高中数学第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线课后复习题

这是一份高中数学第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线课后复习题，共55页。试卷主要包含了双曲线定义，双曲线标准方程和几何性质，渐近线求法结论，渐近线的一些二级结论，离心率，焦点三角形与正弦定理，焦点三角形面积公式，所以y1y2=-12-4等内容，欢迎下载使用。
综述
1.双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0).
2.双曲线标准方程和几何性质
性质：
①动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a；
②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b；
4.渐近线求法结论：
可直接令方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得；
可巧设共渐近线双曲线：
与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ (λ≠0)．
5.渐近线的一些二级结论：
（1）焦点到渐近线的距离为b
（2）定点到渐近线的距离为
（3）准线与对称轴的交点到渐近线的距离为
（4）双曲线的焦点在渐近线上的射影对十周两定点的张是直角
（5）双曲线的定点在渐近线上的射影对两准线与对称轴的交点张直角
（6）一直线交双曲线的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M，则.
（7）过双曲线上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐标原点则有如下结论：
①OM·ON=a2+b2；②；③
7.离心率：
①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
8.焦点三角形与正弦定理
设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
9.焦点三角形面积公式
双曲线（a＞0,b＞）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.
【题型一】求轨迹
【典例分析】
已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】当在圆内时，由几何性质可得，此时的轨迹是以为焦点的椭圆. 当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.当在圆外时，,此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支，从而可得答案.
【详解】当在圆内时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,
则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段于点，如图1 .
连接, 则, 所以
则
此时的轨迹是以为焦点的椭圆.
当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.
当在圆外时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,
则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段的延长线于点，如图2 .
连接, 则, 所以
则
此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支.
同理当在圆上运动时，还会得到
所以动点的轨迹是双曲线，则在圆外,所以
故选： D
【变式训练】
1.圆的半径为定长，是圆所在平面上与不重合的一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是________
①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤一个点
【答案】①②④⑤
【分析】由题设条件线段的垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）因为为圆内的一定点，为上的一动点，
线段的垂直平分线交半径于点，
可得，
即动点到两定点的距离之和为定值，
①当不重合时，根据椭圆的定义，可知点的轨迹是：以为焦点的椭圆；
②当重合时，点的轨迹是圆；
（2）当为圆外的一定点，为上的一动点，
线段的垂直平分线交半径于点，
可得，
即动点到两定点的距离之差为定值，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹是：以为焦点的双曲线；
（3）当为圆上的一定点，为上的一动点，此时点的轨迹是圆心.
综上可得：点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线.
故答案为：①②④⑤
2.已知定点，，是圆：上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是
A．直线B．圆
C．椭圆D．双曲线
【答案】D
【分析】由是圆上任意—点，可得，结合已知，由垂直平分线的性质可得，从而可得为定值，由双曲线的定义可得点的轨迹是以为焦点的双曲线.
【详解】
因为N为中点，O为中点，
所以，
因为P在线段的中垂线上，所以，
因此，即点的轨迹是双曲线，故选D.
3.已知圆及点，为圆周上一点，的垂直平分线交直线于点，则动点的轨迹方程为__________．

【答案】
【分析】根据线段的垂直平分线找到几何关系，再利用双曲线的定义可求解.
【详解】由的垂直平分线交直线于点，得，圆的半径为，
所以，故点的轨迹是以为焦点的双曲线，
所以由题意的，所以，
又因为焦点在轴上，故所求方程为．
故答案为：
【题型二】方程与图像
【典例分析】
（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将实数，满足通过讨论，得到其图像是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图像分析可得的取值就是图像上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.
【详解】解：因为实数，满足，
所以当时，其图像位于焦点在轴上的椭圆第一象限，
当时，其图像位于焦点在轴上的双曲线第四象限，
当时，其图像位于焦点在轴上的双曲线第二象限，
当时，其图像不存在，
作出圆锥曲线和双曲线的图像如下，其中图像如下：
任意一点到直线的距离
所以
结合图像可得的范围就是图像上一点到直线距离范围的2倍，
双曲线，其中一条渐近线与直线平行
通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值
当曲线上一点靠近双曲线的渐近线时取得最大值，不能取等号
设与其图像在第一象限相切于点
由
因为或（舍去）
所以直线与直线的距离为
此时
直线与直线的距离为
此时
所以的取值范围是
故选：B
【变式训练】
1.已知曲线，点为曲线上任意一点，若点，，则面积的最大值为______．
【答案】
【分析】画出曲线的图形，求出，过的直线方程为，判断直线为双曲线和的渐近线，设过点且与直线平行的直线方程为，当直线与曲线相切时，联立直线与椭圆方程，求出，然后求解平行线之间的距离，即可求解三角形的面积．
【详解】曲线C是由、
以及三部分构成（如图所示），
，且过AB的直线方程为，
并且直线为双曲线和的渐近线，
设过点P且与直线平行的直线方程为，
由图知，当直线与曲线相切时，
切点到直线距离最大，联立
消去得，，
解得（正根舍），
所以，所以点到直线的最大距离即为直线与直线之间的距离，所以最大距离，
所以面积的最大值为．
故答案为：
2.方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是；④的图像不经过第一象限，其中正确结论的个数是___________
【答案】
【分析】先根据题意画出方程的曲线即为函数y=f（x）的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数y=f（x）的结论的正确性．
【详解】根据题意画出方程的曲线即为函数y=f（x）的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．
从图形中可以看出，关于函数 的有下列说法：
①R上单调递减；正确．
②由 即 ，从而图形上看，函数的图象与直线没有交点，故函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；正确．
③函数y=f（x）的值域是R；正确．
④的图象不经过第一象限，正确．
其中正确的个数是4．
故选D．
3.若直线与曲线有且仅有三个交点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过化简分析出其是图象由椭圆的一上部分与双曲线的上部分构成，所以如果直线与曲线有且仅有三个交点等价于直线过点且与双曲线的渐近线平行和直线与椭圆的上部分相切，从而求出的取值范围
【详解】由题意作图象如下，
因为化简，得，即或
的图象由椭圆的一上部分与双曲线的上部分构成，因为双曲线的渐近线为
故直线：与曲线：有且仅有三个交点的临界直线是过点且与双曲线的渐近线平行和直线与椭圆的上部分相切，当过点时，即，故；
当直线与椭圆的上部分相切，
即， 时，此时所以
故选：D
【题型三】求双曲线的方程
【典例分析】
在矩形中，，，把边AB分成n等份，在的延长线上，以的n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P满足的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，结合题意找出与的关系式，即可求解.
