高三数学二轮培优微专题36讲20.解析几何中双切线问题的三大应用情境训练

这是一份高三数学二轮培优微专题36讲20.解析几何中双切线问题的三大应用情境训练，共10页。试卷主要包含了圆的双切线模型及应用，切线长的计算，四点共圆，的外接圆以为直径，平分， 假设且，假设，圆的方程为等内容，欢迎下载使用。
圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的热爱，2020年的理数全国一卷的选择题11题就是一个典例应用. 对于圆的双切线，我的建议就是多推导，遇到最值就往切线长上转化！
如图1，从圆外任一点向圆引两条切线，圆心，两切点，我们把线段的长度叫做切线长，设圆的半径为，则四边形具有如下的性质：
1.；.
2.切线长的计算：,当半径给定，切线长最小等价于最小.
3.四点共圆，的外接圆以为直径（托勒密定理）.
4.平分.
5.，当半径给定，四边形最小等价于最小.
6. 假设且.由基本的三角恒等关系可知：，故可得：
.对使用均值不等式可得最小值.
图1
7.假设，圆的方程为（）
则切点弦的方程为：.
例1.（2020全国1卷）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
解析：综合考察性质3，5,7.
圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
例2.（2022深圳二模）P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（ ）
A．弦长的最小值为B．存在点P，使得
C．直线经过一个定点D．线段的中点在一个定圆上
解析：依题意，即，设，则为的中点，且，
所以，所以，，又，
所以，，所以，，故A正确，B不正确；
设，则，所以以为直径的圆的方程为，
则，即，所以直线的方程为，所以直线过定点，故C正确；
又，，所以的中点在以为直径的圆上，故D正确；
故选：ACD
情境2.圆锥曲线的双切线
1.知识要点.如何合理的处理双切线，我总结如下：已知曲线外一点,向二次曲线引两条切线，设.
第1步：分别写出切线的方程（注意斜率）；
第2步：联立与曲线的方程，利用相切条件，得到代数关系①，②式从而以的或坐标为参数，进一步构造点横或纵坐标满足的同构方程方程③；
第3步：利用方程③根与系数的关系判断与曲线的位置关系，或完成其他问题.
常见案例1.彭赛列闭合
例3．已知抛物线C：，点.
（1）设斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程；
（2）是否存在定圆M：，使得过曲线C上任意一点Q作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点A，B时，总有直线AB也与圆M相切？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.
解析：（1）直线的方程．
（2）假设存在．取，圆，设切线为，由，解得，①，将直线代入抛物线方程，解得，，
直线的方程为，若直线和圆相切，可得②
由①得,由①②解得，．下证时，对任意的动点，直线和圆相切．
理由如下：设，当时,上面假设已经说明成立;当,一条切线与轴平行,不能与抛物线交于另一点,故,以下就且情况下证明.过的直线为， ，由，可得，
，，
又直线与曲线相交于 ，，由，代入抛物线方程可得，可得，，则，是方程的两根，即有，即，同理．
则有，，
直线，
即为，则圆心到直线的距离为
，由，
代入上式，化简可得，则有对任意的动点，存在实数，使得直线与圆相切．
常见案例2：蒙日圆
曲线的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆.
证明：当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是，或.
当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是且，所以可设曲线的过点P的切线方程是
. 由，得
由其判别式的值为0，得
因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以
由此，得
例4.（2020成都三诊）．已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.
（i）求证：；
（ii）求的面积的取值范围.
解析：（1）椭圆的标准方程为.
（2）（i）设点.
①当直线，的斜率都存在时，设过点与椭圆相切的直线方程.
由，消去，得.
.令，整理得.设直线，的斜率分别为，.∴.
又，∴.∴，即为圆的直径，∴.
②当直线或的斜率不存在时，不妨设，则直线的方程为.
∴，，也满足.综上，有.
（ii）设点，.当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由，消去，得.
.
令，整理得.则
∴直线的方程为.
化简可得，即.经验证，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为或，也满足.同理，可得直线的方程为. ∵在直线，上，∴，.
∴直线的方程为.由，消去，得.∴，.
∴
.又点到直线的距离.∴.
令，.则.
又，∴的面积的取值范围为.
情境3：抛物线阿基米德三角形
知识要点：如图，假设抛物线方程为， 过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为. 则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论:
结论1.直线过抛物线的焦点.
证明：参见下面的例1.
结论2.直线的方程为.进一步，还有
（1）过抛物线上一点的切线方程为：；
（2）过抛物线上一点的切线方程为：；
（3）过抛物线上一点的切线方程为：；
（4）过抛物线上一点的切线方程为：．
结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.
证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：.这就证明了该结论.
结论4..
证明：由结论3，，.那么.
结论5..
证明：,则.由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故.
结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.
证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上.且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴.
例5．（2021高考全国乙卷理21）已知抛物线的焦点为，且与圆上的点的距离的最小值．
（1）求；
（2）若点在圆上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
解析：（1）抛物线的焦点为，，
∴与圆上点的距离的最小值为，解得．
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点，，，直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线公共点，则，
∴点的坐标满足方程，∴直线的方程为，
联立可得，由韦达定理可得，，
，
点到直线的距离为，
∴，
，
由已知可得，∴当时，的面积取最大值．
注：对于抛物线，设，是的两条切线，，是切点，则阿基米德三角形的面积为：．
例6.(2006全国卷)已知抛物线的焦点为,是热线上的两动点，且
过两点分别作抛物线的切线，设其交点为．
（1）证明为定值；
（2）设的面积为，写出的表达式，并求S的最小值．
解：（1）点的坐标为 设点的坐标为 点的坐标为
由可得，因此
过点的切线方程为 (1)
过点的切线方程为 (2)
解（1）（2）构成的方程组可得点M的坐标,从而得到=0 即为定值.
（2）=0可得三角形面积
所以当且仅当时取等号