高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线练习

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【题型一】轨迹：交轨法与代入法
【典例分析】
已知反比例函数的图象是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线.
(1)求双曲线的顶点坐标与焦点坐标；
(2)设、为双曲线的两个顶点，点、是双曲线上不同的两个动点.求直线与交点的轨迹的方程；
【答案】(1)顶点坐标，，焦点坐标、(2)
【分析】（1）分析可知双曲线的顶点和焦点均在上，联立直线与双曲线的方程，可求得双曲线的顶点坐标，进而可求得该双曲线焦点的坐标；
（2）设点，利用向量共线的坐标表示结合化简可得出轨迹的方程.
（1）
解：因为反比例函数的图象在第一象限和第三象限，
第一、三象限的角平分线所在直线的方程为，
所以，双曲线的顶点和焦点均在直线上，
联立可得或，故双曲线的顶点坐标、.
所以该等轴双曲线的焦距为，
设双曲线的焦点坐标为，则，解得，
因此，双曲线的焦点坐标为、.
（2）
解：因为点、是双曲线上不同的两个动点，则且，
设交点，，且，，
所以，，①
，且，，
所以，，②
因为点在双曲线上，则，且，将代入①式化简可得，③
将代入②式化简可得，④
③式与④式相乘可得，可得，因此，轨迹的方程为.
【变式训练】
1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程；
(3)若动圆P过点，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】（1）根据AD与AB垂直可求出斜率，再由点斜式即可求出；
（2）可得M即为外接圆圆心，根据直线AB和AD方程可求出点A坐标，即可求出半径，得出圆的方程；
（3）由题可得，然后根据双曲线的定义即得.
（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为，又因为点在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为，即
（2）由，解得点A的坐标为，因为矩形ABCD两条对角线的交点为，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心，又，
从而矩形ABCD外接圆的方程为；
（3）因为动圆P过点N，所以是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以，即，故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支，
可设双曲线的方程为，因为实半轴长，半焦距，
所以虚半轴长，从而动圆P的圆心的轨迹方程为．
2..已知曲线C上任意一点满足方程.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点的直线与曲线C在y轴右侧交点为E、F，求线段中点G的轨迹方程.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）结合双曲线定义即可判断；
（2）设点，，，得，两式作差，结合中点坐标公式、斜率公式有，即可求出G的轨迹方程
（1）设，，则，等价于，
∴曲线C为以，为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为，故曲线C的方程为；
（2）设点，，则
，两式作差得，
又G为线段中点，得，则
，即，
故G的轨迹方程为.
【题型二】常规韦达定理应用
【典例分析】
已知点在双曲线上.
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)设直线与双曲线交于不同的两点，直线分别交直线于点.当的面积为时，求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由双曲线的性质求解，
（2）由两点坐标表示，联立直线与双曲线方程，由韦达定理化简，再由列方程求解
（1）
将点代入方程，解得，
所以双曲线C的方程为，渐近线方程为；
（2）
联立，整理得，由题意，
得且，设点E，F的坐标分别为，由韦达定理得，
直线的方程为，令，得，即，同理可得，
，
，
所以的面积，即，
解得或，又且，所以k的值为.
【变式训练】
已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为．点在第一象限的双曲线上，过点作双曲线切线与直线交于点．
(1)证明：；
(2)已知斜率为的直线与双曲线左支交于两点，若直线，的斜率互为相反数，求的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）由题知双曲线的标准方程为，进而设设，在点的切线方程为，再与双曲线方程联立，结合位置关系得，进而得，再根据向量数量积的坐标表示证明即可；
（2）设，直线的方程为，进而与双曲线方程联立，结合韦达定理与化简整理得，进而得，此时结合（1）得，，，再计算面积即可.
（1）解：因为双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为，
所以，，解得，所以，双曲线的标准方程为，
因为过点作双曲线切线与直线交于点，故切线的斜率存在，
所以，设，在点的切线方程为，
联立方程得
所以，，即①
因为，代入①式得，解得所以，在点的切线方程为，
所以点的坐标为，即，因为，
所以所以，
（2）解：由题，设直线的方程为，与双曲线方程联立得，
设，所以
因为直线，的斜率互为相反数，所以，所以，
整理得：②
将代入②整理得：③
结合可知时，③式恒成立，所以，由（1）可知，，，
所以，所以的面积.
