2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_1空间向量与立体几何12类选填小题专练教师版

这是一份2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_1空间向量与立体几何12类选填小题专练教师版，共43页。试卷主要包含了空间向量的基本定理，共面向量，投影向量，夹角问题，极化恒等式等内容，欢迎下载使用。
一、空间向量的基本定理
1.如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
二、共面向量
1．共线向量与共面向量的区别
2．直线l的方向向量
如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得＝λa.
定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
3．解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq \(AP,\s\up7(―→))＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→))或eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OC,\s\up7(―→))
(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．
4．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论
(1) eq \(MP,\s\up7(―→))＝xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))；
(2)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OM,\s\up7(―→))＋xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))；
(3)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OM,\s\up7(―→)) (x＋y＋z＝1)；
(4)eq \(PM,\s\up7(―→))∥eq \(AB,\s\up7(―→)) (或eq \(PA,\s\up7(―→))∥eq \(MB,\s\up7(―→))或eq \(PB,\s\up7(―→))∥eq \(AM,\s\up7(―→)))．
三、投影向量
(1)向量a在向量b上的投影
先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a在直线l上的投影
如图②向量c称为向量a在直线l上的投影．
(3)向量a在平面β上的投影
如图③分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，
则向量eq \(A′B′,\s\up7(――→)) (a′)称为向量a在平面β上的投影向量．
四、夹角问题
1.两异面直线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
注意：两异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．
2.直线和平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，
则sin θ＝|cs〈u，n〉|＝eq \f(|u·n|,|u||n|).
注意：(1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．
(2)线面角的范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．
3.两个平面的夹角
（1）两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？
区别：二面角的范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
（2）平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？
提示 两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．
设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，
则cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
注意：(1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题．
(2)两平面的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念．
五、极化恒等式
在三角形ABC中（M为BC的中点），则
A
B
C
M
证明（基底法）：因为，
所以
题型一 通过基底表示目标向量
在四面体中，设，为的中点，为的中点，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为为的中点，为的中点，
所以
.
在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若，，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角形法则和平行四边形法则、数乘运算求解即可.
【解析】
如图，已知空间四边形，分别是的中点，且，，，用表示向量为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接，则，

，所以.
如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，即，
又，
所以.
故选：D

在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.
【解析】由题知，在正四面体中，
因为平面，
所以是的中心，
连接，则，
所以
.

如图所示，已知空间四边形ABCD各边长为2，连接AC、BD，M、G分别是BC、CD的中点，若，则______．
【答案】
【解析】因为M、G分别是BC、CD的中点，所以.
所以.
在中，.
由余弦定理得：.
在中，
.
所以.
题型二 空间向量的基底
给出下列命题:
①若可以作为空间的一组基，与共线，，则也可作为空间的一组基；
②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基；
③是空间四点，若不能构成空间的一组基，那么共面；
④已知是空间的一组基，若，则也是空间的一组基.
其中真命题的个数是（ ）.
A．1B．2
C．3D．4
【答案】D
【解析】根据空间中任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基，显然②正确.
③中由共面且过相同点，故共面.
下面证明①④正确.
①假设与共面，则存在实数，使，
∵与共线，，∴存在实数，使，
∵，∴，从而，∴与共面，与条件矛盾.
∴与不共面.
同理可证④也是正确的.
设，，，且是空间的一组基，则不能作为空间一组基的向量组是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如图作平行六面体，使，

