高三数学二轮培优微专题36讲07.帕德逼近及应用训练

这是一份高三数学二轮培优微专题36讲07.帕德逼近及应用训练，共4页。试卷主要包含了1帕德逼近，设函数，已知函数，其中．等内容，欢迎下载使用。
基本原理
1.1帕德逼近
给定两个正整数，函数在处的阶帕德逼近定义为：

且满足：；. 实际上，由定义可知，若令，即的阶帕德逼近便是在处的泰勒逼近.这便是两个展开之间的基本关系，换句话说，帕德逼近是比泰勒逼近使用范围更广的一种逼近.
1.2 一些重要的帕德不等式
1.3 两个重要的三变量命题函数
先介绍两个函数：，.
这两个函数的零点要注意，首先，一定是一个零点，其次，当满足一定条件时，还会再有两个零点出现，并且，这两个函数有一个很重要的特点，若，则有
，这就意味着剩下的两个零点会有隐含关系：，这个关系在解决相关多极值点问题时至关重要！
要注意特殊的零点，比如上面两个函数中的特殊点，换句话说，有的多元极值点问题就是个纸老虎，会有个别极值点（零点是可求）.
注意一些可能的极值点偏移情形：如果上述可得：
，当时，会有两个零点且（下面例1会证明）.
二．典例分析
例1.已知函数
（1）若有三个零点，求的取值范围；
（2）设的三个零点分别为，求证：.
（3）设的三个零点分别为，求证：.
解析：（1）若有三个零点，则.
（2）依题.同时，需注意
于是，由可得：，
同除，且注意到，可得：.
（3）依题.同时，需注意
于是，由可得：，同除，且注意到，可得：.
我们把上面函数包装一下，让它做导函数，这样可以命制一点看起来难度更大的题目：
例4.设函数.
（1）当时，证明：；
（2）已知恰好有个极值点.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：.
解析：（ⅰ）由于 故
（ⅱ）证明：此时有，设，则只需证明
，求导得，所以在上单调递增，注意得到，所以，所以只需证明，实际上，上式等价于成立，所以原不等式得证.
例3.已知函数，其中．
（1）求的极值；
（2）设函数有三个不同的极值点．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：．
解析：（1）由题可得， ∴在单调递增，∵，∴时，时，
∴在单调递减，在单调递增，∴，无极大值；
（2）（ⅰ），
由题可知有三个不同的正实根，令，则，令，有三个不同的正实根、、，，∴有两个不同的正实根，∴∴，
设的两个不同的正实根为m、n，且，此时在和单调递增，单调递减，又∵，∵，且，
∴有三个不同的正实根，满足题意，∴a的取值范围是；
（ⅱ）令、，由（ⅰ）知，且、为的正实根，，
令，则，∴在单调递减，在单调递增，
令，则
∵，∴，令，，
∴在单调递增，∴，∴在单调递减，
∵，∴，∵，∴，
∵在单调递增，∴，∴.
例4.（金华十校）已知函数，记.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若函数有三个零点，且.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.
解析：注意到，故只需证明，剩下的就是例1第三问.