【题型三】定点1：直线定点
【典例分析】
已知双曲线．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)(2)证明见解析，定点坐标为
【分析】（1）直接由双曲线标准方程得到，代入离心率公式即可.
（2）联立双曲线与直线方程，根据以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点，得到，再结合韦达定理即可求得与的关系，分别验算即可得到结果.
（1）由双曲线的方程可知，，∴双曲线的离心率．
（2）设，由，得，
则，，
，
∵以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点，∴，
∴，∴，
∴，解得或．
当时，直线l的方程为，直线l过定点，与已知矛盾；
当时，直线l的方程为，直线l过定点，经检验符合题意
∴直线l过定点，定点坐标为．
【变式训练】
.在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设，垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线和曲线交于另一点，求证：直线过定点.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）依题意由距离公式得到方程，整理即可得到动点的轨迹方程；
（2）设，，，直线方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再表示直线的方程，令求出为定值，即可得解.
（1）
解：由题设得，即，整理得；
（2）解：设，，，显然直线斜率不为，设直线方程为，
联立，消去并整理得，
由题设且，化简得且，
由韦达定理可得，，
直线的方程是，
令得
，所以直线过定点.
【题型四】定点2：等角定点
【典例分析】
已知双曲线的离心率为，右焦点F与点的连线与其一条渐近线平行.
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点F的直线l与双曲线C的右支交于点A､B，试问是否存在一定点P，使恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根据题意列出关于a,b的等式，结合离心率即可求得a,b，可得双曲线方程；
（2）判断出符合题意的点存在，并判断其位于轴上；然后进行说明理由，设直线线方程，并联立双曲线方程，得到根与系数的关系，结合可得､的斜率之和为，列出等式并化简即可求得参数的值，从而说明结论成立.
（1）设，由条件知的斜率等于，即，又， ,
，，
双曲线的方程为：.
（2）存在点满足恒成立，且点在轴上.理由如下:设点，过点，设直线,由,消去得, ,设，
由韦达定理得，①,，②
，､的斜率之和为，即，因为，，
所以代入整理得：，③
将①②代入③可得，即,④
④式对任意实数都成立，，
,即存在点满足恒成立，且点在轴上.
【变式训练】
已知双曲线：的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线的一条渐近线交于点，且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线右支上的一个动点，证明：在轴的负半轴上存在定点，使得．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）由双曲线的对称性可取渐近线，则可求出交点的坐标，结合与离心率为2，即可列出方程组，即可求出答案；
（2）设，讨论当时求出点；当，设出点，由可知，化简利用恒成立，即可求出点的坐标.
（1）根据双曲线的对称性，不妨设直线与渐近线的交点为，
由，得，因为，所以，即，
又离心率为2，所以，故．所以双曲线的标准方程为．
（2）由（1）知双曲线的右焦点为．设，则．
①当时，．因为，所以，
所以，所以，符合题意．②当时，设．
，，因为，
所以（结合正切倍角公式）．
（i）当时，上式化简为，
又，所以，对任意恒成立.
所以，解得，即．
（ii）当，时，即也能满足．
综上，在轴的负半轴上存在定点，使得．
【题型五】定点3：圆定点
【典例分析】
已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的方程.
(2)若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)存在，使得以线段为直径的圆恒过点
【分析】（1）由渐近线夹角得或，结合双曲线所过点可求得，由此可得双曲线方程；
（2）假设存在点满足题意，可知；假设直线方程，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，结合向量数量积的坐标运算可化简整理，根据等式恒成立的求解方法可得的值.
（1）
两条渐近线的夹角为，渐近线的斜率或，即或；
当时，由得：，，双曲线的方程为：；
当时，方程无解；综上所述：双曲线的方程为：.