则，
由平行六面体的性质知：向量不共面；向量不共面；向量不共面．
由知，向量共面．
已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基底的向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】向量是不共面的三个向量，
对于A，，则向量共面，A不是；
对于B，，则向量共面，B不是；
对于D，，则向量共面，D不是；
对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，
整理得，而向量不共面，则有，显然不成立，
所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C是.
已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（ ）
A．，，共线B．O，A，B，C中至少有三点共线
C．与共线D．O，A，B，C四点共面
【答案】D
【分析】根据空间向量基本定理即可判断
【解析】由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面
已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．两两共面，但不共面
C．一定存在x，y，使得
D．一定能构成空间的一个基底
【答案】C
【分析】利用向量的线性关系、向量的基底的定义和空间向量基本定理，即可求解．
【解析】对于A，若不全为0，则 共面，与题意矛盾，故A正确；
对于B，是空间的一个基底,则 两两共面，但 不共面，故B正确；
对于C， 不共面，则不存在实数，使得 ，故C错误；
对于D，若 共面， ， 无解，
故 不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确
已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果．
【解析】向量在基底下的坐标为，则，
设在基底下的坐标为，
则，
所以，解得，
故在基底下的坐标为．
已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ）
A．0B．C．9D．
【答案】D
【分析】依题意可得共面，则，其中，根据空间向量坐标运算得到方程组，解得即可.
【解析】不能构成空间的一个基底，共面，则，其中，
则，
，解得.
题型三 空间向量共面问题
下列条件能使点与点一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.
【解析】设，若，则点共面．
对于A，，由于，故A错误；
对于B，，由于，故B错误；
对于C, ，由于，故C错误；
对于D，，由于，得共面，故D正确.
（多选）下列各组向量中共面的有（ ）
A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）
B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）
C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）
D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）
【答案】ABC
【分析】三个向量中如果两个向量共线或者其中一个向量可以用其他两个向量进行表示可以判定三个向量共面.
【解析】选项A中，设，则解得故存在实数使得，因此共面.
选项B中，选项C中.故B，C中三个向量也共面.
选项D中，设，则显然无解，故不共面.
已知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】利用向量共面定理，设，列出方程组，即可求出实数．
【解析】，三向量共面，
可设，即，
，解得．
已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解.
【解析】由题意，设存在唯一的实数对，使得，
即，
则，
则x=2，，，解得.
已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】四点共面的充要条件是，，整理可得，
由，则，解得
已知，，，四点在平面内，且任意三点都不共线，点在外，且满足，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据空间向量的共面定理可求的值.
【解析】因为点在外，由空间向量的共面定理可知且；
由题意，所以；
所以，解得.
已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据四点共面的充要条件及其推论，即可得出答案.
【解析】由与三点共面以及，
可得，，所以.
设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一组数对是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】空间一点满足，若四点共面，则
选项A：.判断错误；
选项B：.判断错误；
选项C：.判断正确；
选项D：.判断错误.
题型四 空间向量平行或垂直
已知m，n是实数，若点，在同一直线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三点共线列方程，化简求得，进而求得.
【解析】，
依题意，三点共线，
所以，解得.
如图，在棱长为的正方体中，是底面正方形的中心，点在上，点在上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，，其中，，由求出的值，即可得解.
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、，设点，，其中，，
，，
因为，则，解得，故.
题型五 投影问题