【详解】设，则，，根据题意，易得直线，直线.
由，令，得，因此边AB上各分点坐标为，
由，令，得，因此延长线上的对应分点坐标为，
结合题意，可知 ，化简得.
因此点P满足的方程为：.
故选：C.
【变式训练】
1.若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设点，由结合两点间的距离公式得出点的轨迹方程，将问题转化为双曲线与点的轨迹有个公共点，并将双曲线的方程与动点的轨迹方程联立，由得出的取值范围，可得出答案．
【详解】依题意可得，设，则由，
得，整理得.
由得，
依题意可知，解得，
则双曲线C的虚轴长.
2.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线（，）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意，根据双曲线方程，可得渐近线方程，根据等边三角形的性质，可得渐近线的斜率与的值，联立方程，可得答案.
【详解】由方程，则双曲线的渐近线方程为，
不妨设在直线上，
由△OAF是边长为2的等边三角形，则可得，直线的倾斜角为，即，
联立，可得，故双曲线方程为.
故选：C.
3.如图，双曲线：（，）的左、右焦点为，，过，作圆：的切线，四条切线围成的四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由四边形的面积求出直角三角形面积，利用三角形面积公式计算出、，再由可得、，从而得到答案.
【详解】如图，由题意，因为四边形的面积为，所以直角三角形面积为，即，，，，，，双曲线的方程为.
故选：B.
【题型四】双曲线第一定义
【典例分析】
设是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（ ）.
A．4B．5C．6D．3
【答案】A
【分析】根据双曲线的对称性，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，进而得到，结合双曲线的定义可知，设，根据题意得到点N的坐标，于是得到点M的轨迹方程，最后求得答案.
【详解】双曲线的方程为：，可得，则，设，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，则.
由题意，，由双曲线的定义：，则，于是，，即点M在以原点为圆心，2为半径的圆上，而圆心（0,0）到直线的距离为：，该直线与圆相切，则点M到该直线的距离的最大值为：2+2=4.
故选：A.
【变式训练】
1..已知双曲线：，分别是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，在线段上取“的周长中点”，满足，同理可在线段上也取“的周长中点”.若的面积最大值为1，则________．
【答案】
【分析】根据题目中对周长中点的定义，可以列出图像中各线段之间的关系，将两式相加，相减，得到与双曲线定义，焦距相关的式子，结合三角形的面积公式，即可求解
【详解】解：由题意作出图形，
设双曲线的焦距为,根据题意可得：,①,②
①②得：，即
所以，所以：。①②得：
所以,所以, ,所以当时, 的面积取最大值,
所以,所以,故答案为: .
2.．已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于__________.
【答案】6
【分析】利用双曲线的性质，得到，代入所求式子，结合两点距离直线最短原理，计算最小值，即可．
【详解】结合题意，绘制图像：
根据双曲线的性质可知，得到，所以
，而，所以
，所以最小值为6.
3.已知分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，关于直线的对称点为关于直线的对称点为，则当最小时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对称性得到，根据余弦定理得到，得到答案.
【详解】根据对称性知：，，故.
根据余弦定理：
故当，即时，有最小值，此时.
故选：.
【题型五】 双曲线焦半径（第二定义）
【典例分析】
若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，若C的右支上存在点Q，使得Q到左焦点的距离等于它到直线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】若Q到的距离为有，由题设有，结合双曲线离心率的性质，即可求离心率的范围.
