2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_6圆锥曲线中的10个常考二级结论与模型练习教师版

这是一份2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_6圆锥曲线中的10个常考二级结论与模型练习教师版，共48页。试卷主要包含了点差法，椭圆双曲线第三定义，抛物线的焦点弦常见结论，焦点弦被焦点分成定比，阿基米德三角形等内容，欢迎下载使用。
一、点差法（弦中点）
椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有
证明（点差法）：设，，则，
，，
∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得
① ②
两式相减得：，整理得
∴
二、椭圆双曲线第三定义
那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.
第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．
【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．
【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有
证明（点差法）：设，，，
，，
∵P，A在椭圆上，代入坐标得
①
②
两式相减得：，整理得
∴
法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的

三、抛物线的焦点弦常见结论：
设AB是过抛物线焦点的弦，若，，则

(1)
(2)焦半径，(α为弦AB的与x轴夹角)
(3)弦长 (α为弦AB的倾斜角)．
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(5)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．
(6) （定值）.
(7) 以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
四、焦点弦被焦点分成定比
若AB是过焦点的弦，且，
则（其中θ不是倾斜角，而是AB与焦点所在轴的夹角，抛物线离心率为1）
五、阿基米德三角形
（1）阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）
性质1：MF⊥AB
性质2：MA⊥MB
性质3：MN∥x轴
性质4：S△ABM最小值为p²
对于点A，B:
①抛物线焦点弦与抛物线的交点
②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点
对于点M
③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点
④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点
满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”
（2）阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）
【性质 1】阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴．
【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线
记，，，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点
半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则，则，下略
【性质3】若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点.
设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标
【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为.
【性质5】，
六、椭圆，双曲线焦半径与焦点弦夹角公式
焦半径长公式：（长），（短），
已知双曲线，求出2种情况下的焦半径,以及焦点弦
情况1：：AB两点同一支上，直线AB与x轴夹角为α
，，
情况2：AB两点不在同一支上，直线AB与x轴夹角为β
，，
题型一 点差法与第三定义（常规篇）
（2023上·广东佛山·高二统考期末）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设点，
则有，两式做差后整理得，
由已知，，又，，得
已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为________
【答案】
【详解】得，，设，则，
所以直线PA，PB的斜率之积为
已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】计算，设，，代入椭圆方程相减得到，解得答案.
【详解】的中点坐标为，则，
设，，则，，
相减得到：，即，，
又，，解得，，椭圆的方程为
（2022上·广东深圳·高二校考期末）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为，证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值.
【详解】解：(1)设直线，，，．
∴由得，
∴，．
∴直线的斜率，即．
即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
已知P是椭圆E：，若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值．
【答案】
【分析】点差法求出直线AB，再联立直线和椭圆方程，利用弦长公式即可求解.
【详解】设，，
若A，B是E上两点，则，
两式相减得，即．
因为线段AB的中点坐标为，所以，
所以，则直线AB的方程为．
联立方程组，整理得，其中，
则，，．
已知椭圆的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据椭圆中焦点三角形周长公式，结合焦距的定义进行求解即可；
（2）运用点差法，结合中点坐标公式、直线斜率公式进行求解即可.
【详解】（1）设的焦距为，，
因为椭圆上的点到两焦点距离之和为，
而椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
所以，
所以，所以，
所以的方程为；
（2）设，，
代入椭圆方程得
两式相减可得，
即.
由点为线段的中点，
得，，
则的斜率，
所以的方程为，即.
题型二 点差法（提高篇）
设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确
已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．，或
【答案】A
【解析】先设，，再由点差法求出，再由点，在椭圆内，求出的范围即可得解.
【详解】解：设，，
又点，在椭圆上，
则，
两式相减可得：，
又，
则，
又点，在椭圆内，
则，
则，所以
题型三 椭圆与双曲线第三定义（提高篇）
椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，故
所以椭圆的离心率，故选A.
已知双曲线的左､右顶点分别为，抛物线与双曲线交于两点，记直线，的斜率分别为，则为 .
