2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_5抛物线15类常考题型汇总练习教师版

这是一份2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_5抛物线15类常考题型汇总练习教师版，共29页。试卷主要包含了抛物线标准方程的几种形式，圆锥曲线第二定义，抛物线的简单几何性质，抛物线的焦点弦等内容，欢迎下载使用。
一、抛物线标准方程的几种形式
二、圆锥曲线第二定义
结论：动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为一个常数，即eq \f(|MF|,|MA|)＝e.
(1)当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；
(2)当e＝1时，动点M的轨迹是抛物线；
(3)当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．此时定点F为圆锥曲线的一个焦点，定直线l叫做圆锥曲线对应该焦点F的一条准线x＝eq \f(a2,c)，常数e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义(也称为第二定义)．
三、抛物线的简单几何性质
四、抛物线的焦点弦
1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(3)S△ABO＝eq \f(p2,2sin θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p
模块一 抛物线的概念与基本性质
【题型1】抛物线的焦半径相关计算
（2023·雅礼中学高二期中）抛物线焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则由得，即，则，则，则，解得，即抛物线的方程为．
．
若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解析】根据抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，得到点P(3，±2)，然后利用抛物线的定义求解.
【详解】由题意，知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，
∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，
则P(3，±2)，
∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.
(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线的斜率为eq \r(3)且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是( )
A．p＝2B．F为AD中点
C．|BD|＝2|BF|D．|BF|＝2
【答案】A、B、C
【详解】如图，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l的斜率为eq \r(3)，
则直线方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))))得12x2－20px＋3p2＝0.
解得xA＝eq \f(3,2)p，xB＝eq \f(1,6)p，由|AF|＝eq \f(3,2)p＋eq \f(p,2)＝2p＝4，得p＝2.
∴抛物线方程为y2＝4x.
xB＝eq \f(1,6)p＝eq \f(1,3)，则|BF|＝eq \f(1,3)＋1＝eq \f(4,3)，|BD|＝eq \f(|BF|,cs 60°)＝eq \f(\f(4,3),\f(1,2))＝eq \f(8,3)，∴|BD|＝2|BF|，
|BD|＋|BF|＝eq \f(4,3)＋eq \f(8,3)＝4，则F为AD中点，∴运算结论正确的是A、B、C.
【题型2】抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
【答案】8
【解析】|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标为________．
【答案】eq \f(15,8)
【解析】设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A′，Q，B′.由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝eq \f(|AA′|＋|BB′|,2)＝2.又|PQ|＝y0＋eq \f(1,8)，所以y0＋eq \f(1,8)＝2，则y0＝eq \f(15,8).
【题型3】抛物线的轨迹问题
若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．抛物线C．直线D．双曲线
【答案】B
【详解】动点到点的距离和它到直线的距离相等，而点不在直线，
所以动点的轨迹是以点到直线的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线.
设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，，
又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，
因为动点到的距离等于到的距离，所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为．
（多选）已知抛物线的焦点为F，定点和动点A，B都在抛物线C上，且（其中O为坐标原点）的面积为4，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．抛物线的标准方程为
C．设点R是线段AF的中点，则点R的轨迹方程为
D．若，则弦AB的中点N的横坐标的最小值为3
【答案】BD
【详解】对于A，B，点在抛物线上，，即，
的面积为4，，解得，
，抛物线的标准方程为，故A错误，B正确；