【详解】由题意，，即，整理有，
所以或，
若Q到的距离为，则Q到左、右焦点的距离分别为、，又Q在C的右支上，
所以，则，又，
综上，双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：
【变式训练】
1.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为________．
【答案】8
【解析】求出椭圆的离心率和焦点，从而得双曲线的离心率，双曲线的实半轴长，可得，由双曲线的定义得PF1＝PF2＋2，这样就可表示为的函数，于是可利用基本不等式求得最小值
【详解】设椭圆的长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c，
则c＝＝＝2，故椭圆的离心率e1＝＝，从而双曲线的离心率，可得a＝1，
根据双曲线的定义有PF1－PF2＝2a，即PF1＝PF2＋2，故＝＝＝PF2＋＋4，
由双曲线的范围可得PF2≥c－a＝1，根据基本不等式可得PF2＋＋4≥2＋4＝8，
当且仅当PF2＝，PF2＝2时取“＝”，所以的最小值为8.故答案为：8．
2.已知为双曲线(，)左支上一点，，为其左右焦点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设则，记，求导分析单调性，从而求得最小值，因为最小为故可求得关系，即可求得离心率．
【详解】设，，则由双曲线的定义得：，
∴，．
记，，，令，得．
（1）当时，，，单调递减；
，，单调递增，
∴，不合题意，舍去；
（2）当时，恒成立，
∴，
∴，∴，解得或．
∵不满足，应舍去.∴，离心率．
故选：B．
3.已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与在第一象限的交点为，直线与交于另一点．若的面积为，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】设直线与轴正方向的夹角为，利用双曲线的第二定义表示出,，根据的面积以及即可求解.
【详解】设双曲线的右准线与轴的交点为，则，
设直线与轴正方向的夹角为，
由双曲线的第二定义可得，
，，，
即，由，①②，可得整理，③
由①可得，即，④
将④代入③，整理可得，即.故选：D
【题型六】双曲线第三定义
【典例分析】
已知双曲线与直线交于两点，点为上一动点，记直线的斜率分别为，曲线的左、右焦点分别为．若，且的焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线的离心率为
C．若，则的面积为
D．若的面积为，则为钝角三角形
【答案】D
【分析】由题意可求得双曲线的离心率以及求得a,b的值，故可判断A,B;根据，求得焦半径，，即可求得的面积，判断C;根据的面积可求得点P的坐标，进而利用余弦定理求得，判断D.
【详解】设点，，，，，，
则，且，两式相减得，所以,
因为，所以，, ,
故双曲线的渐近线方程为;
因为焦点到渐近线的距离为1，所以，，
即有 ，所以，，离心率为，故A，B 错误．
对于，不妨设在的右支上，
记，则．因为，所以，
解得或（舍去），
所以的面积为，故不正确．
对于，设，，因为，所以，
将代入，得，即．
由对称性，不妨取的坐标为，则，
因为
所以为钝角，所以为钝角三角形，故正确,
故选：．

【变式训练】
1.已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则
A．B．
C．2D．-2
【答案】A
【详解】试题分析：设，则，根据点差法可得，所以直线的斜率为，直线的斜率为，，故选A.
2.已知平行四边形的四个顶点均在双曲线上，为坐标原点，为线段的中点且的斜率之积为3，则双曲线的离心率为_________.
【答案】2详解：由双曲线的对称性知O是平行四边形ABCD对角线的交点，∴OE//AD，OF//AB，
∴，设，则，设，则，
∴，，故答案为2．
3.在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________
【答案】【解析】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2，∵点M，N在双曲线上，所以，，
故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=2，∴y1y2-2 x1x2=0，∴2x2-y2=20，所以P在双曲线2x2-y2=20上；
设该双曲线的左，右焦点为F1，F2，由双曲线的定义可推断出为定值，该定值为
【题型七】双曲线渐近线
【典例分析】
已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义和性质得到，由渐近线方程得到渐近线的斜率，当时，利用余弦定理和面积公式，通过面积相等的两种不同求法，建立关系，最终求出k的范围.
【详解】 焦点在x上 焦点坐标为
由双曲线的对称性可得 又
又
又
而，，当时，整理得
又 又的渐近线方程为 又
k的取值范围为 故选：C

【变式训练】
1.已知双曲线，过轴上点的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），直线交双曲线左支于点（为坐标原点），连接.若，，则该双曲线的渐近线方程为____ .
【答案】
【分析】由题意可知：，关于原点对称，得到，分别求出相应的斜率，再根据离心率公式，即可求解.
【详解】由题意可知：，关于原点对称，∴，
又由，，则，，∴，
渐近线方程为.
2.如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据几何关系列出关于渐近线倾斜角与面积的等量关系式，求出渐近线的倾斜角，从而根据渐近线方程计算的值，确定双曲线的方程
【详解】设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，从而，所以双曲的方程为，
故选：B．
3.已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A．B．3C．D．4
【答案】B
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线的倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，
求得，
所以，故选B.
【题型八】焦点三角形
【典例分析】
已知､分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线的渐近线的距离为2，点在双曲线上，且，则三角形的面积为___________.
【答案】
【分析】由点到该双曲线的渐近线的距离为2，可得的值，再依据双曲线定义和，可得的值，由三角形面积公式可得三角形的面积.