已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为_______．
【答案】
【解析】由题意可知，在方向上投影的模为
已知直线l的方向向量为，点在l上，则点到l的距离为（ ）
A．B．1C．3D．2
【答案】B
【分析】结合点到直线距离公式分别计算模长与夹角的正弦值即可计算.
【详解】由题可知，点到l的距离为，，，，，则，则，故点到l的距离为.
四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点和点分别作直线的垂线，由垂足确定在向量上的投影向量.
【解析】四棱锥如图所示，
底面是矩形，∴，
底面，底面，∴，
过向量的始点作直线的垂线，垂足为点，过向量的终点作直线的垂线，垂足为点，在向量上的投影向量为，由底面是矩形,
题型六 夹角问题
已知向量，若，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【解析】由，
得，则，
设向量与的夹角为，则，又，所以，
因为，所以向量与为相反向量，所以与的夹角为.
若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为与的夹角是锐角，所以，
即，解得，
若与的夹角为，则存在，使，
即，所以，解得.故t的取值范围是.
已知，．若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据题意得出且与不共线，根据数量积公式列出不等式并排除向量反向时的值，即可得出答案.
【解析】由题意可知，，且与不共线．由，解得．若与共线，
则，即，则，与方向相反需要舍去，
因此实数的取值范围为．
（2023秋·广东深圳·高二统考期末）在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】过B作Bz//AS.以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.
【详解】过B作Bz//AS.以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
不妨设，则，，，.
所以,.
设直线与夹角为，则.
如图，在直三棱柱中，，且，已知E为BC的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直三棱柱的几何性质，补形成正方体，利用异面直线夹角的定义，结合余弦定理，可得答案.
【详解】由题意，可得该三棱柱可看作正方体的一半，补形如下图所示：
记的中点为，连结，
因为在正方形，是的中点，
所以，
又，所以，
故四边形是平行四边形，则，
则为直线与的夹角或其补角，
设该正方体的边长为，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，.
如图，在直三棱柱中，，，点E是棱上一点，且，则异面直线与AE所成角的余弦值为________.
【答案】
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设异面直线与所成角为，则
在如图所示的正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
【答案】
【详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为2，
则， ， ， ，
， ，
设异面直线与所成角为，则．
异面直线与所成角的余弦值为．
正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】如图所示建立适当空间直角坐标系，
，
在两条异面直线，上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设两条异面直线，所成的角为，将等式两边同时平方计算可得答案．
【详解】如图，设两条异面直线，所成的角为，
，，，，，，
，
则
，
得或（舍去）
已知在大小为的二面角中，，，于点，于点，且，则直线与所成角的余弦为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以、为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出，利用勾股定理可求得的长，即可求解
【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接，
因为，，则，
又因为，，，故二面角的平面角为，
因为四边形为平行四边形，则，，
所以在中，，则，
，则，，，平面，
故平面，
因为平面，则，故.
，所以直线与所成角相当于直线与所成角，即，
所以
题型七 空间向量数量积
设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：
①；②；③；④.
其中正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用空间向量数量积的定义可判断①、②、③；利用空间向量数量积的运算律可判断④.
【解析】对于①，，①正确；
对于②，向量不能作比值，即错误，②错误；
对于③，设、的夹角为，则，③错误；
对于④，由空间向量数量积的运算性质可得，④正确.
设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；
【解析】解：对于A：，故A正确；
对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确
已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的模长公式即可求解.
【解析】因为
，所以．
在棱长为1的正方体中，为上任意一点，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算法则可得，再根据数量积的运算律和运算公式结合图形求
【解析】由图形可得，
所以，
由正方体性质可得，所以，
所以，又，与方向相反，所以.