（2）由题意得：，假设存在定点满足题意，则恒成立；
方法一：①当直线斜率存在时，设，，，
由得：，，，，
，
，整理可得：，
由得：；当时，恒成立；
②当直线斜率不存在时，，则，，
当时，，，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
方法二：①当直线斜率为时，，则，，
，，，
，解得：；
②当直线斜率不为时，设，，，
由得：，，
，，
；
当，即时，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
【变式训练】
设为双曲线的左､右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.
(1)求双曲线的离心率；
(2)已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)2(2)以为直径的圆过定点或
【分析】（1）当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，故，列出方程，得到，求出离心率；
（2）直线的斜率存在时，设出直线，与双曲线联立后得到两根之和，两根之积，求出直线，得到，同理得到，求出以为直径的圆的圆心和半径，得到以为直径的圆的方程，求出定点坐标，再验证当直线的斜率不存在时，是否满足.
（1）由已知得：，将代入中，，
当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，此时，即，整理得：，
因为，所以，方程两边同除以得：，解得：或（舍去），
所以双曲线的离心率为2
（2）因为，所以，解得：，故，，所以双曲线方程为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，与双曲线联立得：，
设，则，，因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，
所以，解得：，直线，则，同理可求得：，
则，
其中，
所以
则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，
所以以为直径的圆的方程为：，
整理得：，所以以为直径的圆过定点，，
当直线的斜率不存在时，此时不妨设，
此时直线，点P坐标为，同理可得：，
.以为直径的圆的方程为，点，在此圆上，
综上：以为直径的圆过定点，.
【题型六】定直线
【典例分析】
设是双曲线的左､右两个焦点，为坐标原点，若点在双曲线的右支上，且的面积为3.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的两顶点分别为，过点的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.
【答案】(1)(2)存在，在定直线方程上
【分析】（1）由已知条件可得为直角三角形,利用双曲线的定义和勾股定理进行计算可得a,b,c,然后由渐近线公式可得答案.
（2）对直线的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，将直线方程与双曲线方程联立，写出直线和直线的方程，并联立利用韦达定理求解即可.
（1）由得，且所以
即解得又,故双曲线的渐近线方程为.
（2）由（1）可知曲线的方程为.
（i）当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得，
（ii）当直线的斜率存在时，易得直线l不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线的方程为，联立得
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：，两边平方得，
又满足，
.
，，或，（舍去.
综上，在定直线上，且定直线方程为.
【变式训练】
已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.
(1)求C的方程；
(2)设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.
海南省海口中学2023届高三上学期9月摸底考试数学试题
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）根据渐近线方程得到，结合点到直线距离公式求出，利用求出，写出双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程，写出两根之和，两根之积，表达出直线AM与BN的方程，联立后求得交点横坐标满足.
（1）双曲线的渐近线方程为，所以.
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线C的标准方程为.
（2）证明：联立方程组消去y，并整理得.
设，，则，.
设，（），则得直线AM的方程为，直线BN的方程为，
两个方程相减得，①因为，
把上式代入①得：，所以，
因此直线AM与BN的交点在直线上.
【题型七】定值
【典例分析】
．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知是双曲线上不同于的两点，且于，证明：存在定点，使为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线的标准方程为，代入点坐标求解.
（2）（i）当直线斜率存在时，设，与双曲线联立，根据且，结合韦达定理求解；（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，同上求解.
（1）解：因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线的标准方程为
代入点坐标，解得所以双曲线的标准方程为
（2）（i）当直线斜率存在时，设，设，联立与双曲线，
化简得，，即，
则有，又，
因为，所以，
所以，化简，得，即，
所以，且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点
（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，
与双曲线方程联立解得，此时也过点，综上，直线过定点.
由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值.
【变式训练】
已知双曲线的离心率为，点在上.
(1)求双曲线的方程.
(2)设过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，常数为．
【分析】（1）由离心率得出，再代入已知点坐标求得得双曲线方程；
（2）设，直线的方程为，代入双曲线方程，消去得的一元二次方程，由相交可得的范围，由韦达定理得，设存在符合条件的定点，计算出并代入化为关于的分式，由它是常数可求得，得定点坐标．
（1）因为双曲线的离心率为，所以，化简得.