【详解】双曲线的渐近线的方程为，右焦点
由点到该双曲线的渐近线的距离为2可得，，则
由，可得
则三角形的面积为
故答案为：

【变式训练】
1.已知的顶点，分别为双曲线左、右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于__________．
【答案】
【分析】由题意得,，再利用正弦定理进行求解即可.
【详解】解：由题意得,，
.故答案为：.
2.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A．x21B．
C．D．
【答案】D
【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得，由双曲线的定义可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程．
【详解】解：由题可知，，若，即为，
可得，即有，由双曲线的定义可知，
可得，由于过F2的直线斜率为，所以在等腰三角形中，，
则，由余弦定理得：，化简得：，
即，，可得，，所以此双曲线的标准方程可能为：.故选：D．
3.双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（ ）
A．B．C．32D．42
【答案】A
【分析】根据已知条件求出焦距及，根据双曲线定义及余弦定理求出乘积，代入三角形面积公式即可求解.
【详解】根据、为双曲线的两焦点可得，
又直线、倾斜角之差为，所以，
根据余弦定理可得，
整理得①，
根据点P在双曲线上可得，
则②，
①-②得，，
则面积为.
故选：A.
【题型九】离心率1：焦点直角三角形型
【典例分析】
已知双曲线的左、右焦点分别为 ，点在双曲线上．若为直角三角形，且，则双曲线的离心率为 _______________________ ．
【答案】或
【分析】设点在双曲线的右支上，由为直角三角形，可分类讨论或，由，设长度，再结合结合勾股定理，得到关系，求出离心率.
【详解】根据双曲线的对称性，设点在双曲线的右支上
由为直角三角形，可知或
（1）若，由，设
由勾股定理知：，又，即
（2）若，由，设由勾股定理知：，
又，即 综上可知，双曲线的离心率为：或
故答案为：或
【变式训练】
1.如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.
【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接，
由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，
设，则，，，
在中，，解得或m＝0（舍去），
从而有，中，，整理得，，
所以双曲线E的离心率为．故选：B
2.已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的几何性质和平面几何性质，建立关于a,b,c的方程，从而可求得双曲线的离心率得选项.
【详解】由题意可设右焦点为，因为，且圆：，所以点在以焦距为直径的圆上，则，
设的中点为点，则为的中位线，所以，则，又点在渐近线上，
所以，且，则，，所以，所以，
则在中，可得，，即，解得，所以，
故选：A．
3.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，四边形的周长与面积满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线的定义知，结合四边形的周长知，得到，的长度，从而得到矩形的面积，再利用化简整理，借助勾股定理得到关系，即可求得离心率.
【详解】由双曲线的定义可知，
又，，可知四边形是平行四边形，所以
联立解得，，
又线段为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形为矩形，所以四边形的面积，
又，所以，即，解得，
由，得，即，即.
故选：C.
【题型十】离心率2：双三角形余弦定理型
【典例分析】
双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，是等边三角形，若x轴上存在点Q且满足，则C的离心率为___________.
【答案】
【分析】画出图形，利用和是等边三角形的条件，得到各边之间的关系，再用余弦定理，找到a和c的关系，进而求出离心率.
【详解】如图所示，由题意可得，因为，所以，所以，在等边三角形中，设，则，，由双曲线的定义可得，所以，即①，因为是等边三角形，所以，在中，，化简可得②，由①②可得，所以.
故答案为：.
【变式训练】
1.已知双曲线的左、右焦点分别为，设过的直线与的右支相交于两点，且，，则双曲线的离心率是______.
【答案】
【分析】设的中点为，连接，，由题意可得，，由抛物线的定义可得，，，，，，在中和中中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出的关系，进而可得离心率.
【详解】如图：设的中点为，连接，，
因为，为的中点，所以，由，得，
所以，在中，，
，所以，
在中，，
因为，，所以，
整理可得：，即，所以，即，
所以或（舍），所以离心率，故答案为：
2.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线于P，Q两点，且，，则双曲线的离心率为________.
【答案】
【分析】先根据题意得，再根据双曲线的定义得，，再在中，利用勾股定理即可求得.
【详解】解：如图，
可设为双曲线右支上一点，由，
在直角三角形中，，由双曲线的定义可得：，
由，即有，即为，
，解得，，由勾股定理可得：，可得.故答案为：.
3..已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.
【答案】##
【分析】设的中点为，连接，，由题意可得，，由双曲线的定义可得，，，，，，在和中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出的关系，从而可得双曲线C的离心率.
【详解】解：如图：设的中点为，连接，，
因为，所以，因为为的中点，所以，由，得，所以，在中，，
因为，所以，
在中，，
因为，所以，即，
整理可得，即，所以，
所以或（舍），所以离心率，故答案为：.
【题型十一】离心率3：共焦点椭圆与双曲线
【典例分析】
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出、关于的等式，从而可得出、的关系式.
【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，焦距为，在中，由余弦定理得，
由椭圆和双曲线的定义得，解得.
代入，
得，
即，，
即，，因此，.
故选B.
【变式训练】
1.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．3C．6D．
【答案】C
【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案．
【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，
又，，
两式相减，可得：，，
． ，
，当且仅当时取等号，
的最小值为6，故选：C．
2..我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】设， ，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，根据余弦定理可得，利用椭圆和双曲线的定义，结合离心率的公式，求得结果.