已知，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知，故，
则，即的最小值是
设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】依题意，由
，，
故,
所以
．
平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________．
【答案】1
【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案.
【解析】由题意得， ，
则
,
故答案为：1.
已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______
【答案】
【解析】因为点在直线上运动，所以存在，使得，
因为，所以，所以点的坐标为.
所以，，
所以，
所以当时，取最小值，此时点的坐标为.
题型八 利用空间向量求模长
已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，，若和相交于点M.则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】依题意可知是的中点，
所以
，
所以
.
故选：D

平行六面体中，，，则的长为（ ）
A．10B．C．D．
【答案】B
【分析】由，两边平方，利用数量积运算性质即可求解．
【解析】如图，

由题知，,
，，
.
，
，
即的长为.
平行六面体中，， ，，，则向量 的模长__________ .
【答案】
【解析】画出图形，根据条件得出，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【解析】如图所示，四棱柱中，，，，
且，
所以，
所以
.
故答案为：.
已知空间向量的模长分别为，且两两夹角均为.点为的重心，若，，则___________.
【答案】
，由平面向量数量积定义和运算法则可求得，进而得到.
【解析】为的重心，设中点为，，
，
，
，.
题型九 立体图形中的极化恒等式
已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解
【解析】设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以，，
所以，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；
所以，所以的取值范围为
如图，半径为1的球是圆柱的内切球，线段是球的一条直径，点是圆柱表面上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先把都用表示，再根据的模长的范围求出数量积的范围即可.
【详解】，
因为线段是球的一条直径，
,
，又，，
已知是棱长为的正方体外接球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据已知条件及正方体的体对角线为正方体外接球的直径，再利用平面向量的数量积的运算，结合平面向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意可知，为棱长为的正方体外接球的一条直径，为球心，为正方体表面上的任意一点，如图所示
则球心也就是正方体的中心，
所以正方体的中心到正方体表面任意一点的距离的最小值为正方体的内切球半径，它等于棱长的一半为,的长为正方体的对角线长为.
，所以的最小值为.
已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】因为球是正方体的内切球，是球的直径，
所以，，，
因为，
又因为点是正方体表面上的一个动点，
所以当点为正方体顶点时，有最大值，最大值为，
当点为内切球与正方体的切点时，有最小值，最小值为，
即，
即的取值范围为
已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，取中点为，则，再结合向量的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】
取中点为，因为，，
所以，
又，则，
又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则，，
所以，
所以，
所以当，反向时，，有最小值为；
当，同向时，，有最大值为.
正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为 .
【答案】
【分析】利用等体积法求得，根据空间向量运算可得，则当的长度最小时，取得最小值，结合正四面体的结构特征运算求解.
【详解】设的中点为，的中心为，连接，
因为四面体是棱长为1的正四面体，可知，
即四面体的高为，则其体积为，
设正四面体内切球的半径为，
由等体积可得，解得，
如图，取的中点为，
则，
显然当的长度最小时，取得最小值.
设正四面体内切球的球心为，可求得，
因为球心到点的距离，
所以球上的点到点的最小距离为，
即当取得最小值时，点到的距离为.
故答案为：.
题型十 点到平面距离问题
是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为
【答案】
【分析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，的坐标，利用距离公式，即可得到结论.
【详解】解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
设平面的法向量是，
，
∴由，可得
取得，，∴到平面的距离.
将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为______．
【答案】
【详解】记AC与BD的交点为O，图1中，由正方形性质可知，
所以在图2中，，所以，即
如图建立空间直角坐标系，易知
则
则
设为平面ABC的法向量，
则，取，得
所以点到平面的距离
故答案为：
题型十一 利用空间向量求最值与范围
如图所示，在正方体中，点是底面内（含边界）的一点，且平面，则异面直线与所成角的取值范围为____________
【答案】
【详解】过作平面平面，
因为点是底面内（含边界）的一点，且平面，
则平面，即在与平面的交线上，
连接，因为且，所以四边形是平行四边形，所以，平面，
同理可证平面，所以平面平面，
则平面即为，点在线段上，
设正方体的棱长为，且，
则，
，可得，
设与所成角为，
则，
当时，取得最小值，最小值为，当或时，取得最大值，最大值为．
正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出的取值范围．
