∴联立得x2+4x-6=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=-6,∴|DE|==4.故线段DE的长为4.