对于C，设点，，
则，
又是抛物线上任意一点，，即，故C错误；
对于D，设，弦AB的中点，
则，
，当且仅当A，B，F三点共线时取等号，
弦AB的中点的横坐标的最小值为3，故D正确．
若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ．
【答案】
【详解】将化为，
动点到点的距离比它到直线的距离大1，
则动点到点的距离与它到直线的距离相等，
由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线，
该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右，
设，所以，解得，所以抛物线方程为
若动圆M经过双曲线的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是 ．
【答案】
【详解】双曲线的左焦点为F（－2，0），动圆M经过F且与直线x＝2相切，
则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，
由抛物线的定义知圆心的轨迹是焦点为F，准线为x＝2的抛物线，其方程为．
【题型4】抛物线的光学性质
探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝eq \f(25,4)xB．y2＝eq \f(45,4)x
C．x2＝－eq \f(45,2)yD．x2＝－eq \f(45,4)y
【答案】C
解析：如果设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝eq \f(45,2)，所以所求抛物线方程为y2＝eq \f(45,2)x.虽然选项中没有y2＝eq \f(45,2)x，但C中的2p＝eq \f(45,2)符合题意
抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反射），过抛物线上一点作其切线交准线于点，，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若．则 ， ．

【答案】
【解析】由抛物线的光学性质知平分，又，所以，所以，
由得，
设准线交轴于点，则，且，且，所以
，所以．
抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则 ．
【答案】
【解析】如图，由题意可知轴，，
将代入中得，即,
又，则，故的方程为，联立，
可得，解得，或（此时C与B关于x轴对称，不合题意），
则，故，
故答案为：.
根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 .
【答案】
【解析】由条件可知AQ与x轴平行，令，可得，故A点坐标为，
因为 经过抛物线焦点，所以 方程为，
整理得，联立，得，，所以，
又，所以，，
所以.
【题型5】抛物线的实际应用问题
如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，利用抛物线方程运算即可得解.
【详解】解：

如上图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则，
设抛物线方程，将点代入抛物线方程解得：，
∴抛物线方程为，
∵行车道总宽度，
∴将代入抛物线方程，解得：，
∴车辆通过隧道的限制高度为
石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用点的纵坐标求解.
【详解】以拱桥的顶点为原点建立平面直角坐标系，则拱桥所在抛物线如图，

设抛物线的标准方程为，
由题意知，点在抛物线上，
代入抛物线方程可得，
解得，
所以抛物线方程为，
由题意，当水面下降0.9m时，点在抛物线上，
代入抛物线方程可得，解得，
所以水面的宽度为.
为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（ ）
A．2mB．3mC．2.5mD．1.5m
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得的高度．
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为，
因为点，所以，解得，所以抛物线方程为，
点在抛物线上，所以，解得，
所以，所以管柱的高度为．
如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果.
【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上，
所以，，可得，所以，抛物线的方程为，
当水面上升后，即当时，，可得，
因此，当水面上升后，桥洞内水面宽为.
图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，水面宽4m，水面下降2m后，水面宽8m，则桥拱顶点O离水面l的距离为 .
【答案】
【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，，，对应的坐标为，代入抛物线，解得答案.
【详解】如图所示，建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，
抛物线方程为，，
设，水面下降2m后，水面宽8m，对应的坐标为，
则，解得，故拱顶点O离水面l的距离为.
一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度 米．
【答案】3.84.
【分析】建立直角坐标系.利用待定系数法求出抛物线的标准方程，求出点的坐标，即可求出支柱的长度.
【详解】建立如图所示的直角坐标系,使抛物线的焦点在y轴上.可设抛物线的标准方程为：.
因为桥的跨度米，拱高米，所以,
代入标准方程得：，解得：，所以抛物线的标准方程为
把点的横坐标-2代入,得，解得：，
支柱的长度为(米).即支柱的长度为3.84(米).
【题型6】利用几何性质计算求值
已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则 .
【答案】3
【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，，
则.根据抛物线定义知，，
设，因为，所以，
∴.
设，所以，所以
在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，过的直线l与C交于A，B两点．若的面积等于的面积的2倍，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，过做垂直准线于点，过做垂直准线于点，由面积关系可得为中点，从而得到结果.
【详解】
由题意可得如图所示图形，过做垂直准线于点，过做垂直准线于点，
由抛物线的定义可知，，，
因为抛物线C：，则，
设的面积为，则的面积也为，的面积为，
所以，即，即为中点，
所以.
已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若，则
【答案】4
【分析】先求出准线方程为，根据抛物线定义把焦半径转化为焦点到准线距离，在直角梯形中由平行线得比例线段，从而可得，即，从而可得．
【详解】易知焦点F的坐标为，准线方程为，如图，作于，于，
，可知线段BM平行于AF和DN，因为，，，
所以，又由定义知，
所以.