【答案】
【分析】利用对称性可得，再设结合双曲线的标准方程计算．
【详解】由题意，，由于双曲线与都关于轴对称，因此它们的交点关于轴对称，所以，
设，则，，
．
已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解．
【详解】由题意可知，，
设，可得直线的斜率分别为，，
因为点在双曲线上，则，整理得，所以，
设点，可得直线，的斜率，，
因为点在椭圆上，则，整理得，
所以，即，
则，所以直线与关于轴对称，
又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，
又，则，
所以，
整理得，即，解得，或（舍去），
所以椭圆的离心率为．
已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】设出点P，M的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得轴，再利用和角的正切公式求出a，b的关系作答.
【详解】如图，设，点共线，点共线，所在直线的斜率分别为，
点在双曲线上，即，有，因此，
点在椭圆上，即，有，直线的斜率，
有，即，于是，即直线与关于轴对称，
又椭圆也关于轴对称，且过焦点，则轴，令，由得，
显然，，
，
解得，所以双曲线的离心率.
设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用中点弦问题，结合点差法可得，即可求离心率.
【详解】
如图，取的中点为，连接，
则由题意可得，，
所以相似，所以,
因为直线PQ，PF的斜率之积为，所以,设，
则有，两式相减可得，
即，即，
即，所以椭圆的离心率为
题型四 抛物线焦半径与焦点弦结论
已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据题意对直线斜率存在与否进行分类讨论，由焦半径公式写出的表达式，并利用基本不等式求出其最小值.
【详解】如下图示：

易知焦点，设，且
法1：由结论可知，
故
法2常规法：当直线斜率不存在时（如图中虚线所示），可知，此时；
当直线斜率存在时，可设直线方程为，显然，
联立直线和抛物线方程，消去整理可得，
利用韦达定理可知，
又利用焦半径公式可知，
所以可得，
当且仅当，即时，等号成立；
综上可得，的最小值是.
已知抛物线，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，p的值为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线焦半径的性质，结合向量关系，即可求解直线倾斜角，根据面积公式即可求解.
【详解】设直线的倾斜角为，过作轴，
则，所以，
同理可得，
因为，，则，
由于，所以，
同时可得，，
因此四边形的面积，解得．
（多选）已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（ ）
A．
B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
【答案】ACD
【详解】
由题，焦点，设直线,
联立，
，
，
同理可得，，
，故A选项正确；
，故弦AB的长度最小值为4，B选项错误；
记中点，则点M到y轴的距离为，
由抛物线的性质，，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C选项正确；
，记中点，
则点N到抛物线的准线的距离，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确.
已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则直线过焦点时，最小值为________，直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），________，若中点的横坐标为3，则最大值为_______.
提示：C选项用
D选项可不联立，设D点坐标，用AD斜率求D点坐标（斜率公式中消x）
【答案】4，，
【解析】（1）直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，（2）由题可知：，（3）由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确
【补充】
已知抛物线EQ y\S\UP6(2)＝16x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于M，N两点，则__________；的最小值为__________.
【答案】，
【解析】（1）
（2）由，
则
已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交A，B两点，直线与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 .
【答案】16
【详解】
思路一：设，则
则 ，而，乘“1”即可
思路二：由题意抛物线焦点为，
显然直线的斜率都存在且都不为0，设直线方程为，，
由，得，所以，，
，
同理可得．
所以，当且仅当时等号成立．
题型五 焦点弦被焦点分成定比
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点．若的面积是面积的2倍，则的离心率为 ．
【答案】
【分析】由的面积是面积的2倍，得到，由此设，分别在和中利用余弦定理，即可找出的关系，即可求得答案.
【详解】如图，由的面积是面积的2倍，可得，
不妨设，，，则，．
在中，,由，
得，整理得①．
在中，,由，
得，整理得②，
①+②得，将该式代入②，
整理得，即，
故的离心率为
已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，，，两点，且，则 ；若直线与抛物线相交于，两点，满足，则 ．
【解答】解：由已知设直线的方程为：，代入抛物线方程可得：
，则，
所以由，解得，
所以抛物线的方程为：，
设，，，，
因为，则由抛物线的定义可得：
，即，，
又，，所以，
所以解得，，
所以，
故答案为：2，．
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点（A在B点左侧）．若= ．
【答案】2
题型六 双曲线焦点三角形内切圆模型
双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】
【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式，
，从而解出、，利用勾股定理可解.