【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的离心率为，则，．
双曲线的实半轴长为，双曲线的离心率为，，，设， ，
则，当点P被看作是椭圆上的点时，有，
当点P被看作是双曲线上的点时，有 ，两式联立消去得，即，所以，又，所以，整理得
3.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】利用椭圆和双曲线的定义及可以列出关于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值
【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，，，（） ，
则，解之得又则
则，则则，则
（当且仅当时等号成立）则的最小值为故选：B
【题型十二】离心率4：焦点弦定比分点
【典例分析】
已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，且，则双曲线C的离心率的取值范围为________．
【答案】
【分析】由题意知：在、之间，若过作直线l垂直于B，交于A，可令求、坐标，进而可得、，应用向量共线的坐标表示，列方程得到a、c的齐次方程，即可求的范围.
【详解】
由题意，双曲线C的渐近线为，若过作直线l垂直于B，交于A，.
∵且，
∴在、之间，如上图示，令，
∴，，则，，
∴， 即，∴，故，得，又，
∴.故答案为：
【变式训练】
1.已知双曲线的左、右焦点分别是、，是其右支上的两点，，则该双曲线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先根据长度关系以及双曲线的定义求解出，然后利用对应的余弦定理即可求解出的值，从而双曲线的方程可求.
【详解】设，则，，由得，
设，
由余弦定理可知：由①，②得，又，，
∴双曲线方程为.故选：D.
2.已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】由点A、B关于原点对称，设，则，利用，得，再利用得到关系式，再用点C、B在双曲线上，三个式子联立求解得到，化简得到，即可求得双曲线的离心率.
【详解】由点A、B关于原点对称，设，则
，设，，
，，即
，
利用向量数量积公式得：，即①
又点C、B均在双曲线上，
②，③
由①②③可得：
两边同时除以可得：
两边同时平方得；，即
又双曲线的离心率，则，即故选：B.
3.已知F1、F2是双曲线E ：( a >0， b >0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P、Q．若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题干条件得到，设出，利用双曲线定义表达出其他边长，得到方程，求出，从而得到，，利用勾股定理求出的关系，求出离心率.
【详解】因为M为PQ的中点，且，所以△为等腰三角形，
即，因为，设，则，由双曲线定义可知：，
所以，则，又，所以，
解得：，由勾股定理得：，其中，
在三角形中，由勾股定理得：，
即，解得：
故选：D
【题型十三】焦点三角形内心
【典例分析】
已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】延长到且，延长到且，结合向量的线性关系知是△的重心，根据重心和内心的性质，进而得到，由双曲线定义得到齐次方程，即可求离心率.
【详解】如下图示，延长到且，延长到且，
所以，即，
故是△的重心，即，又，
所以，而是的内心，则，
由，则，故，即.
故选：D
【变式训练】
1.已知F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1=2r2，则直线l的斜率为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】记△AF1F2的内切圆圆心为C，△BF1F2的内心D，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，则C、E横坐标相等，根据外接圆的性质及双曲线的定义求得的横坐标，可得CD⊥x轴，设直线的倾斜角为θ，∠OF2D=，∠CF2O=90°﹣，结合r1=2r2，分析运算即可得出答案.
【详解】解：记△AF1F2的内切圆圆心为C，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，
则C、E横坐标相等，则|AM|=|AN|，|F1M|=|F1E|，|F2N|=|F2E|，由|AF1|﹣|AF2|=2a，即|AM|+|MF1|﹣（|AN|+|NF2|）=2a，
得|MF1|﹣|NF2|=2a，即|F1E|﹣|F2E|=2a，记C的横坐标为x0，则E（x0，0），
于是，得x0=a，同理△BF1F2的内心D的横坐标也为a，则有CD⊥x轴，
设直线的倾斜角为θ，则∠OF2D=，∠CF2O=90°﹣，在△CEF2中，tan∠CF2O=tan（90°﹣）=，
在△DEF2中，tan∠DF2O=tan，由r1=2r2，可得2tan=tan（90°﹣）= ，解得tan，
则直线的斜率为tanθ==2.故选：D.
2.过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B.已知O为坐标原点，若△OAB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．或4D．或2
【答案】D
【分析】需分为A，B在y轴同侧或A，B在y轴异侧分类讨论，画出对应图形，同侧时，结合，由几何关系表示出，再结合离心率公式即可求解；异侧时，结合内切圆半径公式得，化简可得，联立勾股定理|OB|2=|AB|2+a2求出，|OB|，求出，再由离心率公式即可求解.
【详解】若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限，如图，设△OAB内切圆的圆心为M，则M在∠AOB的平分线Ox上，过点M分别作MN⊥OA于N，MT⊥AB于T，由FA⊥OA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得|FA|=b，又|OF|=c，所以|OA|=a，又，所以，所以，从而可得；
若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限如图，易知|FA|=b，|OF|=c，
|OA|=a，所以△OAB的内切圆半径为，
所以，又因为|OB|2=|AB|2+a2，所以，|OB|=2a，
所以∠BOA=60°，∠AOF=60°，则，从而可得.