将点的坐标代入，可得，解得，所以的方程为.
（2）设，直线的方程为，联立方程组消去得（1-，
由题可知且，即且，所以.
设存在符合条件的定点，则，
所以.
所以，
化简得.因为为常数，所以，解得.
此时该常数的值为，
所以，在轴上存在点，使得为常数，该常数为.
【题型八】面积最值
【典例分析】
已知椭圆上一点与它的左、右两个焦点，的距离之和为，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．
①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；
②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．
【答案】(1)(2)①证明见解析；②最大值为，．
【分析】（1）根据双曲线与椭圆的离心率，结合椭圆的定义求解即可；
（2）①设，BA的方程为，再联立椭圆的方程，利用韦达定理表达化简即可；
②同①，根据弦长公式结合点到线的距离公式，代入韦达定理化简可得的表达式，结合的范围求解面积范围即可.
（1）由椭圆的定义知，双曲线的离心率为，
故椭圆的离心率，故，，，故椭圆的方程为．
（2）①证明：设，则．
设直线BA的方程为，联立方程化简得，
，∴，，
∴；
②当直线AB的斜率不存在时，可知，，，故，当直线AB的斜率存在时，由①知，，，，
，点C到直线AB的距离，
故.
故△ABC面积的最大值为，此时AB的方程为．
【变式训练】
椭圆上有两点和，．点A关于椭圆中心的对称点为点，点在椭圆内部，是椭圆的左焦点，是椭圆的右焦点．
(1)若点在直线上，求点坐标；
(2)是否存在一个点，满足，若满足求出点坐标，若不存在请说明理由；
(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析；(3)
【分析】（1）先求得两点坐标，进而可得直线的方程，将点坐标代入该方程，解之即可求得点坐标；
（2）假设存在符合条件的点，列方程去求点坐标，再以点在椭圆内部去判别是否存在；
（3）先求得的表达式，再去求的值域，进而求得的取值范围．
（1）由点和点在椭圆上
可得，，则直线方程为，
又点在直线上，则，解之得，则
（2）椭圆的两焦点假设存在一个点，满足，
则点一定在双曲线的左半支上，由，可得
又，则， 又因为点在椭圆内部，所以，得
所以满足条件的点不存在．
（3）两点、和在椭圆上，点在椭圆内部，
则直线的方程为，点到直线的距离
则，同理直线的方程为，
点到直线的距离
则
令，则
由，可得，，，即
由，可得，，，即
综上，的取值范围为则的取值范围为
【题型九】参数最值与范围
【典例分析】
设A，B为双曲线C：的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)已知，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，若为x轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若为锐角，求t的取值范围．
【答案】(1)2；(2)或
【分析】（1）当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，故，列出方程，得到，求出离心率；
（2）直线的斜率存在时，设出直线，与双曲线联立后得到两根之和，两根之积，求出直线，得到，同理得到，由为锐角可得到，代入数据可得答案；再验证当直线的斜率不存在时，求出点P，，同样利用求解即可
（1）由双曲线C：可得：右焦点，将代入中，，
当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，此时，
即，整理得：，因为，所以，
方程两边同除以得：，解得：或（舍去），所以双曲线的离心率为2
（2）因为，所以，因为，解得，故，
所以双曲线的方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
与双曲线联立得：，设，则，，
则，
因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，
所以，解得：，
直线，则，同理可求得：，
所以，，因为为锐角，所以，
即，所以
所以即，解得或；
当直线的斜率不存在时，将代入双曲线可得，此时不妨设，
此时直线，点P坐标为，同理可得：，所以，，
因为为锐角，所以，解得或；
综上所述，t的取值范围或
【变式训练】
已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据通径，直接求得，再结合离心率为2即可求双曲线的方程；
（2）通过对转化为，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.