【详解】内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P
则四边形、都为正方形，
设内切圆半径为，由圆的切线性质，
则，则 ，①
又因为，②
且双曲线定义得，，③
由①、②、③得，
所以，
从而，
由勾股定理，，所以，解得．
已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的焦点三角形的内切圆的性质，圆心在实轴上的射影点就是双曲线对应的顶点，从而构造直角三角形，结合正切的二倍角公式求解.
【详解】如图，设的内切圆的圆心为，内切圆与三边相切于，

，
所以，即的内切圆与轴相切于右顶点，即双曲线的右顶点为，
设直线的倾斜角为，即，则由内切圆的性质可知轴，
所以在中，，
所以
重庆市巴蜀中学2023届高考适应性月考（七）数学试题
已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的右支交于两点，若内切圆与内切圆的半径的乘积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解析：如图：，，
，，
同理内切圆切点也是T，轴，都是角平分线，
，由直角三角形射影定理得，
，，，故选A
（多选）双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线右支交于两点，记和的内切圆半径分别为和，则（ ）
A．和的内切圆圆心的连线与轴垂直
B．为定值
C．若，则的离心率
D．若，则的渐近线方程为
【答案】ABD
【分析】设，的内切圆圆心分别为，设圆切分别于点，过的直线与双曲线的右支交于两点，由切线长定理及双曲线的定义即可求得，再根据直角三角形边角关系以及相似三角形的性质求得，再逐项判断即可得答案.
【详解】
对于A，设，的内切圆圆心分别为，设圆切分别于点，过的直线与双曲线的右支交于两点，由切线长定理，可得
，
所以，则，
所以点的横坐标为，即点的横坐标也为，同理点的横坐标也为，故轴，A正确；
对于B，在中，，
，所以，所以，即，B正确；
对于C，由解得，即，则双曲线的离心率，C错误；
对于D，，由可得，所以或（舍），
则，则，所以的渐近线方程为，D正确．
题型七 阿基米德三角形
（黄冈中学月考）设抛物线的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则|AB|=()
A.5B.6C.7D.8
【答案】D
【详解】
法一：因为弦AB过焦点，故点P在准线上，勾股求出P点到x轴距离，进而可知∠PFO=30°，
又∵∠PFB=90°，故∠FBP=60°，由焦点弦公式可得.
法二：常规解法
，设直线AB的方程为 ，显然m是存在的，
设 ，显然 ，求导： ，
在A点处的切线方程为…①，
同理可得在B点处的切线方程为：；
联立方程 ，解得 ， ， ，
联立方程 解得 ， ，
即P点在准线 上，设 ， ，
考虑抛物线关于x轴对称，不妨取 ，代入①得： ，解得 或 ，
由图可知 ，再代入抛物线方程得 ，
（武汉市武昌区五月质检）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接BP．若|PF|＝3，则的最小值为_____
【答案】
如图，则有PF⊥AB，PA⊥PB，
所以
当且仅当时取等
已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】设出点的坐标，利用导数的几何意义求出切线的方程，进而抽象出直线的方程，即可推理作答.
【详解】抛物线的准线为，设点，对函数，直线的方程为，即，亦即，
同理，直线的方程为，而点为直线、的公共点，则，
因此点，的坐标都满足方程，即直线的方程为，从而直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值.
（成都七中月考）过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么= .
【答案】4
【分析】方法一：设出过与抛物线的切线的点斜式方程，联立方程，由切点性质，则，可得方程，根据题意，结合韦达定理，可得，同样的思路，设出过焦点的直线，联立方程，结合韦达定理，可得，故可得第一种所求代数式的表示；
方法二：利用导数的几何意义，求切线斜率，可得，结合方法一中，可得第二种所求代数式的表示；
综上建立方程，求得的值，进而求得答案.
【详解】由题意，显然过点作抛物线的切线的斜率存在，设该斜率为，
则该切线方程为，即，
联立，消去可得，
由于切线与抛物线只有唯一交点，则，
整理可得，
由题意，可知为方程的两个根，则，
由题意，设直线的方程为，
联立可得，消去可得，由题意可知为该方程的两个根，则，故，由抛物线方程，可得函数与函数，则与
不妨设在第一象限，则，即，且，
由设在第一象限，则在第四象限，即，可得，且，故，
由，则，综上可得，解得，故.