综上，双曲线C的离心率为或2.故选：D
3.已知双曲线：，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的第一象限内的点，点为的内心，的面积的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先由双曲线的定义得到点在上垂足为右顶点，设出渐近线的倾斜角为，则，，则，求出，从而求出，求出，的面积的取值范围.
【详解】由题意得：，故，设点，且在上垂足为H，根据双曲线定义及切线长定理可得：，又因为，解得：，所以点H坐标为，即渐近线的倾斜角为，则，记，则，
所以，即，又，解得：(负值舍)，
所以，则，所以.故答案为：
【题型十四】计算之小题大做：韦达定理
【典例分析】
.已知双曲线，直线l经过C的左焦点F，与C交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．则C离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】设，，AB：，联立直线与双曲线方程可得，从而确定，再根据可得，代入韦达定理化简得，根据求解即可
【详解】设，，AB：，
与C的方程联立，消x得，
则，．
由题可知，则，且判别式．
因为，所以，即，
整理得，即，
即，
化简得．
当时，解得．
由于，所以，即，
即，所以，所以．
另一方面，，即，所以，
即解得．且，所以．
故C离心率的取值范围是．故答案为：
【变式训练】
双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设的方程为，联立双曲线利用代数式恒成立即可求解PQ恒过定点时b的值，即得定点.
【详解】设的方程为,则由
设。又，
，又
代入整理得：
或。当，直线过，舍去
当b=3时，过定点。故选：C
【题型十五】计算之小题大做：暴力计算
【典例分析】
如图所示，，是双曲线上的三个点，点，关于原点对称，线段经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别设出坐标利用几何条件将C坐标表达出后代入双曲线方程，整理出离心率表达式，并代入选项验证即可得解
【详解】由题意可得在直角三角形中，为斜边上的中线，所以
设且在第一象限，则满足解得
所以 , 设
因为 则,化简得……
则 将代入后可分别化简得
即
将代入双曲线方程，可化简为
因为在双曲线中 所以上式为
即 整理为
将选项代入验证，D选项满足等式
故选：D
【变式训练】
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，（为坐标原点）．若直线与的左支有交点，则的离心率的取值范围为______．
【答案】
【分析】设位于第四象限，可知，设，由和在双曲线上可构造方程组求得点坐标，由此表示出，由化简可得，根据可求得结果.
【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：；
不妨设位于第四象限，则若直线与的左支有交点，则；
设，由得：，又，
，，，
，即，，
整理可得：，即，，
，即的离心率的取值范围为.
故答案为：.
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1．双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义直接得解.
【详解】设双曲线的左右焦点分别为，，
由双曲线，可得，
又，则，
故选：B.
2．在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（ ）．
A．一条线段B．一条射线C．一个椭圆D．双曲线的一支
【答案】B
【分析】由判断出正确答案.
【详解】依题意，、是两个定点，P是一个动点，
且满足，所以动点P的轨迹是一条射线.
如图所示，在线段的延长线上.
故选：B
3．若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用圆的方程解出两点坐标，利用双曲线的图像和性质计算即可.
【详解】将代入解得点坐标分别为，
因为两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，
所以双曲线焦点在轴上且，解得，
所以双曲线方程为：.
故选：B.
4．若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．双曲线的一支B．圆
C．抛物线D．双曲线
【答案】A
【分析】由圆与圆的位置关系以及双曲线的定义求解即可
【详解】设动圆的圆心为M，半径为r，
圆与圆的圆心分别为和圆，
易得圆和圆的半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得，．
∴，又，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支．
故选：A
5．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，点M与C的焦点不重合，点M关于的对称点分别为A，B，线段MN的中点Q在C的右支上．若，则C的实轴长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【答案】B
【分析】由题意可得，代入，即可得出答案.
【详解】∵F1为MA的中点，F2为MB的中点，
∴，
又，所以，
∴|.
故选：B．
6．已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得，再根据即可求解.
【详解】∵双曲线的渐近线方程为，
∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.
∴双曲线的离心率为.
故选:C.
7．双曲线的左右焦点分别是，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限交于点A，在第二象限交于点B，若，则双曲线的离心率为_______________．
【答案】
【分析】首先根据题意在以为圆心，为半径的圆上可得，再根据所在位置，利用双曲线的定义可得，结合可得化简即可得解.
【详解】根据题意可得：，
由以为半径的圆与双曲线在第一象限交于点A，在第二象限交于点B，
可得，
所以，
又，所以
即，所以，
故答案为：
8．已知双曲线方程，为双曲线的右焦点，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据双曲线基本量间的关系，结合基本不等式可得取值范围.
【详解】由，且，，，
得，当且仅当时，等号成立，
所以，又，所以，综上所述，，
故答案为：.
9．过双曲线的左焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，过A，B分别作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q.若，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】根据图象可知焦点F到渐近线的距离，结合离心率定义可得结果.
【详解】
如图所示，左焦点F到渐近线的距离，而，∴，
∴双曲线的离心率为.故答案为：
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与y轴的正半轴交于点B，连接，，分别交双曲线的渐近线于点E，F.若四边形OFBE为平行四边形，则该双曲线的离心率为______.