已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则 ．
【答案】4
【分析】做准线于点，轴于点可得，，再由抛物线定义可得答案.
【详解】如图，做准线于点，轴于点，所以，
因为， 所以，所以，
解得.

焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据在抛物线上，代入解得值，从而得到坐标，在根据，得到是线段垂直平分线与线段垂直平分线的交点，求出两条垂直平分线方程，进而求出坐标.
【详解】解：焦点为的抛物线上有一点，
则，解得，所以抛物线方程为，
则焦点，，
因为，所以是线段垂直平分线与线段垂直平分线的交点.
线段垂直平分线方程为，
因为点与点的中点坐标为，直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线斜率，
所以线段的垂直平分线方程为，
则，解得，所以坐标为
模块二 抛物线中最值问题
【题型7】对称轴上的点到抛物线距离最小问题
已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．
【答案】eq \f(\r(7),2)
解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝eq \r(x－22＋y2)＝eq \r(x－22＋x)＝eq \r(x2－3x＋4)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋\f(7,4)).所以当x＝eq \f(3,2)时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq \f(\r(7),2)
已知抛物线，点A的坐标为，则抛物线上距离点A最近的点P的坐标为 ，距离＝ ，
【答案】；
【详解】设抛物线上任一点P的坐标为，则，
则，
因为，且在此区间上随着x的增大而增大，
所以当x＝0时，取得最小值，最小值为，则的最小值为.
故距离点A最近的点P的坐标为，距离是
已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．2D．3
【答案】B
【详解】由题意知，，设，则，
所以，

故当时，，所以.
已知点在抛物线上，且为焦点，若为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为 .
【答案】
【详解】解：已知点在抛物线上，且为焦点，
由定义知，，抛物线.
设，由题意知，
则，当时，取得最小值8，
则的最小值为.
【题型8】直线到抛物线距离最小问题
（2023上·广东广州·高二统考期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.
【详解】设与直线平行的直线的方程为，
∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，
设切点， ，所以，
，，，
点，直线的方程为，
两点间距离的最小值为平行线和间的距离，
两点间距离的最小值为.
已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．
【答案】eq \f(5\r(2),4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
【解析】：设点P(x0，y0)是y2＝2x上任意一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离d＝eq \f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq \f(|y\\al(2,0)－2y0＋6|,2\r(2))＝eq \f(|y0－12＋5|,2\r(2))，当y0＝1时，dmin＝eq \f(5,2\r(2))＝eq \f(5\r(2),4)，此时x0＝eq \f(1,2)，所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为 .
【答案】
【分析】利用抛物线的定义将距离和最小值转化为点到直线的距离求解即可.
【详解】直线为抛物线的准线，为抛物线的焦点，

过点作于，作于，过作于，
由抛物线的定义可得，
，当三点共线时等号成立，
又，
即动点到直线和的距离之和的最小值为.
【题型9】抛物线中的线段和差最值问题
已知P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，
则|PA|＋|PQ|的最小值为________．
[答案] 9
[解析] 抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，延长PQ交准线于点M，如图所示．根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.
所以.
已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）．
A．13B．12C．10D．8
【答案】A
【详解】，故，记抛物线的准线为，则：，
记点到的距离为，点到的距离为，
则.