（多选）过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为4B.
C. △NAB面积的最小值为6D. 若直线AB的斜率为，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】设直线AB方程为 , ，根据弦长公式表示出，可判断A;求出点N的坐标，根据斜率之间的关系，可判断B;表示出点点N到直线AB的距离，继而求得，可判断C; 直线AB的斜率为，结合可求得，即可判断D.
【详解】由题意知 ,设直线AB方程为 , ，
联立 ，可得 ， ，
故，
则，
故当 时，的最小值为4，故A正确；
又 ，即M点纵坐标为2m,故 ，
当时，轴，NF在x轴上，此时 ;
当时, ， ，故，
综合可知，,故B正确；
又点N到直线AB的距离为 ，
故 ，当 时，取最小值4，故C错误；
若直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即 ，
则，由于A在第一象限，故解得 ，
故 ，由于同向，故，故D正确
（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．以为直径的圆过点
【答案】ACD
【简证】第一步：由性质一可得AR∥y轴，故A点横坐标为4
第二步：由性质2可得:点所在直线为，故A正确
，故B错；而A点在准线上，可得C对，D对
附：【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线.若焦点在y轴上的抛物线，则轨迹方程为
【详解】抛物线的焦点到准线的距离为，所以，抛物线的方程为，
设、，由可知为的中点，
所以，且，，
由可得，
所以，直线的斜率为，则直线的方程为，可得，
联立可得，所以，，
对函数求导可得，
所以，切线的方程为，即，
同理可知，切线的方程为，
联立可得，即点，
易知抛物线的焦点为，所以，，A对；
因为直线过点，所以，，B错；
因为，，所以，，所以，故C正确；
因为，且为的中点，所以，，
因此，以为直径的圆过点，故D正确.
（2024届·广东省四校第一次联考）过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是 .
【答案】.
【简证】半代入得切点弦QR方程为，故QR过定点，所以点的轨迹为以为直径的圆
点与圆相切时斜率取到最值
【常规法详解】设，不妨设，
由，可得，可得，则，
可得切线的方程为
因为点在直线上，可得，
同理可得：，
所以直线的方程为，可得直线过定点，
又因为在直线上的射影为，可得且，
所以点的轨迹为以为直径的圆，其方程为，
当与相切时，
由抛物线，可得，设过点与圆相切的直线的斜率为，
可得切线方程为，则，解得或，
所以实数的范围为.
故答案为：.

（2023·深圳市二模）（多选）设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（ ）
A．轴B．C．D．
【答案】AC
【简证】
由结论1可得A对，
因为AB一定不过焦点F，故B错，
由结论5可得C对,
由结论5可得故D错
【详解】对于A选项：设,
,,
过点A切线为：①,
过点B切线为:②,
①②得
化简可得
轴,A选项正确.
设
过A点的切线为,过B点的切线为,交点为
AB的中点为，所以不垂直,B选项错误；
,所以,D选项错误;
作抛物线准线的垂线 ,连接
则
显然 ,所以
又因为由抛物线定义,得,故知 是线段 的中垂线,得到则
同理可证：,，
所以，即,
所以 ,即.
题型八 椭圆双曲线焦点弦与焦半径公式
已知椭圆的左、右焦点分别为.若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则__________.
【答案】
【详解】
思路一：
设的中点为M，易知OM⊥,故，故，，
，，
则，，故
思路二：
设关于直线的对称点，
由，得，可知，，又知，
所以，则为直角，
由题意，点恰好在上，根据椭圆定义，得，
，设，则，
在直角三角形中，，
解得，从而，，
所以.
已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】设，所以存在点使等价于由可求的最小值，求得的范围，从而得到的取值范围.
【详解】
设，则.显然当靠近右顶点时，，
所以存在点使等价于，
在中由余弦定理得，
即，解得 ，
同理可得，所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
由得，所以.
故答案为：
关键点：求离心率范围关键是建立的不等式，此时将问题转化为，从而只需求的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质使用基本不等式求解.
过双曲线 的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左､右两支分别交于点，若，则双曲线的离心率是___________.
