高三数学二轮培优微专题36讲24.抛物线的焦半径与焦点弦训练

这是一份高三数学二轮培优微专题36讲24.抛物线的焦半径与焦点弦训练，共10页。试卷主要包含了抛物线的通径，通径长为，以焦点弦为直径的圆与准线相切等内容，欢迎下载使用。
一．重要结论
抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:
假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为
.
性质1.,.
证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过向准线引垂线，垂足分别为.由定义可知：.代入坐标即可证得相关结论.
性质2.抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.
证明：，则的方程为，整理可得：
，即可得的方程为：.最后，由于直线过焦点，代入焦点坐标可得.再代入抛物线方程.
一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么
.
于是，若恒过定点.
性质3.已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则
（1）.
（2）.
证明：设准线交轴于点，过点作轴于，作于，由抛物线定义可知：．其中，.
所以，，故．
同理，所以．
性质4.抛物线的通径
(1).通径长为.
(2).焦点弦中，通径最短.
(3).通径越长，抛物线开口越大.
由性质3易得，略.
性质5.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则.
证明：设坐标为，由抛物线定义：，
故.
性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.
证明：设焦点弦的中点为，则到准线的距离为，由性质5可证得.
性质7.如图，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为，则
（1）；
（2）记的面积分别为,,，.
注:此题为2009湖北卷文科试题，证明过程可参见该题解答.
二．典例分析
例1.（2017年全国1卷）.已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
解析：法1:设,,直线方程为
取方程,得 ∴
同理直线与抛物线的交点满足
由抛物线定义可知
当且仅当(或)时,取得等号．
法2:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为，根据焦点弦长公式有:
．
故选A．
法4:设点,则
设直线的方程为
联立直线与抛物线方程消去可得
所以,所以
同理 ，所以(当且仅当时等号成立)
法5：可设直线，由抛物线焦点弦的性质3可得：
，故，当且仅当时取到最小值，故选A.
上述例2，在知晓背景的情况下解答是很容易的，这再次说明记住一些重要的二级结论可以优化运算，提升解题速度. 下例中，我们将看到有关面积的定值问题，从而为前面的重要结论做一个补充.
例2．（2022新高考2卷）已知为坐标原点，过抛物线的焦点的
直线与交于，两 点，点在第一象限，点，若，则直线
的斜率为
A．直线AB的斜率为2 B．
C．D．
解析：选项A：设中点为，则所以所以故
选项B：所以所以
选项C：
选项D：由选项A,B知所以所以为钝角；
又所以为钝角；
所以.故选ACD.
例3.抛物线的焦点为，，是抛物线上两动点，若，则的最大值为
A．B．C．D．
解析：.
在中,由余弦定理得：
，
又.
所以的最大值为. 本题选择A选项.
例4．（2022·广东·一模）已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．时，
B．时，的最小值为9
C．时，
D．时，的最小值为8
解析：当时，，此时不妨取 过焦点垂直于x轴，
不妨取 ，则，故A错误；
当时，，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,
，
，
令 ，则，令 ，则，当时， ，递增，当时， ， 递减，故 ，故当 ，即 时，取到最小值9，故B正确；
当时，，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,
，
即，
故，，
所以，故C正确；
由C的分析可知：，
当 时，取到最小值16，即最小值为16，故D错误；故选：BC
例5.（2018年全国2卷）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
解析：（1）设直线的方程为，且坐标为，联立方程可得：
得．，故．
所以．由题设知，解得：
解得：，故的方程为.
（2）由（1）可得中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，设所求圆的圆心坐标为，则
解得或
因此所求圆的方程为或．
注：此题以焦点弦性质6为背景展开.
例6．已知抛物线C：，过点且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点.
（1）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为.若，求点B的坐标；
（2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求的值.
解析：由题意，直线的方程为，其中.
设， 联立，消去得.
.，，即.，即.
，，∴点的坐标为.
（2）由题意，直线的方程为，其中，为倾斜角，则，
设. 联立，消去得.
.
.
例7．已知抛物线的焦点为为上一点，的最小值为1.
（1）求抛物线的标准方程；
（）过焦点作互相垂直的两条直线与抛物线相交于两点，与抛物线相交于两点.若分别是线段的中点，求的最小值.
解析：（1）抛物线的标准方程为.
（2）由（1）得，点，显然直线，的斜率都存在且不为0，设直线斜率为，则的斜率为，直线的方程为，由消去并整理得，
，设，，则，所以线段中点，
，同理，所以，
令，当且仅当，即时等号成立.
所以，且，所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为16.
例8．已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；
（1）求抛物线C的方程；
（2）过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.
解析：（1）抛物线的方程为；
（2）抛物线的方程为，即，设，，则切线PA，PB的斜率分别为，.所以切线PA：，
∴，又，，
同理可得切线PB的方程为，因为切线PA，PB均过点，所以，，所以直线AB的方程为.
联立方程，消去x整理得，
∴，∴.
∴，由抛物线定义可知，，
所以
∵，
∴，令
∴原式，即最大值.