（1）依题意，，当l垂直于x轴时，，即，即，
解得，，因此；
（2）设，联立双曲线方程，得：，
当时，，，
当时，设，
因为直线与双曲线右支相交，因此，即，同理可得，
依题意，同理可得，，而，
代入，，，
分离参数得，，因为，
当时，由，，
所以，
综上可知，的取值范围为.
【题型十】与双曲线有关的应用题
【典例分析】
某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如图所示，A，B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过点O的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足接收到点A的信号比接收到点B的信号晚一秒（注：信号每秒传播米）．在时，测得机器鼠距离点O为4米.
(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图)，求时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动:时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
【答案】(1)(2)机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险
【分析】（1）设机器鼠位置为点P，结合双曲线的定义求得点的轨迹方程，从而求得时机器鼠所在位置的坐标.
（2）先求得与平行的点轨迹对应图象的切线方程，结合两平行线间的距离公式作出判断.
（1）
设机器鼠位置为点P，由题意，，，
由题意可得，即，
可得点P的轨迹以A，B为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线的右支，
则点P的轨迹方程为C：，
时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为．
（2）
由题意知直线l：，设直线l的平行线的方程为，
联立，可得，
令，解得，
此时与双曲线的右支相切，∴，∴：．
此时l与的距离为，即机器鼠距离l的最小距离为，
则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．
【变式训练】
某团队在O点西侧、东侧20千米处分别设有A、B两站点，测量距离时发现一点P满足千米，且以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴建立平面直角坐标系，点P在点O的北偏东60°方向上．
(1)求点P的坐标；
(2)该团队又在O点南侧、北侧15千米处分别设有C，D两站点，测量距离时发现一点Q满足千米，千米，求（精确到1米）和Q点的位置（精确到1°）．
【答案】(1)
(2)千米， Q点在O点的北偏东66°方向上
【分析】（1）由题意，P在以A，B为焦点的双曲线上且P在第一象限，直接求参数，可得双曲线标准方程，由P的方位可知直线，联立即可解出点P的坐标；
（2）点Q在以A，B为焦点的双曲线上，也在以C，D为焦点的双曲线上，分别求出对应参数，得出两个双曲线标准方程，两双曲线方程联立可解得点Q的坐标，最后根据两点坐标可求及Q点的位置
（1）
由题意易知点P在以A，B为焦点的双曲线上，设其标准方程为．
由题意可得，，所以，所以双曲线的标准方程为．
直线，且P在第一象限，联立，解得，，即点P的坐标为．
（2）
由可知，点Q在以A，B为焦点的双曲线上，设其为，标准方程为，易知，，所以，则双曲线的方程为．
由可知，点Q在以C，D为焦点的双曲线上，设其为，标准方程为，易知，，所以，所以双曲线的方程为．
两双曲线方程联立，结合题意可解得，即，
又，由两点距离公式可算得，
设OQ与x轴所成的角为，则，解得，故Q点在O点的北偏东66°方向上．
培优第一阶——基础过关练
1．求满足下列条件的曲线标准方程：
(1)两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程；
(2)与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线标准方程.
【答案】(1)(2)或
【分析】(1)利用椭圆的定义以及点在椭圆上求解；(2)根据双曲线及渐近线方程的定义求解.
（1）设所求椭圆的标准方程为两焦点分别为，，
又椭圆过点，，又，，所以椭圆的标准方程为.
（2）方法一：
(i),若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以 ，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距 所以，所以，
联立 解得则双曲线方程为，
(ii),若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以 ，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距 所以，所以，
联立 解得则双曲线方程为，
双曲线的标准方程为：或
方法二：
设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为：（）
焦距为，
，
双曲线的标准方程为：或
2．已知，两点，动点P满足直线PA和直线PB的斜率之积为1，求动点P的轨迹方程，并指出其轨迹的图形.
【答案】轨迹方程为，轨迹图形为双曲线（除去两个顶点）
【分析】设，根据斜率的乘积可得轨迹方程及图形.
【详解】设，则，其中.
故即，轨迹图形为双曲线（除去两个顶点）.
3．双曲线，右焦点为.