已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为 .
【答案】
【详解】抛物线，即，其焦点为，抛物线的准线为，
圆变形为，
则圆心为抛物线的焦点，半径为.
点为抛物线上任意一点，当三点共线，取最小值时，最小值为.如图，
过点作于点，由抛物线定义可知，
所以取最小值时，即取最小值，
，
当三点共线，当时，等号成立.
，则的最小值为.
【题型10】其它最值问题
知抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且AB的中点到x轴的距离为6，则的最大值为 ．
【答案】20
【分析】根据抛物线的定义，结合梯形中位线定理、两点间线段最短进行求解即可．
【详解】由题意知，抛物线C的准线方程为．
设AB的中点为M，分别过点A，B，M作准线的垂线，垂足分别为C，D，N．

因为M到轴的距离为6，所以．
由抛物线的定义知，
所以．
因为，当点F在线段AB上时等号成立，
所以，即的最大值为20．
已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值 .
【答案】4
【详解】设圆心为，则为抛物线的焦点．设，则，
要使最小，则需最大，，且，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值是4．
故答案为：4．

点A，B是抛物线上的两点，F是抛物线C的焦点，若，中点D到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由抛物线几何性质可得，再由勾股定理和基本不等式可得.
【详解】在中，，
，
由抛物线几何性质可得，
所以，即，，
当且仅当时等号成立.
已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是的中点，作垂直于准线，垂足为N，若以为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为________
【答案】
【解析】设，，
由抛物线的定义可得，
以为直径的圆M经过焦点F，
∴，，
，
当且仅当时，即时等号成立.

已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点），若，过的中点作于点，则的最小值为 ．
【答案】1
【分析】结合图形，利用抛物线的定义和基本不等式即可求解.
【详解】
过点作于点，过点作于点，
设，，所以，
因为
，
所以，则的最小值为，当且仅当时，等号成立．
已知点是抛物线上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据已知条件将问题转化为抛物线上的动点到直线和轴的距离之和的最小值，作出图形，利用抛物线的定义及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，
由，得，所以，如图所示

