高三数学二轮培优微专题36讲06.构造函数比较大小的四种类型训练

这是一份高三数学二轮培优微专题36讲06.构造函数比较大小的四种类型训练，共6页。试卷主要包含了构造相同函数，比较不同函数值，构造不同函数，比较相同函数值，构造不同函数，比较不同函数值，先同构，再构造，再比较，设，， 已知且且且，则等内容，欢迎下载使用。
2.构造不同函数，比较相同函数值
这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法!
3.构造不同函数，比较不同函数值
这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意.
4.先同构，再构造，再比较
当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构（变形）出一个函数之后再来比较大小.
例1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
解析：方法1. ，，
由，，可得，
又为上增函数，则，即，故选：B
方法2.设，则，当时，，所以在上递增，在上递减.
由于，，故选.
例2．若，则（ ）
A．B．
C．D．
解析：设，则，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以，，
因为，所以；故.故选：A.
注：在这里，我们需要特别注意函数在相关比较大小问题中的出镜率，以及结合对数性质，所出现的型等等，比如可以看下例.
例3．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
解析：设，，所以在上单调递增，在上单调递减.
而，，，因为，所以．故选：A．
二．构造不同函数，比较相同函数值
这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法!
例4．（2022新高考1卷）设，则（ ）
A．B．C．D．
解析：方法1.构造函数，作差（商）比较大小，即讨论差（商）函数的性质.
令，，，
为了方便比较，做如下处理：，；，所以，所以，所以
，，
令，所以，所以，所以，
所以，所以．
方法2.构造函数，利用泰勒展开直接估值.
构造函数.则可以看到：
，由于较小，所以对上述三个函数在处进行二阶泰勒展开：；
；
.
在处，显然，故.
例5．设，，，，则（ ）
A．B．C．D．
解析：
方法1.（构造函数，泰勒展开估计）设，，，，注意到题干实质在比较：
，且考虑到接近于0，故对上述函数在进行泰勒展开
即：，代入到上式，显然易得：，故选：B
方法2.（构造函数，作差比大小）
易得.
设，则令有，故在上单调递增.
①因为，即，故，即，故，即.
②设，则，设，则.
设，则，故为增函数，故，即.
故，当时， 为增函数，故，故当时为增函数，故，故.
③设，，易得当时，故，即.
综上
三．构造不同函数，比较不同函数值
这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意.
1.切线不等式：
高中几个重要的函数都具有凸凹性，这样我们便可通过切线来构造不等式，具体的原理请见《高观点：函数凸凹性》，这里只列举一些重要的切线不等式：
； 1.2 ；
将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项，又可得到更多的不等式：
①
②；
③；

2. 高次不等式放缩
2.1 ； 2.2 ；
2.3 ； 2.4 .
3.分式不等式放缩
3.1 3.2
例6．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
解：设，，令，解得.，，单调递减，，，单调递增.所以，即，当且仅当时取等号.所以.又，故，所以；设，，令，解得.
，，单调递增，，，单调递减.
所以，即，当且仅当时取等号.所以，故，又，所以，故.
故选：B.
例7.设，（e是自然对数的底数），则（ ）
A．B．
C．D．
解析：由于，故
所以对也用帕德逼近
，故.
四．先同构，再构造，再比较
当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构（变形）出一个函数之后再来比较大小.
例8. 已知且且且，则（ ）
A. B. C. D.
解析：因为，故，同理，令，则，当时，，当时，，
故在为减函数，在为增函数，因为，故，即，而，故，同理，，，因为，故，所以.
故选：D．
例9.已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（ ）
A．B．C．D．
解析：由，可得，即，
设，可得，因为，可得，又因为，所以，即，
所以，当时，，可得函数在为单调递增函数，所以，即. 故选B.