(1)若双曲线为等轴双曲线，且过点，求双曲线的方程；
(2)经过原点倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点是以线段为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设出双曲线方程，代入点的坐标，待定系数法求解即可；
（2）法一：表达出，利用双曲线定义求出，从而求出离心率；
法二：表达出，将其代入双曲线方程，得到关于的齐次方程，求出离心率.
（1）
双曲线为等轴双曲线，
，
∵双曲线过点，将其代入得：
；
（2）
法一：是以线段为底边的等腰三角形，，
是等腰直角三角形，，
过作轴于点，则，
设左焦点，由双曲线定义知，
，
于是.
法二：前同法一得，点在上，
，
整理得：，解得：，
，
于是.
4．已知双曲线C：（，），第一象限内的点P在C上，双曲线的左、右焦点分别记为，，且，，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若的面积为2，求点P的坐标．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）利用双曲线定义及勾股定理即可得到双曲线C的离心率；
（2）利用点在曲线上及三角形面积公式可得点P的坐标．
（1）
∵，，∴，，
∵，∴，化为：，
∴，，即双曲线C的离心率为．
（2）
由题意可得：，，
又，解得，，，
所以，双曲线方程为，
把代入双曲线方程，得：，，解得．
∴．
5．过双曲线的右焦点，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点，为左焦点．
(1)求；
(2)求△AOB的面积；
(3)求证：．
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
【分析】（1）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案；
（2）在第一问的基础上，求出原点O到直线AB的距离，从而求出三角形的面积；
（3）利用双曲线定义进行证明即可.
（1）
由双曲线的方程得，，
∴，，．
∴直线的方程为．
设，，由得，
∴，．
∴．
（2）
直线AB的方程变形为，
∴原点O到直线AB的距离为，
∴．
（3）
证明：由双曲线的定义得，，
∴，整理得：．
培优第二阶——能力提升练
1．已知圆锥曲线C的方程为．
(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
(2)若双曲线与直线有公共点且实轴长最长，求此双曲线的方程．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）根据椭圆与双曲线的性质即可求解；
（2）根据直线与双曲线的交点个数分两类讨论，可求出的范围，从而得出实轴取最大值时的值.
（1）
当且仅当时，方程表示椭圆；
当且仅当时，方程表示双曲线．
（2）
联立得：
①当即时，公共点的坐标为，符合题意；
②当 解得或．
由①②得k的取值范围为:．实轴长，
所以，当且仅当k＝6时，等号成立．
因此当k＝6时，双曲线实轴长最长，
此时双曲线的方程为．
2．已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线l与椭圆相交于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点B关于轴的对称点为点E，证明：直线与轴交于定点.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）由双曲线方程可得椭圆中的，再根据离心率及的关系列式求解；（2）根据题意设直线方程，把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程，根据题设条件结合韦达定理求解问题中结论.
（1）
由双曲线得焦点，得，
由题意可得，解得，，
故椭圆的方程为；.
（2）
设直线，点，则点.
由，得，，解得，
从而，，
直线的方程为，令得，
又∵，，
则，即，
故直线与轴交于定点.
3．已知双曲线，双曲线的右焦点为，圆的圆心在轴正半轴上，且经过坐标原点，圆与双曲线的右支交于A、两点．
(1)当是以为直角顶点的直角三角形，求的面积；
(2)若点A的坐标是，求直线的方程；
(3)求证：直线与圆相切．
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意求得，由三角形面积公式即可求得答案;
（2）设圆的方程为，由点A的坐标求得b,联立求得B点坐标，可得答案;
（3）设直线的方程为，，联立，可得根与系数的关系式，再联立可得，结合根与系数的关系式化简，可得的圆心到直线AB的距离等于半径，可证明结论.
