高三数学二轮培优微专题36讲09.三变量极值点偏移训练

这是一份高三数学二轮培优微专题36讲09.三变量极值点偏移训练，共6页。试卷主要包含了已知函数，设函数，已知函数，其中．，已知函数，记等内容，欢迎下载使用。
基本原理
两个重要的三变量命题函数
先介绍两个函数：，.
这两个函数的零点要注意，首先，一定是一个零点，其次，当满足一定条件时，还会再有两个零点出现，并且，这两个函数有一个很重要的特点，若，则有
，这就意味着剩下的两个零点会有隐含关系：，这个关系在解决相关多极值点问题时至关重要！
要注意特殊的零点，比如上面两个函数中的特殊点，换句话说，有的多元极值点问题就是个纸老虎，会有个别极值点（零点是可求）.
注意一些可能的极值点偏移情形：如果上述可得：
，当时，会有两个零点且（下面例1会证明）.
二．典例分析
例1.已知函数
（1）若有三个零点，求的取值范围；
（2）设的三个零点分别为，求证：.
（3）设的三个零点分别为，求证：.
解析：（1）若有三个零点，则.
（2）依题.同时，需注意
于是，由可得：，
同除，且注意到，可得：.
（3）依题.同时，需注意
于是，由可得：，同除，且注意到，可得：.
例2．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)当时，记在区间的最大值为，最小值为．已知．设的三个零点为，求的取值范围．
解析：（1），令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减，当时取得极大值，，
当时取得极小值，，
所以的极大值为，极小值为.
（2）因为，所以在上单调递减，上单调递增，，
因为，，所以，
，解得，
设，令，所以，，
，
在上单调递减，当，
所以的取值范围为.
例3.已知函数.
自己设置一个送分的小问；
若有三个极值点，为，且，求的取值范围.
提示：有一个极值点，所以此题只是一个纸老虎
（2）解析：
，对函数，设上一点为，过点的切线方程为，将代入上式得，所以过的的切线方程为，.所以，要使与有两个交点，则，此时有两个极值点，且.，，，令，则，所以，所以，即所以，令，，易知在上恒成立（见第一章）.所以在上恒成立.所以在上递增.，所以当时，，所以的取值范围是.
例4.设函数.
（1）当时，证明：；
（2）已知恰好有个极值点.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：.
解析：（ⅰ）由于 故
（ⅱ）证明：此时有，设，则只需证明
，求导得，所以在上单调递增，注意得到，所以，所以只需证明，实际上，上式等价于成立，所以原不等式得证.
例5.已知函数，其中．
（1）求的极值；
（2）设函数有三个不同的极值点．
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：．
解析：（1）由题可得， ∴在单调递增，∵，∴时，时，
∴在单调递减，在单调递增，∴，无极大值；
（2）（ⅰ），
由题可知有三个不同的正实根，令，则，令，有三个不同的正实根、、，，∴有两个不同的正实根，∴∴，
设的两个不同的正实根为m、n，且，此时在和单调递增，单调递减，又∵，∵，且，
∴有三个不同的正实根，满足题意，∴a的取值范围是；
（ⅱ）令、，由（ⅰ）知，且、为的正实根，，
令，则，∴在单调递减，在单调递增，
令，则
∵，∴，令，，
∴在单调递增，∴，∴在单调递减，
∵，∴，∵，∴，
∵在单调递增，∴，∴.
例6.（金华十校）已知函数，记.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若函数有三个零点，且.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.
解析：注意到，故只需证明，剩下的就是例1第三问.