【答案】
【分析】设双曲线的左焦点为，连接设，分别求得，同理，结合，求得，进而求得离心率.
【详解】如图所示，根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离为，
设双曲线的左焦点为，连接，则，
设，则，，，
因为，
则有，
所以，故离心率为.
2023届·山东省新高考3月联合质量测评
过双曲线的左、右焦点作两条相互平行的弦，其中在双曲线的左支上，在轴上方，则的最小值为 ．当的倾斜角为时，四边形的面积为 ．（提示：参考焦半径公式与焦点弦公式）
【答案】
解析：方法1：设，联立得．所以．
所以，
当且仅当时等号成立．．
方法2：，（提示：是焦准距
．
2023届·青岛三模T8——2个二级结论
已知O为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，过C的右焦点且倾斜角为的直线交C于A，B两点，AB中点为W，，则离心率e＝________；的周长等于12，则a＝________．
【答案】，1
（1）易知，又，
则
（2）易知，，则的周长为
由焦点弦长公式可知，故
题型九 椭圆双曲线大题·面积相关问题（韦达化处理与弦长公式）
已知椭圆C：的离心率为，且椭圆长轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l（不过原点O）与C交于AB，两点，求面积的最大值．
【答案】(1),(2)
【分析】（1）根据题意可得出，，再利用的关系求出，进而求解；
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由弦长公式可得，点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再计算的面积，利用基本不等式，即可得出答案．
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且椭圆长轴长为，所以，，则，所以椭圆的标准方程为：.
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,，
联立，得，
，
所以，即或，
则，
故，
点到直线的距离，所以的面积，
设，则，
故，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为
已知椭圆：（）的焦距为4，且经过点，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于，两点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若，求的值.
【答案】(1),(2)
【分析】（1）方法一：根据焦距得到，，根据过点得到，然后解方程得到，最后求离心率即可；
方法二：根据焦距得到焦点坐标，然后根据椭圆的定义得到，最后求离心率即可.
（2）设方程得到点坐标，根据得到，，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理和或或列方程，解方程即可得到.
【详解】（1）方法一：
∵，∴，
∵过点，∴，解得，，
∴，
∴离心率为.
方法二：
焦点，，
∴，.
（2）
由（1）知椭圆方程为.
设方程为，则，
设，，则，.
∴，，∴.
联立与，得，
∴，∴，∴，
或：消去得，∴.
∴，.
或：，即，∴，.
（2023上·福建龙岩·高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)是否存在过点的直线l与曲线C交于不同的两点A、B﹐满足．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由轨迹特征可知是椭圆，待定系数法求C的方程；
（2）设出直线方程，与椭圆联立方程组，由结合韦达定理求解.
【详解】（1）因为， ，
所以C是以点为左右焦点的椭圆，于是，，故，
因此C的方程为.
（2）直线l的斜率明显不为0，设，
代入椭圆C的方程化简得，
设，则
则 ， ，
，所以或 (舍)，
解得，所以直线l的方程为或
（2023上·广东惠州·高二统考期末）已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点，其中为原点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若，求面积的最小值.
【答案】(1),(2)4
【详解】（1）由抛物线经过点知，
解得，
则抛物线的方程为；
（2）由题知，直线不与轴垂直，设直线，
由消去，得，
，设，
则，
因为，所以即，所以
解得（舍去）或，
所以即，
所以直线，所以直线过定点，
当且仅当或时，等号成立，
所以面积的最小值为4.
【解法二】由题意知直线，直线的斜率均存在，且不为0
不妨设直线方程为，代入由可得
当且仅当时等号成立
所以面积的最小值为4
【解法三】当直线斜率不存在时，则为等腰直角三角形，此时，
当直线斜率存在时，设直线，
由消去，得，
则，
因为，所以即，
所以
解得（舍去）或，
所以直线，所以直线过定点，
综上：面积的最小值为4.
已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
(1)求的方程；
(2)若斜率存在且不为0的直线经过C的右焦点F，且与C交于A、B两点，设A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过x轴上的定点.
【分析】（1）根据对称性得到椭圆上的点，再将点代入椭圆方程求解即可.
（2）设直线，，，则，将直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理计算直线BD与x轴的焦点坐标即可.
【详解】（1）根据椭圆对称性，点，必在椭圆上，
则不在椭圆上，在椭圆上，
，解得
所以的方程为
（2）由（1）得右焦点，
设直线，，，则
联立，消去得，
则
又直线，
令得
又
即时，，直线BD过x轴上的定点
（2023上·湖北·高二校联考期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．
【答案】(1)，(2)或.
【分析】（1）由题意可得：，，，解得，，，即可得出双曲线的方程．
（2），设直线的方程为，，，联立直线的方程与双曲线的方程化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，利用的面积，解得，即可得出直线的方程．
【详解】（1）解：由题意可得：，，，
解得，，，
所以双曲线的方程为.
（2）解：由题意可知，直线的斜率不为0，
设：，设，，
联立，消，得，
由，解得，则.
所以，
所以的面积，
由，整理得，
解得，，所以直线的方程为或
（2023上·福建宁德·高二统考期末）在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的椭圆过点，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于两点，求的面积最大值.
【答案】(1)，(2)1
【分析】（1）根据椭圆的离心率及椭圆过一点，列方程求解，即可得椭圆的方程；
（2）设，联立直线与椭圆求解交点坐标关系，即可得相交弦长，再利用点到直线的距离求得点到直线的距离，即可得的表达式，利用函数性质求最值即可.
【详解】（1）设椭圆方程为，
由椭圆过点，离心率
所以，解得，
所以椭圆的方程为：
（2）设，则，得，
，得，所以，
所以，
点到直线的距离
所以的面积
当时，的面积取到最大值1.
题型十 平移+齐次化解决定点与斜率和积定值问题
已知椭圆，设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．
【平移+齐次化处理】
Step1：平移点P到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理
将椭圆向下平移一个单位，（为了将平移到原点）
椭圆方程化为，（左加右减，上减下加为曲线平移）
设直线对应的直线为，椭圆方程化简为，
把一次项化成二次结构，将2y乘上即可
此时椭圆方程变成：
Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系
由于平移不会改变直线倾斜角，即斜率和仍然为－1，而P2点此时为原点，设平移后的，
即,
将椭圆方程两边同除以，令，得，
结合两直线斜率之和为，即，得，，
Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!
直线恒过点，向上平移一个单位进行还原
在原坐标系中，直线过点．
【手电筒模型·1定+2动】
直线与椭圆交于A，B两点，为椭圆上异于AB的任意一点，若定值或定值(不为0)，则直线AB会过定点． (因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)．补充：若过定点，则定值，定值.
【坐标平移+齐次化处理】（左加右减，上减下加为曲线平移）
Step1：平移点P到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理
Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系，
Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!
【补充】
椭圆是椭圆上一点，A，B为随圆E上两个动点，与PB的斜率分别为k1，k2.
(1)，证明AB斜率为定值≠0)；
(2)，证明AB过定点：；
(3) ，证明AB的斜率为定值；
(4)，证明AB过定点：.
以上称为手电筒模型，注意点P不在椭圆上时，上式并不适用，常数也需要齐次化乘“1²”
如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q(均异于点，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2．
【解析】设直线
则．
由，
得：．
则，
故．
所以.
即.
如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为 ．
【答案】
【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程，得出直线AB过定点，再利用直线与圆的位置关系计算弦长确定最值即可.
【详解】设，，设：，又，∴，
∴，∴．
∴，∴，
∴直线AB恒过点，
由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线AB的距离最大时，即
当直线时，弦长最短，此时弦最小为．
已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为．
①求证：为定值； ②求证：直线过定点.
答案：（2）-2；（3）
【小问1详解】
由题意解得
所以椭圆的标准方程为：；
【小问2详解】
① 设MN的方程为，与联立得：，
设，，则，
【法二】平移坐标系+齐次化处理
将坐标系中的图像整体向下平移2个单位，
平移后的椭圆方程为：，整理得：，
设平移后的直线MN的方程为：，代入点得，
则有，整理得：
令，将两边同除，得，故
说明：因为平移后，，
而式子中x，y的值对应平移后的m’和n’
所以同除后得到的就是一个以和为根一个关于k的一元二次方程．
②设PQ的方程为 ，与联立，
设，则
由，即此时，
的方程为，故直线恒过定点.