（1）
由题意是以为直角顶点的直角三角形，，
所以，所以的面积;
（2）
设圆的方程为，由题意，，所以,
故圆的方程为
由，得：，所以,
故A、两点的坐标分别是,
所以直线的方程为：;
（3）
证明：设直线的方程为，，
圆的方程为,
由，得：，
由题意，得：，且，,
由，得：，所以，
所以，
即，所以,
因为原点到直线的距离，所以直线与圆相切．
4．已知双曲线是其左、右两个焦点．是位于双曲线右支上一点，平面内还存在满足．
(1)若的坐标为，求的值；
(2)若，且，试判断是否位于双曲线上，并说明理由；
(3)若位于双曲线上，试用表示，并求出时的值．
【答案】(1)(2)在双曲线上；理由见解析(3)；
【分析】（1）根据双曲线方程求出的坐标，由及向量的坐标运算，求出点的坐标，再利用点在双曲线上即可求解；
（2）根据及向量的线性运算，得出及点在双曲线上，求出点的坐标，根据，求出点的坐标，结合点与双曲线的位置关系即可求解；
（3）根据及向量的坐标运算，得出点的坐标，利用点在双曲线上及向量的数量积的坐标运算即可求解.
（1）
∵，
设，则，
因为，
所以，解得，所以，
将代入双曲线方程中，化简得，
解得或（舍去）.
所以的值为.
（2）
由（1）知，，
，
设，则，
因为点在双曲线上，所以①，
②，
联立①②，得，所以，
设,所以，
因为，所以，解得，所以，
将点代入双曲线方程中，即，
所以Q在双曲线上
（3）
由（1）知，，
设，，则
因为，
所以，解得，所以,
因为点Q在双曲线上，所以即，
化简得，，
∴，解得，
代入，解得.
所以的值为.
5．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点、，动点满足：．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹与双曲线C：交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，求双曲线C的方程．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用向量坐标运算及相等向量，列式消去参数m作答.
（2）由给定条件，将双曲线方程化简为，再与点P的轨迹方程联立求出作答.
(1)
依题意，，而，则，消去m得：，
所以点P的轨迹方程是.
(2)
因双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，即，双曲线C的方程为，
由消去y并整理得：，设，，
则，，又以MN为直径的圆经过原点，即OM⊥ON，有，
而，
因此，，，解得，，
所以双曲线方程为.
培优第三阶——培优拔尖练
1．平面直角坐标系中，已知点.点满足，记点的轨迹.
(1)求的方程；
(2)设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据双曲线定义得到点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，求出，得到轨迹方程；
（2）设出，，，根据角平分线的条件，结合向量投影
模长相等得到，从而求出，点坐标，确定直线的方程，由点到直线距离
公式求出，再求出直线的方程为，与双曲线方程联立，利用
弦长公式求出，结合基本不等式求出，最后求出的最大值.
（1）
由题意得：，，
所以点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，
即，
所以的方程为；
（2）
由对称性，不妨设在第一象限，设，则，
设直线的斜率为，记，由为的角平分线，
则，其中，，
所以，
同理得：，
，
代入中，，
化简得：，
将代入，中，解得：，
所以，，
设直线的方程为，将代入，解得：，
所以直线的方程为，
由点到直线距离公式得：，
由直线的斜率为，设直线的方程为，
将点代入，解得：，
所以直线的方程为，将其与联立得：
，
设，
则，
由可知：，又，所以，
，
由均值不等式，，当且仅当，
即时，等号成立，因为，故，
所以，当且仅当时，等号成立，
的最大值为.
2．已知双曲线过点，且的渐近线方程为．
(1)求的方程；
(2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．
①求四边形面积的取值范围；
②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)①；②不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意求得，即可得解；
（2）①易知直线，的斜率均存在且不为，设，的方程为，则的方程为，联立，消元，则，利用韦达定理求得，再根据弦长公式可求得，同理可求得的范围及，再根据整理即可得出答案；
②设直线的方程为，，联立，消元，根据求得的关系，利用韦达定理求得，再利用弦长公式求得，易求得的坐标，即可求出，再根据，为线段的三等分点，可得，结合，可得两个等量关系，从而可得出结论.
