2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_2空间向量与立体几何20类解答题专练学生版

这是一份2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_2空间向量与立体几何20类解答题专练学生版，共24页。试卷主要包含了平行证明，垂直证明，点到平面的距离，异面直线所成角，线面角，面面角，二面角等内容，欢迎下载使用。
一、平行证明：
中位线法，平行四边形法，构造平行平面法
证明四点共面一般转化为证明平行
二、垂直证明
证明直线与直线垂直：
1、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。这是证明直线与直线垂直最常用的方法。
2、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
3、三垂线定理及其逆定理。
4、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长是一组勾股数，则这个三角形是一个直角三角形。
5、等腰三角形三线合一：等腰三角形底边上的中线、顶角角平分线和底边上的高是同一条线段。
6、菱形对角线互相垂直。
7、矩形的相邻两边垂直。
8、全等或相似三角形中的垂直
证明直线与平面垂直：
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2、如果两个平面垂直，那么其中一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
3、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
4、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面。
证明平面与平面垂直：
1、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。
2、如果二面角的平面角是直角，那么二面角的两个面所在的平面互相垂直。
3、直棱柱的底面垂直于侧面。
三、点到平面的距离
（1）法一：等体积法
（2）法二：法向量：如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
四、异面直线所成角
已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则
①②.
五、线面角
范围：，公式：
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
六、面面角
范围：，公式：
七、二面角
范围：，公式：
模块一 平行证明（拆分练习）
母题：如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，AB∥CD，CD＝2AB，E是PC的中点．
方法一：作相交平面找线
证明BE//平面PAD

若F是DC的中点，证明PA//平面BEF
方法二：BE//平面PAD（正向平移法：构造平行四边形）
（3）方法三：BE//平面PAD（反向平移法：构造面面平行）
【题型1】由中位线得出平行关系
如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

证明：平面；
【题型2】构造平行四边形得到平行关系
如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足，证明：直线平面
【题型3】由面面平行得出线面平行
如图，四边形ABCD为矩形，P是四棱锥P－ABCD的顶点，E为BC的中点，请问在PA上是否存在点G，使得EG∥平面PCD，并说明理出
如图，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，
DG⊥平面ABCD，，若M为的中点，N为的中点，
求证：MN//平面．

【题型4】构造2个平面的交线
如图，三棱柱中，E，P分别是和CC1的中点，点F在棱上，且，证明：平面EFC．
如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，且PD⊥面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． 证明：l∥CB
模块二 垂直证明（拆分练习）
【题型5】证明线面垂直
如图，在四棱锥中，已知、，，，平面，求证：平面.
如图，在四棱锥中，，，，，点为的中点，且平面．求证：平面
【题型6】证明异面直线垂直
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．证明：；
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．证明：；
如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.证明：
【题型7】证明面面垂直
在四棱锥中，底面是正方形，若，，，求证：平面平面
图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面
【题型8】平行垂直的向量证明方法
如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点．求证：平面；
如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点，交于点E．证明：.
如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，E为PD的中点，.求证：PB平面AEC；
模块三 点与面
【题型9】证明四点共面
如图，在长方体中，点分别在棱上，2DE＝ED1 ，
BF＝2FB1 ，证明：点在平面内．
如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2， 判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由．
如图，四棱锥的底面为正方形，平面，.
(1)证明：四点共面；
(2)求点到平面的距离.
【题型10】求点到平面的距离
如图，直三棱柱的体积为4，的面积为，求A到平面的距离
如图，在底面为梯形的四棱锥中，底面，.
(1)证明：平面.(2)延长至点，使得，求点到平面的距离.
如图，在正方体中，．

(1)求证：；(2)求点到平面的距离．
如图，在直三棱柱中，．

(1)求证：；(2)求点到直线的距离．
模块四 空间中的角
【题型11】异面直线夹角
如图，三棱锥中的三条棱两两互相垂直，，点满足．若，求异面直线与所成角的余弦值．
如图，在四棱锥中，平面，，，，且直线与所成角的大小为.
(1)求的长；(2)求点到平面的距离.
【题型12】求线面角
在四棱锥中，底面．
(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，．
(1)证明：
(2)若平面平面PCD，且，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．
【题型13】求二面角（重点）
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；（2）求二面角的正弦值．
如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
如图，在三棱台中，.
(1)求证：平面平面；(2)若四面体的体积为2，求二面角的余弦值.
【题型14】求面面角（重要）
如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点.
(1)证明：平面平面；(2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值.
【题型15】已知线面角或二面角，求其它量（重要）
如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均为正三角形，，点M为线段CD上一点．

(1)求证：；
(2)若EM与平面ACD所成角为，求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值．
如图（1）所示，在中，，过点作，垂足在线段上，且，，沿将折起（如图（2）），点、分别为棱、的中点.
（1）证明：；
（2）若二面角所成角的正切值为，求二面角所成角的余弦值.
如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，平面平面，为线段的中点，是线段（不含端点）上的一个动点．
(1)记平面交于点，求证：平面；
(2)是否存在点，使得二面角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，
(1)证明：平面平面；
(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，E为CD的中点，M在AB上，且，

(1)求证：平面PAD；
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
(3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为，求AF的长．
【题型16】与角有关的最值与范围问题（难点）
如图AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C为圆周上不同于A，B的任意一点．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)设PA=AB=2AC=4，D为PB的中点，M为AP上的动点（不与A重合）求二面角A—BM—C的正切值的最小值．
在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3.
(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)若点P为四棱锥Q－ABCD的侧面QCD内（包含边界）的一点，且四棱锥P－ABCD的体积为，求BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值.
如图，四棱锥中，，，平面平面.

(1)证明：平面平面；
(2)若，，，与平面所成的角为，求的最大值.
模块五 探究类问题
【题型17】 验证满足平行条件的点是否存在
如图，在正方体中，点为线段上的动点，，分别为棱，的中点，若平面，求．
如图1所示，在矩形中，，，点为线段上一点，，现将沿折起，将点折到点位置，使得点在平面上的射影在线段上，得到如图2所示的四棱锥．在图2中，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
如图，在四棱柱中，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，，侧棱⊥平面ABCD，．

(1)求平面与平面的夹角的余弦值．
(2)设E是的中点，在线段上是否存在一点P，使得平面PDB？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【题型18】 验证满足垂直条件的点是否存在
如图，在棱长为1的正方体中，是的中点，在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在线段上，，，，是的中点，四面体的体积为．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在一点，使，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
三棱柱被平面截去一部分后得到如图所示几何体，平面，，，为棱上的动点（不包含端点），平面交于点，试问是否存在点，使得平面平面？并说明理由．
斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；
斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；
如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.

(1)求证：平面；
(2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【题型19】 验证满足角度条件的点是否存在
已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.
(1)证明：；
(2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
【题型20】已知点到平面距离，求参数
如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求：二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由．