则动点到轴的距离为
所以，
当且仅当三点共线时，有最小值，即(此时为点到直线的距离)，
所以到直线的距离为，
所以，
所以.
所以的最小值为.
模块三 抛物线与直线联立韦达化运算
【题型11】焦点弦中点相关运算与证明
已知抛物线 的焦点为 F，直线与该抛物线交于A、B 两点，过的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则 ．
【答案】
【分析】先求出的纵坐标，再联立直线与抛物线方程表示的纵坐标，故可求斜率.
【详解】易知设，
因为，故，故，而，故,故，
联立直线与抛物线方程得，，
所以的纵坐标，故
直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
【答案】(3,2)
【解析】将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，
eq \f(x1＋x2,2)＝3，∴eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(x1＋x2－2,2)＝eq \f(6－2,2)＝2.∴所求点的坐标为(3,2)
已知抛物线 的焦点为 F，直线与该抛物线交于A、B 两点，过的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则 ．
【答案】
【分析】先求出的纵坐标，再联立直线与抛物线方程表示的纵坐标，故可求斜率.
【详解】易知设，
因为，故，故，而，故,故，
联立直线与抛物线方程得，，
所以的纵坐标，故
已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交于两点．若为线段的中点，且，则 ．
【答案】
【分析】直线的斜率存在，可设为，与抛物线方程联立得到韦达定理，求出点坐标，利用求解，再结合抛物线定义得到结果.
【详解】设，，，显然当直线垂直于轴时，与重合，
此时不满足条件，所以可设直线的方程为，
代入的方程有，，
所以，，，
所以，解得，，
由抛物线的几何性质可知，，所以．
设抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x＋m与抛物线W相交于A，B两点，点Q为线段AB的中点．
(1)求m的取值范围；(2)求证：点Q的纵坐标为定值．
【答案】(1)m＜1，(2)Q的纵坐标为定值2
【解析】(1)直线l：y＝x＋m与抛物线W联立得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，
∴Δ＝(2m－4)2－4m2＞0，解得m＜1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2，则点Q的纵坐标为
eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(x1＋m＋x2＋m,2)＝2.∴点Q的纵坐标为定值2.
物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程．
【答案】y2＝4x或y2＝－4x
【详解】解：如图，依题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
则直线方程为y＝－x＋eq \f(1,2)p.
设直线交抛物线于A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则由抛物线定义，得
|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)，
即x1＋x2＋p＝8.①
又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x＋\f(1,2)p，,y2＝2px，))消去y，得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.
所以x1＋x2＝3p，②
将②代入①，得p＝2.
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线标准方程为y2＝－4x.
故抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x.
【题型12】抛物线的焦点弦韦达化计算
（2023上·广东广州·高二统考期末）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，弦长为12，则直线的方程为 .
【答案】或
【分析】根据题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，,，,，联立直线与抛物线方程，消掉得关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，由，解得，即可求解．
【详解】解：根据题意可得抛物线的焦点，
根据题意可得直线的斜率存在，
设直线的方程为，,，,，
联立，得，
所以，，
因为，
解得，，
则直线的方程为或
（2022上·广东深圳·高二校考期末）已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B.
（1）求抛物线C的方程；（2）若，求k的值.
【答案】（1）；（2）1或.
【分析】(1)根据抛物线的定义，即可求得p值；(2)由过抛物线焦点的直线的性质，结合抛物线的定义，即可求出弦长AB
【详解】（1）抛物线C：的准线为，
由得：，得.
所以抛物线的方程为.
（2）设，，由，
，
∴，
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴
解得：，
所以k的值为1或
过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为，求抛物线C的方程．
【答案】y2＝4x
【解析】由于抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，故可设直线AB的方程为x＝my＋eq \f(p,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，
∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.
已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为eq \f(π,4)的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
【答案】y2＝3x
【解析】解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l的方程为y＝x－eq \f(p,2).设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝6－p. ①
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＝2px，即x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝eq \f(3,2).∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.
【题型13】不过焦点的弦长相关计算
过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2eq \r(13)B．2eq \r(15)
C．2eq \r(17)D．2eq \r(19)
【答案】B
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝－2x＋2))得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝1.
∴|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq \f(1,2).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(6)，求实数k的值．
【答案】x2＝2y，k＝±1
【详解】解：(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝eq \f(1,2)，∴ eq \r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2)＝y＋eq \f(1,2)，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝2y，))消去y化简得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(4k2＋8)＝2eq \r(6)，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
【题型14】垂直关系的处理
若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.
【详解】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝x－4))消去y，得x2－12x＋16＝0.
∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，
∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.
∵＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝
x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，
∴，即OA⊥OB.
过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
【答案】（1）x2＝4y，（2）y＝2x＋1
解：(1)C：x2＝2py的准线方程为y＝－eq \f(p,2)，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，∴1＋eq \f(p,2)＝2，∴p＝2，抛物线C的方程为x2＝4y．
(2)∵M(－2，y0)在C上，∴y0＝eq \f(－22,4)＝1，又F(0，1)，设l的方程为y＝kx＋1，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y))得x2－4kx－4＝0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，＝(x1＋2，y1－1)，
＝(x2＋2，y2－1)，∵MA⊥MB，∴＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，∴k＝2或0，当k＝0时，l过M点(舍)，当k＝2时，l不过M点，∴k＝2，∴l的方程为y＝2x＋1．
【题型15】向量数量积的处理
已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，若直线l经过焦点F，且，则________
【答案】
【解析】过的直线l的方程可设为，
联立抛物线方程，可得，
所以，，
则，解得
已知抛物线y2＝2px(p＞0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4.
(1)求t，p的值；
(2)如图所示，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且
(其中O为坐标原点)．求证直线AB必过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】p＝2，t＝±2eq \r(3) 直线AB过定点(5,0)
解：(1)由已知得3＋eq \f(p,2)＝4，∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，代入可解得t＝±2eq \r(3).
(2)设直线AB的方程为x＝my＋n，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),4)，y2)).由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋n，,y2＝4x))得y2－4my－4n＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n.由，得eq \f(y1y22,16)＋y1y2＝5，∴y1y2＝－20或y1y2＝4(舍去)．
即－4n＝－20，∴n＝5，∴直线AB过定点(5,0)
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图象
性质
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下