【答案】
【分析】由题可得，进而可得，即得.
【详解】设双曲线的焦距为，由题可得，则，因为四边形OFBE为平行四边形，
所以，，因为渐近线OF的方程为，所以，
所以离心率.故答案为：.
培优第二阶——能力提升练
1．如图，已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是（ ）
A．3B．2C． D．
【答案】A
【分析】由切线长定理可得几个线段长等式，再由对称性可得，由此得到，结合双曲线的定义可求得，从而得到双曲线的离心率.
【详解】不妨设内切圆在上的切点为，在上的切点为，如图，
则由切线长定理可得，，又由双曲线与圆的对称性可知，
所以，故，
所以，故，即，得，
又因为，所以，即，所以双曲线的离心率为.
故选：A.
2．已知双线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M在C的右支上运动，的内心为I，若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【分析】首先设双曲线的右顶点为A，的内切圆I与、、分别相切于点P、Q、N，根据双曲线的概念得到，从而得到A与N重合，再结合题意得到，即可得到答案.
【详解】设双曲线的右顶点为A，的内切圆I与、、分别
相切于点P、Q、N，如图所示：
.所以，，，
则，
而，所以，即A与N重合，
即内切圆I与相切于点A，所以，又，所以A为的中点，
所以，故.故选：A.
3．若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的焦距为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】A
【分析】由双曲线方程，可知渐近线方程，根据直线与圆的弦长公式，可得答案.
【详解】由，则该双曲线的渐近线方程为，
不妨设直线，即被圆所截得的弦长为，
则，由双曲线的性质，可知，即，
解得，故该双曲线的焦距为.
故选：A.
4．已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为，则正实数的值为（ ）
A．8B．4C．1D．
【答案】A
【分析】求出圆心到一条渐近线的距离，利用弦心距、半径、半弦长的关系求解即可.
【详解】由可得，即圆心为，半径为，
由双曲线的对称性，取双曲线的一条渐近线，即，
所以圆心到渐近线的距离为，依题意得，解得.故选：A
5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找，，之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用，表示出，并且，，在中根据勾股定理可得到：该式变形即可求解．
【详解】解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
得，，，设，，
在中由勾股定理得，
化简得：该式可变成：，即．故选：C.
6．已知F为双曲线C：的左焦点，过F作圆的切线，切点为T，延长FT交C于点P，若M为线段FP的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用可得的余弦，在焦点三角形中使用余弦定理，结合双曲线定义列方程组可解得PF，然后由M为线段FP的中点可解.
【详解】取双曲线右焦点F2，连接PF2，由题知，，所以在中，，所以，所以记，则由双曲线定义和余弦定理可得，解得因为M为线段FP的中点，所以
所以故选：D
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为________．
【答案】##
【分析】数形结合可知，，且，利用中边的关系即可求得离心率.
【详解】如图所示：由题可知，，，则，又，，
又，则，作交于点，可得，，则.
在中，，即，得，
又，化简可得，，双曲线的离心率为.故答案为：.
8．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点 之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程 的解为____________
【答案】
【分析】根据题意说明表示的平面内一点与两定点 距离之差的绝对值为6，求得该点所在的曲线方程，即双曲线方程，继而求得答案.
【详解】由，可得 ，
其几何意义为平面内一点与两定点 距离之差的绝对值为6，
平面内与两定点距离之差的绝对值为6的点的轨迹是双曲线，
设该双曲线的方程为 ，则得，
所以该双曲线的方程是，令 ，解得 ，故答案为：．
9．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为 __．
【答案】.
【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合，可得，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．
【详解】设P2关于轴的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，
由，得，即恒成立，∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，
∴其中一条渐近线的斜率，∴a≥1，所以实数a的取值范围为．
故答案为：[1，+∞）．
10．过抛物线上一点P(4，4)作两条直线PA，PB（点A,B在抛物线上），且它们的斜率之积为定值4，则直线AB恒过定点____.
【答案】
【分析】设出点A和点B坐标，表示出直线PA，PB的斜率，利用斜率之积等于4，得到坐标之间的关系，然后表示出直线AB，找到直线AB恒过的定点.
【详解】设A，B，则kPA=，同理，kPB=，kAB=.
因为kPA·kPB=4，所以·=4，所以y1y2+4(y1+y2)+12=0.所以y1y2=-12-4(y1+y2).
直线AB的方程为y-y1=，即(y1+y2)y-y1y2=4x.将y1y2=-12 -4(y1+y2)代入上式得:
(y1+y2)(y+4)=4(x-3)，所以直线AB恒过定点(3,-4).故答案为：(3,-4).