(1)
解：由题意有，则，
将点代入双曲线方程得，
联立解得，
故的方程为；
(2)
解：①，易知直线，的斜率均存在且不为，
设，
的方程为，则的方程为，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，则，
则，
则，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，解得，
则，
则，
根据对称性可知四边形为菱形，
其面积
，
，∴，∴，
∴，
；
②，假设满足题意的直线存在，
易知直线斜率存在，设直线的方程为，
，
联立，整理得，
则且，
解得且，
由韦达定理有，
则
，
不妨设为直线与渐近线的交点，
联立，解得，
，
同理可得点的坐标为，
则，
因为，为线段的三等分点，，
即，
整理得，①
，，
则，即，
，
整理得,②
联立①②得，无解，
故没有满足条件的直线．
3．已知双曲线C的离心率，左焦点到其渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设T是y轴上的点，过T作两直线分别交双曲线C的左支于P、Q两点和A、B两点，若，P、Q两点的中点为M，A、B两点的中点为N，O为坐标原点，求两直线OM和ON的斜率之和．
【答案】(1)(2)0
【分析】（1）由点到线的距离公式及离心率，结合即可求解；
（2）直线AB：，，，，，
联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得，
同理可得，由已知得，化简得，进而得解.
（1）
依题意，焦点在x轴上，设实半轴、虚半轴长分别为a，b，则渐近线为，
左焦点到其渐近线的距离，
∵，∴，解得，
所以双曲线方程是．
（2）
设，直线AB：，，，
直线PQ：，，，
联立，
依题意，
同理可得，，
∵，∴，
∴，化简得，
∵，∴．
∵，，
∴．
4．已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为，F到渐近线的距离为．
(1)求C的方程；
(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根据F到渐近线的距离为，可求得b，再根据渐近线方程可求得a,，即得双曲线方程；
（2）假设存在，设直线的方程，并和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式，然后表示出点M，N的坐标，进而得到向量的坐标，利用其数量积为零，将根与系数的关系式代入，看能否解出参数t的值，即可得答案.
(1)
双曲线一条渐近线方程为，
焦点，则焦点到准线的距离，
由F到渐近线的距离为可知：，
由渐近线方程为知：，故，
所以双曲线方程为：；
(2)
设直线l的方程为，
联立，整理得：，
设，而 ,
则，
所以，，
假设存在实数t，使得，则 ,
故由方程： ,令得，
同理方程： ,令得，
所以，
即，
则，
即，解得，
故存在实数，使得.
5．已知双曲线过点，且右焦点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，，求证：为定值.
（3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积；
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）根据题意，得出且，结合，求得的值，即可求解；
（2）设，直线，联立方程组，得出，结合，，进而化简得到为定值，得到答案.
（3）由（2）知，可得，利用，进而得到的表达式，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）由题意，双曲线过点，且右焦点为.
可得且，又由，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）设，
由题意得直线的斜率存在，所以设直线，所以，
由，得，
所以，
由，，可得，
所以
，
所以，为定值.
（3）由（2）知，可得，
则，
所以
，
因为直线与双曲线的右支交于两点，
所以，可得，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，证毕.【提分秘籍】
基本规律
求轨迹思维：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
【提分秘籍】
基本规律
利用韦达定理解大题
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
【提分秘籍】
基本规律
直线过定点基本思路如下：
①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理；
④由所得等式恒成立可整理得到定点.
【提分秘籍】
基本规律
等角定点思维：
基本思路如下：
①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②得到韦达定理的形式；
③角度相等，多可以转化为斜率相等或者相反等关系
利用韦达定理表示出等量关系，代入韦达定理整理；
④由所得等式恒成立可整理得到定点.
【提分秘籍】
基本规律
圆过定点思维：
1.可以根据特殊性，计算出定点，然后证明
2.利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算
2.利用对称性，可以猜想出定点，并证明。
4.通过推导求出定点（计算推导难度较大）
【提分秘籍】
基本规律
圆锥曲线中求面积常规类型
（1）
(2)三角形恒过数轴上的定线段，可分为左右或者上下面积，转化为
(3)三角形恒过某定点，可分为左右或者上下面积，转化为
（4）四边形面积，注意根据题中条件，直接求面积或者转化为三角形面积求解。