初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）第四章 整式的加减第3课时教学设计

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（一）学习目标
1.熟练掌握整式的加减运算法则，并能准确化简求值.
2.体会整体代入法的作用.
3.准确的运用去括号法则、合并同类项法则进行整式的化简求值.
（二）学习重点
熟练掌握整式的加减运算法则，并能化简求值.
（三）学习难点
准确的运用整体代入的方法化简求值.体会整体的代入方法的作用.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
整式的化简求值一般先 化简 ，再 求值 .
2.预习自测
(1) 化简：．
【知识点】合并同类项.
【数学思想】整体思想.
【解题过程】解：原式==.
【思路点拨】根据同类项，把同类项结合到一起，根据合并同类项，可得答案．
【答案】.
（2）化简：．
【知识点】合并同类项.
【解题过程】解：原式=．
【思路点拨】根据合并同类项的法则求解即可.
【答案】.
（3）化简求值：；其中；
【知识点】去括号、合并同类项.
【解题过程】解：原式=
=
当，时，==
【思路点拨】先化简再代入求值，可以简化计算.
【答案】.
（4）化简求值：，其中.
【知识点】化简求值
【解题过程】解：==．
当时，原式==.
【思路点拨】先化简再代入求值，可以简化计算.
【答案】.
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)去括号法则是 .
注意：
①去括号，看符号，是“+”不变号，是“—”全变号 .
②括号前的因数分配到括号内不要漏乘项.
③去括号前后项数一致.
(2)合并同类项的法则：系数相加，字母和字母的指数不变.
(3) 整式加减运算实际是 .
2.问题探究
探究一
●活动① （整合旧知，探究整式的化简求值）
化简求值：，其中，.
学生独立自主的解决，老师巡视，发现学生在解题过程中的不同方法.
抽两个不同方法的学生板书（一个是直接代入求值，另一个先化简再求值）
师问：比较两解法，哪种方法更简单？
生答：先化简再求值更简单一些.
师问：你们能总结整式的化简求值的方法步骤吗？
生答：先化简，再求值
【设计意图】使学生进一步理解掌握整式的加减法则，熟练进行整式的化简求值，掌握化简求值的格式要求.
探究二 ★▲
●活动① （大胆操作，探究整体思想代入求值）
已知代数式的值是2，求的值 .
师问：题目没有直接告知x和y的值，如何求值呢？
引导学生观察与思考.
【设计意图】让学生初步认识整体思想的作用.
●活动② （集思广益，证明整体代入的方法）
师问：注意观察条件和结论中含字母的部分的系数有何特征？
生答：成倍数关系
师问：这类型的题目用什么方法求值呢？
法一、由条件向结果转化
∵，则，则，∴.
∴把作为整体带入得值是-4
法二、由结果向条件转化
=，再由得，∴原式=-4
【设计意图】让学生认识到整体带入的数学思想使运算化简更简便.
探究三 运用整式的加减化简求值★▲
●活动①
例1.求的值，其中，．
【知识点】整式的化简求值．
【解题过程】解：
=
=
当，时，原式===.
【思路点拨】先化简，再求值.
【答案】.
练习：先化简，再求值：，其中．
【知识点】化简求值.
【解题过程】解：
=
=
当,时，原式==-8
【思路点拨】先化简再求值.
【答案】-8.
【设计意图】通过例习题的学习让学生更进一步熟悉整式的化简求值，把握去括号，合并同类项时注意的问题.
●活动②
例2：化简并求值：其中，.
【知识点】化简求值
【解题过程】解：
=
=
=
当,时，原式==2.
【思路点拨】先化简再求值.
【答案】2.
变式1.将条件变换成选择一个你喜欢的x和y的值，求多项式的值？
变式2.若将条件换成，又如何求多项式的值？
变式3.若将条件换成若, ，又如何求多项式的值？
变式4.若条件, 不变，化简后是又如何求值？
练习：若时，, 当时，的值等于多少?
【知识点】化简求值.
【数学思想】整体思想.
【解题过程】解：因为时，，所以，
当时，===-2010.
【思路点拨】当时，求出，再根据，得到，
通过变形整体带入求值即可.
【答案】-2010.
【设计意图】引导学生自己独立的观察和思考去发现条件和结论的特点，然后组织学生进行讨论，交流，从而引出整体代入的方法.极大的激发学生学习的积极性和主动性，满足学生的表现欲和探究欲，使学生学得轻松愉快，充分体现课堂教学的开放性.
3.课堂总结
知识梳理
（1）整式的加减运算法则. 需要注意什么问题？
（2）化简求值的一般思路.
（3）整体代入的思想方法.
重难点归纳
（1）整式的加减运算法则.
（2）化简求值的一般思路.
（3）整体代入的思想方法.
（三）课后作业
基础型 自主突破
1.已知，，则代数式的值是（ ）．
A.99 B.101 C.﹣99 D.﹣101
【知识点】整式的化简求值.
【数学思想】整体思想.
【解题过程】解：∵，，
∴原式=，故选D．
【思路点拨】原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值.
【答案】D．
2.已知：，则的值是（ ）
A．5 B．94 C．45 D．﹣4
【知识点】整式的化简求值.
【数学思想】整体代入思想.
【解题过程】解：当时，原式=45+9+40=94，故选B.
【思路点拨】把的值代入原式计算即可得到结果．
【答案】B.
3.若多项式的值为10，则多项式的值为 ．
【知识点】整式的化简求值.
【数学思想】整体思想.
【解题过程】解：由题意得：，．
【思路点拨】由题意得，将变形为可得出其值．
【答案】2.