培优第三阶——培优拔尖练
1．已知双曲线：(，)的一条渐近线被圆截得的线段长不小于8，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得，的关系，即可得到所求的离心率．
【详解】双曲线的一条渐近线方程设为，由题得圆的圆心为，半径，可得圆心到渐近线的距离为，则由题意可知，解得：所以双曲线的离心率，即故选：D．
2．已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（ ）
A．48B．49C．50D．42
【答案】A
【分析】由已知可确定点坐标，从而确定以为直径的圆，连接，可将转化为，进一步利用向量的线性运算得到，由双曲线性质可确定结果；
【详解】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上，直线方程为，令，解得：，；以为直径的圆的圆心为，且．连接，
在以为直径的圆上，，，
；
为双曲线上一点，且，，；
故选：A
3．已知双曲线：，若存在斜率为1的直线与的左､右两支分别交于点，，且线段的中点在圆：上，则的离心率的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据点差法化简后可得，利用中点在圆上，代入根据方程有解，利用判别式建立不等关系，化简即可求出离心率的取值范围.
【详解】设，则①，②①②得 化简得，
因为直线斜率为1，所以，设为中点，则 ③，其中，，
因为在圆上，则 ④③代入④可得，
方程有解可得，即，
解得,即，所以，故选：B
4．双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
【答案】
【分析】联立直线方程与双曲线方程，利用根的判别式得到的取值范围，进而求出离心率的取值范围.
【详解】由，消去，得到，由题意知，，解得：.
所以，所以.故答案为： .
5．双曲线的右焦点为，设、为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】B
【解析】设，则，得到，根据题设条件，化简得到，结合，求得的值，根据离心率的定义，即可求解.
【详解】设，则，因为的中点为的中点为，所以，
因为原点在线段为直径的圆上，所以，可得，①
又因为点在双曲线上，且直线的斜率为，所以，②
联立消去，可得，③
又由点是双曲线的右焦点，可得，
代入③，化简整理得，解得或，
由于，所以（舍去），故，解得，所以离心率为.
故选：B.
6．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题中的条件求出，根据三角形两边之和大于第三边得到，再根据，得到，即可求出离心率的取值范围.
【详解】解：如图所示：
，是双曲线的左右焦点，延长交于点，是的角平分线，，又点在双曲线上，，，又是的中点，是的中点，是的中位线，，即，
在中，，，，由三角形两边之和大于第三边得：，
两边平方得：，即，两边同除以并化简得：，
解得：，又，，
在中，由余弦定理可知，，
在中，，即，
又，解得：，又，,即， ，
综上所述：.故选：B.
7．已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，以为半径的圆交双曲线的右支于，两点（为坐标原点），的一个内角为，则双曲线的离心率为_______．
【答案】
【分析】由双曲线的对称性及一内角为可得为等边三角形，进而求点P的坐标，再由P在双曲线上，代入双曲线方程，由代入化简即可求离心率e.【详解】如下图所示：，且的一个内角为，
则为等边三角形，所以连接，，则
，，即
，故又因为P为双曲线：上一点
所以，即 解得
8．设，为椭圆：与双曲线的公共左、右焦点，椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，是以线段为底边的等腰三角形，且．若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是_______．
【答案】
【分析】由题，椭圆和双曲线的焦点相同和定义可得，即转化为离心率，再由题，可求得双曲线的离心率的取值.
【详解】设双曲线的方程为，由题意知，其中，又根据椭圆与双曲线的定义得，则，即
其中分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长.所以因为椭圆的离心率，
所以所以，即双曲线的离心率的取值范围是.
9．已知双曲线G的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P坐标为，双曲线G上点，满足，则______．
【答案】8
【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可.
【详解】
如图，设的内切圆与三边分别相切于，可得，又由双曲线定义可得，则，又，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为.
又，可得，化简得，即，即是的平分线，由于，，可得即为的内心，且半径为2，则.故答案为：8.
10．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M，N两点（点M位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为___________.
【答案】##
【分析】设，，，利用双曲线的定义可得，作出图形，结合图形分析，可知与直线的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，即求.
【详解】设的内切圆为圆，与三边的切点分别为，如图所示，
设，，，设的内切圆为圆，由双曲线的定义可得，得，由此可知，在中，轴于点，同理可得轴于点，所以轴，过圆心作的垂线，垂足为，
因为，所以，
∴，即∴，即
故答案为：.标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1 (a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b；
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
【提分秘籍】
基本规律
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
【提分秘籍】
基本规律
双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0)
【提分秘籍】
基本规律
第二定义与焦半径（了解）：若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，
双曲线（a＞0,b＞）的焦半径公式：( ,
当在右支上时，,.
当在左支上时，,
【提分秘籍】
基本规律
第三定义：AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.
中点性质：
AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
【提分秘籍】
基本规律
（1）焦点到渐近线的距离为b
（2）定点到渐近线的距离为
（3）准线与对称轴的交点到渐近线的距离为
（4）双曲线的焦点在渐近线上的射影对十周两定点的张是直角
（5）双曲线的定点在渐近线上的射影对两准线与对称轴的交点张直角
（6）一直线交双曲线的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M，则.
（7）过双曲线上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐标原点则有如下结论：
①OM·ON=a2+b2；②；③
【提分秘籍】
基本规律
双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．
【提分秘籍】
基本规律
共焦点椭圆与双曲线
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则．
【提分秘籍】
基本规律
【提分秘籍】
基本规律
焦点三角形的内切圆与双曲线实轴切于实轴定点。且圆心在过定点垂直与实轴的直线上。