【解析】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，．
，，．
点在线段上运动，
，且．
，
，
∵，∴，即
如图，在正方体中，动点在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是 .（用区间表示）
【答案】
【分析】利用，得出，通过线面垂直的判定定理和性质定理可得到，通过几何关系可得到，可知的最小值为与平面所成的角.设的交点为O，则为与平面所成的角.所以的最小值为.的最大值为点在点处，此时.
【详解】连结,
由正方体的性质可得，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以异面直线和所成的角即直线与所成的角，
连接的交点为O，过点作直线的垂线，垂足为，
因为平面，平面，
显然,，
又平面,所以平面,
因为平面,所以,,
又因为，平面，所以平面，
又平面，，
易知,所以有，，，可得,
由正方体的性质可知，显然为锐角，所以，得，即，
所以当，即点在上时，此时有最大值为，此时最小为；
显然当点在时，此时有最大值，因为，此时有最大值，显然为正三角形，所以此时；故
在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用点到面的距离的向量求法和可构造方程组求得坐标，利用可求得结果.
【详解】以为坐标原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设关于平面的对称点为，
则，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
与到平面的距离，
又，，
，，，，
（当且仅当三点共线时取等号），
即的最小值为.
题型十二 综合性问题
（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面交于点O，M是棱上的动点，则（ ）
A．三棱锥体积的最大值为
B．存在点M，使平面
C．点M到平面的距离与点M到平面的距离之和为定值
D．存在点M，使直线与所成的角为
【答案】ABC
【分析】根据题意以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为轴，利用向量法判断CD，根据底面积不变，高最大时，锥体体积最大，判断A选项.根据线面平行的判定定理判断B即可求解.
【详解】以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设，
则,
由是棱上的动点，设，
,因为底面为正方形，故,
又底面所以,
又,所以底面,所以当与D重合时，三棱锥体积的最大且为，故A对.
当为中点时，是的中位线，所以，又平面，
平面，所以平面，故B正确；
点到平面的距离，点到平面的距离
,所以，故C正确.
,,若存在点，使直线与所成的角为30°
则，化简得，无解，
故D错误
（多选）如图，在棱长为1的正方体中，O为面的中心，E、F分别为BC和的中点，则（ ）
A．平面B．平面与平面相交
C．点О到直线的距离为D．点O到平面的距离为
【答案】BC
【分析】建系，利用空间向量处理线、面关系以及距离问题.
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则有：，
设平面的法向量为，
由，则，
令，则，则，
设平面的法向量为，
由，则，
令，则，则，
对A：∵，则，即与不共线，
∴不与平面垂直，A错误；
对B：∵，则与不共线，
∴平面与平面相交，B正确；
对C：∵，则，即为锐角，
∴，
故点О到直线的距离为，C正确；
对D：点O到平面的距离为，D错误.
故选：BC.
（多选）如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段上存在点，使平面//平面
C．当时，直线与平面所成角的正弦值为
D．三棱锥的外接球半径的最大值为
【答案】ACD
【分析】A选项，使用等体积法，面面平行进行证明；
B选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行证明；
C选项，根据先求出的坐标，然后利用向量的夹角公式计算；
D选项，找到外接球的球心，表达出半径，求出最大值.
【详解】对于A选项，因为平面//平面，而平面，故//平面，
因为点为面对角线上一个动点，故点到面距离不变，为，
因为分别为棱的中点，故为定值，
故三棱锥，而三棱锥的体积，A选项正确；
对于B选项，如图1，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，设（），
平面的法向量为，则，令，则，，则，
设平面的法向量，则，令，则，，
所以，
若平面//平面，则存在，使得，即，解得：，，
因为，故不合题意，
所以线段上不存在点，使平面//平面，B选项错误；
对于C选项，，，，若，即，解得，
此时，又，，显然平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，则，C选项正确；
对于D选项，如图2，连接，交EF于点J，则为EF的中点，，则三棱锥的外接球球心的投影为，
过点作于点，则平面，，找到球心位置，连接，则为外接球半径，
过点作于点，则，，设（），，
由勾股定理得：，，从而，解得：，
要想半径最大，则只需最大，即最大，当时，最大为，此时半径的最大值为，故D正确.

（多选）如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，点是棱的中点，点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．存在点使得平面
B．当时，存在点使得直线与平面所成的角为
C．当时，满足的点有且仅有两个
D．当时，满足的点的轨迹长度为
【答案】AD
【分析】根据直棱柱的性质及面面平行的性质判断A，建立空间直角坐标系，利用空间向量判断B、C、D.
【详解】解：如图建立空间直角坐标系D-xyz，则，，，，
对于A：由直棱柱的性质可知平面平面，当时平面，故A正确；
对于B：当时，设，，则，
显然平面的法向量可以为，
设直线与平面所成的角为，则，
若直线与平面所成的角为，则，即，
所以，因为，所以，，
所以，故不存在使得，
即不存在点使得直线与平面所成的角为，故B错误；
对于C：由，，
因为，所以，
所以，所以，即，所以满足的点有且仅有个，故C错误；
对于D：当时，，，，
因为，所以，即，
由，
又，则圆心，半径为的圆与轴、轴分别交于点、，如下图所示：
过点作交于点，则，所以，则，又，
所以，所以，
圆弧的长度，所以点的轨迹长度为，故D正确；
共线(平行)向量
共面向量
定义
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb