2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_8数列求和14类题型一网打尽练习学生版

这是一份2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_8数列求和14类题型一网打尽练习学生版，共14页。试卷主要包含了错位相减法，裂项相消法，分组求和法，倒序相加法等内容，欢迎下载使用。
一、错位相减法
类型一：（其中是等差数列，是等比数列）
类型二：（其中是等差数列，是等比数列）
二、裂项相消法
类型一：等差型
= 1 \* GB3 ①；②
类型二：无理型
类型三：指数型
裂项相消进阶
1、裂项相加：(-1)n
例：，本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
对于可以裂项为
2、等差数列相邻2两项之积构成的的新数列
例如：
一般式，当公差为k时：
3、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘
例子：
一般结构
三、分组求和法
3.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
3.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
四、倒序相加法
即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和
【题型1】错位相减
已知，若数列满足，求和：．
记数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意，，求m的最小值．
差比数列的其它处理方式（待定系数法）
已知，求.
【题型2】裂项相消（常规）
已知，证明：.
已知，数列前项和，记，设数列的前项和为，求证
已知正项数列的前n项和为，且满足，
(1)求，(2)求
已知，设，求数列的前项和.
对式子变形后再裂项：一般是分离常数
已知，设，求数列的前项和．
已知，记，数列的前项和为，求.
已知，若，求数列的前项和.
已知，证明：.
【题型3】分组求和
已知，若数列满足，求数列的前项和．
已知，设，数列的前项和为，求.
已知，设为数列在区间中的项的个数，求数列前100项的和.
已知数列的前n项和，且，数列满足，其中．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和．
【题型4】裂项相消（进阶）
一、裂项相加：(-1)n
例：，本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
对于可以裂项为
二、等差数列相邻2两项之积构成的的新数列
例如：
一般式，当公差为k时：
三、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘
例子：
一般结构
若，数列满足，的前n项和为，求
已知，若，求的前n项和.
已知，，求数列{}的前n项和
已知，，求数列{}的前n项和.
已知，设为数列的前项和，证明：.
已知，若，求数列的前n项和
已知，，求数列的前项和．
已知，记，为数列的前n项和，求．
已知，设，证明：.
【题型5】并项求和
一般来说，并项求和的计算量比分组求和要小
已知，若，求数列的前项和.
（2023秋·湖南长郡中学校考）已知是数列的前项和，，数列是公差为1的等差数列，则 .
已知，记，求数列的前30项的和.
已知，设，，求数列的前2n项和.
【题型6】倒序相加
“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则 .
（2023·江西南昌·统考三模）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（ ）
A．B．C．D．
【题型7】S2n与S2n-1下标的讨论和处理
已知数列
（1）求数列的前20项和
（2）求数列的前项和.
（3）求数列的前项和.
（4）求数列的前项和
已知，记的前n项和为，，求n的最小值.
（2023·湖南岳阳·统考三模）已知，若，求数列的前n项和．
【题型8】通项含有(－1)n的类型
已知，若，求数列的前项和．
解题思路点拨：代入得：注意到通项中含有“”，会影响最后一项取“正还是负”，通过讨论的奇偶，结合分组求和.
奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧
（注意到本例求解的，代入最后一项，是正，还是负，需要讨论）（讨论时优先讨论为偶数）
为奇数
为偶数
当为奇数时，为偶数
，即：
注意到为偶数，所以可使用偶数项和的结论，代入左侧求和结果：，则：
，整理：
综上：
已知，设数列，数列化的前项和为
思路点拨：，注意到通项中含有“”，会影响最后一项取“正还是负”，通过讨论的奇偶，结合分组求和.
奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧
（注意到本例求解的为偶数项和，代入最后一项，一定是正，故不需要讨论）
分组求和
在数列{an}中，若，则数列{an}的前12项和等于_________.
已知，若，求数列的前项和．
已知数列中，.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.
已知数列的前项和，，，．
(1)计算的值，求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
已知，，求{}的前64项和.
【题型9】奇偶数列求和
重庆一中月考
已知数列满足，若，求.
2021·新高考1卷T17
已知数列满足，，求的前20项和.
（广东实验中学校考）已知数列满足，且的前100项和
(1)求的首项；
(2)记，数列的前项和为，求证：.
【题型10】隔项数列求和（一般并项求和）
已知数列满足，，则________
若数列的前项和为，且，则（ ）
A．684B．682C．342D．341
（深圳一模）记，为数列的前n项和，已知，求．
【题型11】和为等比数列求和
已知数列中，，求数列的前n和.
思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作差
变换下标，写成
所以 ， ，．．．．．．．
累加，得
累加
求通项
所以数列 的前n和为
求和
已知数列满足，，．
(1)求的通项公式．
(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．
2023·杭州二模
设公差不为0的等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前n项和．
【题型12】插入新数列混合求和
已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则（ ）
A．4043B．4044C．4045D．4046
已知对所有正整数m，若，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.
已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为 ．
已知数列，在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和.
已知，在与之间插入一项，使，，成等比数列，且公比为，求数列的前项和.
已知，在数列中的和之间插入i个数，，，…，，使，，，，…，，成等差数列，这样得到一个新数列，设数列的前n项和为，求．
己知数列满足，在之间插入个1，构成数列：，则数列的前100项的和为（ ）
A．178B．191C．206D．216
【题型13】通项含绝对值的数列求和
已知，求数列的前项和为．
已知，求数列的前项和为．
已知，设，求数列的前项和.
【题型14】取整数列求和
已知数列满足，记为不小于的最小整数，，则数列的前2023项和为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
已知，，设，求数列的前9项的和．（注：表示不超过的最大整数）
已知，设，求数列的前10项和.（表示不超过的最大整数）
（重庆八中月考）已知，若表示不超过的最大整数，如，求的值.