4.若，化简的结果为 ．
【知识点】整式的化简求值
【解题过程】解：∵，∴，，
==．
故答案为：．
【思路点拨】首先利用非负数的性质得出，的值，再利用整式加减运算法则化简求出答案．
【答案】
5.先化简，再求值：，其中，．
【知识点】整式的化简求值.
【解题过程】解：原式==，
当，时，原式==﹣1+1=0．
【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
【答案】0．
6.求代数式的值，其中，．
【知识点】整式的化简求值.
【解题过程】解：原式==，
当，时，原式．
【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
【答案】-1．
能力型 师生共研
1.若，则式子的值为（ ）.
A.﹣11 B.﹣1 C.11 D.1
【知识点】整式的化简求值.
【解题过程】解：原式= =，
∵，∴，，则原式，故选B
【思路点拨】利用非负数的性质求出与的值，原式去括号合并后代入计算即可求出值．
【答案】B.
2.定义一种新运算：，则当时，的结果为 ．
【知识点】整式的化简求值
【数学思想】分类讨论思想
【解题过程】解：当时，原式=，故答案为：8.
【思路点拨】利用已知的新定义进行化简时，应注意相应条件，再计算即可得到结果．
【答案】8.
探究型 多维突破
1.“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知，，则的值为 ．
【知识点】整式的化简求值.
【数学思想】整体思想.
【解题过程】解：∵，，
∴原式= =，故答案为：﹣8．
【思路点拨】原式去括号合并后，将已知等式代入计算即可求出值．
【答案】-8.
2.已知；；，则 .
【知识点】整式的化简求值
【解题过程】
解：=；=；
=，即，，，
则原式= = ，故答案为：-3.
【思路点拨】利用乘法分配律化简求出，，值是关键，然后去括号合并后代入计算即可求出值．
【答案】-3.
自助餐
1.化简，当，时，求值得（ ）.
A.4 B.48 C.0 D.2
【知识点】整式的化简求值
【解题过程】解：原式= = ，
当，时，原式，故选D．
【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
【答案】D.
2.若，则的值为（ ）．
A.3 B.﹣3 C.﹣5 D.11
【知识点】整式的化简求值.
【数学思想】整体代入思想.
【解题过程】解：由，得，
==，
当；时，原式，故选：C．
【思路点拨】根据非负数的和为零，可得、的值，根据整体代入的思想方法求值，可得答案．
【答案】C.
3.按如图所示的程序计算，若开始输入，，，则最后输出的结果是 ．
输入、、
输出
A.0 B.1 C.﹣1 D.﹣2
【知识点】整式的化简求值．
【解题过程】解：原式= = ，
当，，时，原式．
【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，把，，的值代入计算即可求出值．
【答案】-1.
4.已知整式的值是2，的值是4，则= ．
【知识点】整式的化简求值.
【数学思想】分类思想.
【解题过程】解：由题意得：，或﹣2，
原式= = ，
当，时，原式=；当，时，原式=，故答案为或 .
【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，求出与的值，代入计算即可求出值．
【答案】或 .
5.一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使成立的一对数，为“相伴数对”，记为（，）．
（1）若（1，）是“相伴数对”，求的值；
（2）写出一个“相伴数对”（ ，），其中，且；
（3）若（，）是“相伴数对”，求代数式的值．
【知识点】化简求值
【解题过程】解：（1）根据题中新定义得：，解得：；
（2）答案不唯一，如（2,-8），满足；
（3）∵，∴，原式= ，
∵，
∴原式= ．
【思路点拨】（1）利用题中的新定义确定出的值即可；
（2）类比题中新定义得出一个“相伴数对”即可；
（3）利用题中新定义确定出与关系式，原式去括号合并后代入计算即可求出值．
【答案】（1）；（2）（2,-8），答案不唯一；（3）-10.
6.图1是某月的月历.
(1)带阴影的方框中的9个数的和与方框中心的数有什么关系?
(2)如果将带阴影的方框移至图2的位置,(1)中的关系还成立吗?
(3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论?你能证明这个结论吗?
(4)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗?
(5)如图3，如果带阴影的方框里的数是4个，你能得出什么结论?
(6)如图4,对于带阴影的框中的4个数,又能得出什么结论?
【知识点】整式表示数量关系.
【解题过程】解：
带阴影的方框中9个数之和是方框中心数的9倍；(2)将带阴影的方框移至图2的位置,(1)中的关系仍然成立；(3)不改变带阴影的方框的大小,将方框移动几个位置,(1)中的结论仍然成立，即带阴影的方框中9个数之和是方框中心数的9倍.证明如下：设带阴影方框的9个数中的中心的数为,则=,即带阴影的方框中9个数之和是方框中心数的9倍.(4)成立.(5)观察图可知,11+19=12+18;15+23=22+16.即对角线的两数之和相等.(6)观察图4可知，12+19=18+13.
【思路点拨】
此题主要考查了数字变化规律，关键是根据月历上数的特点：左右相邻的两个数相差1，上下相邻的两个数相差7，从而找出阴影框中的九个数的关系，使问题迎刃而解．
对于（1），设方框中心的数为，表示出方框内各数之和，即可得出结论；
对于（2），根据图2验证（1）中得出的结论是否成立；
对于（3），根据月历中数的排列，总结出规律，相信你不难证明结论，自己试着解题（4）；
对于（3）、（4），自己根据图3和图4中的数，自己试着得出结论．
【答案】(1)带阴影的方框中9个数之和是方框中心数的9倍；（2）(1)中的关系仍然成立；（3）带阴影的方框中9个数之和是方框中心数的9倍.
（4）成立；（5）即对角线的两数之和相等；(6)观察图4可知，12+19=18+13.