2024_2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3.1抛物线及其标准方程分层作业新人教A版选择性必修第一册

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3.3.1　抛物线及其标准方程A级 必备知识基础练1.(多选题)对抛物线y=x2,下列描述正确的是 (　　)A.开口向上,焦点为(0,2)B.开口向右,准线方程为x=-C.开口向右,焦点为D.开口向上,准线方程为y=-22.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是抛物线C上一点,|AF|=x0,则x0等于(　　)A.4 B.2 C.1 D.83.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是平面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹是 (　　)A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线4.已知O是坐标原点,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,M,3是C上一点,则线段OF的长度为(　　)A.9 B. C.3 D.5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若=4,则|QF|等于(　　)A. B. C.3 D.26.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线C:-y2=1的焦距为　　　;若双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,则实数p的值为　　　. 7.已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为　　　　　. 8.若抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,点P(-5,2)到焦点的距离是6,求抛物线的标准方程.B级 关键能力提升练9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且|MF|=6,FM的延长线交y轴于点N.若M为线段FN的中点,则p=(　　)A.2 B.4 C.6 D.810.抛物线y2=16x的焦点到圆C:x2+(y-3)2=1上的点的距离的最小值为(　　)A.0 B.4 C.5 D.611.在平面直角坐标系Oxy中,圆M:(x-1)2+y2=1,点A(3,1),P为抛物线y2=2x上任意一点(异于原点),过点P作圆M的切线PB,B为切点,则|PA|+|PB|的最小值是　　　　　　. 12.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.(1)若点P到直线x=-1的距离为d,点A(-1,1),求|PA|+d的最小值;(2)若点B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.13.已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,且经过点(2,-1).(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程;(2)过点F作斜率不为0的直线交抛物线C于M,N两点,直线y=-1分别交直线OM,ON于A,B两点,求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.参考答案学习单元3　抛物线3.3.1　抛物线及其标准方程1.AD　抛物线方程化成标准方程形式为x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2.2.C　如图,易知点F,0,准线l的方程为x=-.过点A作AA'⊥l,垂足为A',则|AF|=|AA'|,即x0=x0+,解得x0=1.3.D　由题意,知直线C1D1⊥平面BB1C1C,则C1D1⊥PC1,即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离,那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离,所以点P的轨迹是抛物线.4.D　由M,3是抛物线C上一点,得32=3p,解得p=3,所以|OF|=.故选D.5.C　过点Q作QQ'⊥l于点Q',如图.∵=4,∴|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离为4,∴|QF|=|QQ'|=3.6.4　4　在双曲线C:-y2=1中,a2=3,b2=1,∴c2=a2+b2=4,即c=2,因此焦距2c=4.∵双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,∴在抛物线y2=2px(p>0)中,=c,即p=4.7.3　抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离,所以过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线,则点F到直线4x-3y+11=0的距离为d1+d2的最小值,如图所示,故(d1+d2)min==3.8.解 设焦点为F(a,0),依题意有|PF|==6,即a2+10a+9=0,解得a=-1或a=-9.当焦点为F(-1,0)时,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-4x;当焦点为F(-9,0)时,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-36x.综上,抛物线的标准方程为y2=-4x或y2=-36x.9.D　如图,过点M作MA⊥y轴于点A,交抛物线的准线于点B,由题意得F,0,设M,n,由抛物线的定义可知,|MF|=|MB|==6.因为M为线段FN的中点,所以|AM|=|OF|,所以,将其代入=6,可得=6,解得p=8.故选D.10.B　抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),圆C:x2+(y-3)2=1的圆心C(0,3),半径为r=1,|FC|==5,则抛物线y2=16x的焦点F到圆C上的点的距离的最小值为|FC|-r=5-1=4.故选B.11.3　设点P(x,y),可得y2=2x,圆M:(x-1)2+y2=1的圆心M(1,0),半径为1,连接PM,如图所示,|PB|===|x|,即|PB|等于点P到y轴的距离.过点A作y轴的垂线,垂足为K,可得A,P,K三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值|AK|=3,故|PA|+|PB|的最小值为3.12.解 (1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由已知及抛物线的定义,可知|PF|=d,于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.由平面几何知识,知当F,P,A三点共线且P位于A,F中间时,|PA|+|PF|取得最小值,最小值为|AF|=,即|PA|+d的最小值为.(2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2,因为2>2,所以点B在抛物线的右侧.过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图所示).由抛物线的定义,可知|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,所以|PB|+|PF|的最小值为4.13.(1)解因为点(2,-1)在抛物线C上,所以22=-2p×(-1),解得p=2,所以抛物线C的标准方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.(2)证明易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-1(k≠0),联立得x2+4kx-4=0,Δ=16k2+16>0,设点Mx1,-,Nx2,-,则x1+x2=-4k,x1x2=-4.直线OM的方程为y=x,令y=-1,得x=,所以A,-1,同理得B,-1.设以线段AB为直径的圆与y轴的交点为S(0,s),则=,-1-s,=,-1-s,因为,所以=0,即+(-1-s)2=0,所以(s+1)2=-=4,解得s=1或s=-3.故以线段AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)和(0,-3).