人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线复习练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线复习练习题，共35页。试卷主要包含了抛物线有关知识，弦长公式，重要结论，抛物线焦点弦的几个常用结论，抛物线切点弦公式，75等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线有关知识：
(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
(2)抛物线的标准方程与几何性质
2.弦长公式
弦长公式：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；
3.重要结论：
抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.
(1)焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq \f(p,2) (随焦点位置变动而改变)；
②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (其中，α为直线AB的倾斜角)；③eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；
焦半径公式得：，，
(2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1·y2＝－p2(随焦点动而变)；图4
(3)其他结论：①S△OAB＝eq \f(p2,2sinα)(其中，α为直线AB的倾斜角)；②以AB为直径的圆必与准线相切于点H．
4.抛物线焦点弦的几个常用结论
设是过抛物线的焦点的弦，若，，则：
（1），；
（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，，
弦长，（为直线的倾斜角）；
（3）；
（4）以为直径的圆与准线相切；
（5）以或为直径的圆与轴相切.
5.抛物线切点弦公式：
（1）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：；
（2）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：．
5.焦点弦定比分点
过抛物线的焦点F的弦AB与对称轴的夹角为。|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)
【题型一】抛物线定义1：轨迹
【典例分析】
已知动点到定点与定直线的距离的差为1．则动点的轨迹方程为________．
【答案】，（注：也算对）
【分析】根据题意将问题转化为几何语言，再转化为代数语言后再化简即可.
【详解】由题意，若时，问题等价于，
则，化简得，
若，也满足题意.
所以动点的轨迹方程为，.
或者根据题意有，则，化简整理得：.
所以动点的轨迹方程为.
故答案为：，（注：也算对）
【变式训练】
1.已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是__．
【答案】y2＝﹣8x
【分析】设，由两圆位置关系、直线与圆位置关系列式化简即可得．
【详解】设圆心P到直线x＝1的距离等于r，P（x，y ），由题意可得 PC＝1+r，即 ＝1+1﹣x，化简可得 y2＝﹣8x.
故答案为：y2＝﹣8x．
2.一个动圆与直线相切，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是________.
【答案】
【分析】根据圆的切线性质，结合两圆外切的性质进行求解即可.
【详解】设动圆圆心的坐标为，半径为，
，该圆的半径为，圆心坐标为，
因为动圆与直线相切，所以，
又因为动圆与外切，所以，
即，
当时，，显然不成立，
当时，，即，
故答案为：
3.动点P在曲线上移动，则点P和定点连线的中点的轨迹方程是________．
【答案】
【分析】设，且点P和定点连线的中点为，由，且，消去参数即可求出结果.
【详解】设，且点P和定点连线的中点为，
则，且，所以，
因此，即，
所以点P和定点连线的中点的轨迹方程是，
故答案为：.
【题型二】抛物线定义2：方程与曲线
【典例分析】
已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________．
【答案】
【分析】将转化为动点到点的距离，转化为动点到直线的距离，再根据抛物线的定义，即可求出结果.
【详解】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为，
所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为．
故答案为：
【变式训练】
1.已知实数x，y满足，其中常数，则动点的轨迹是（ ）
A．射线B．直线C．抛物线D．椭圆
【答案】C
【分析】利用两点的距离公式、绝对值的几何意义以及抛物线的定义进行判断.
【详解】因为表示动点到定点的距离与到定直线l：的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点的轨迹为抛物线．故A，B，D错误.
2.若点满足方程，则点P的轨迹是______．
【答案】抛物线
【分析】根据轨迹方程所代表的意义判断点的轨迹满足曲线的定义.
【详解】由得，
等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离.
整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，
其轨迹为抛物线.
故答案为：抛物线
3.若动点满足，则点的轨迹应为（ ）
A．椭圆B．抛物线C．双曲线D．圆
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义即可得出.
【详解】动点满足，
可知：动点到定点与到定直线距离相等，
其中定点不在定直线上.因此P点的轨迹应为抛物线.故选：B.
【题型三】 抛物线定义3：到焦点到准线距离互化
【典例分析】
已知抛物线的焦点为，定点，点为抛物线上一点，则的最小值为（ ）
A．8B．C．6D．
【答案】A
【分析】由抛物线的几何性质知：，由图知为的最小值，求长度即可
【详解】点是抛物线的焦点，其准线方程为，作于，作于，
∴，当且仅当为与抛物线的交点时取得等号，
∴的最小值为.
故选：A
【变式训练】
1.已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到轴距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求出到轴距离就是到焦点的距离减去，接着利用两点之间直线最短而得到答案.
【详解】由于为抛物线上一个动点，焦点坐标为，准线为，为圆上一个动点，，圆心为，半径，那么点到点的距离与点到轴距离之和最小值可结合抛物线的定义，到轴距离为到焦点距离减去，则最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径和，故最小值为=.故选：B.
2.已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，此时最小，再根据点到直线距离公式即可求解.
【详解】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，
如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.
，则．故选：B．
3.设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则____．
【答案】##
【分析】当P、A、F三点共线时，点P到点A的距离与到直线的距离之和最小，由两点间的距离公式可得M，当P、B、F三点共线时，最小，由点到直线距离公式可得.
【详解】如图所示，过点作垂直于直线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，所以点到直线的距离为，所以
当且仅当三点共线时，取到最小值，即．
如图所示，过点作直线垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可得
点到直线的距离为，所以，
当且仅当三点共线时，等号成立，即，因此．故答案为：
【题型四】抛物线定义4：焦半径坐标公式
【典例分析】
已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若，则______．
【答案】2023
【分析】设，由求出，再利用抛物线的定义求解.
【详解】解:设，
因为是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，所以，
因此，因为，
所以，即．
又由抛物线的定义，可得，
所以
．
故答案为：2023
【变式训练】
1.已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则______．
【答案】2
【分析】由抛物线方程求得其准线方程，根据抛物线的定义列出关于的方程求解．
【详解】由抛物线C：可得p＝1，，准线方程．
因为是C上一点，，，所以，解得．
故答案为：2.
2.如果是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，F是抛物线C的焦点，若，则
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线性质得 由此能求出结果．
【详解】∵是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，F是抛物线C的焦点，
，故选：B．
3.．抛物线上位于第一象限内的一点到焦点的距离是3，则该点坐标是__________．
【答案】
【解析】
分析：设该点的坐标为，根据抛物线的定义得到，即得和的值,即得解.
详解：设该点的坐标为，根据抛物线的定义得到，所以，
所以因为该点在第一象限，所以该点的坐标为.
故答案为: .
【题型五】焦半径与焦点弦1：
【典例分析】
如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有，再将目标式转化为，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件.
【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)，
由直线PQ过抛物线的焦点，则，
圆C2：圆心为(2,0)，半径1，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为13.故选：D
【变式训练】
1.已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M：，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为__________.
【答案】4
【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值.
【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，所以抛物线方程为，
如下图，，
因为，
设，所以，
所以，
设，所以，，所以，
所以，当且仅当，即取等号.
所以的最小值为4，
故答案为：4.
2.如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】，焦点，准线，由定义得，又，同理，当轴时，则，，当时，代入抛物线方程，得，，，综上所述，的最小值为，故答案为.
【题型六】焦半径与焦点弦2：“梯形”模型
【典例分析】
已知是抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过作准线的垂线，设的中点为，过作轴的垂线，根据梯形中位线和抛物线的定义可知，由此可求得最小值.
【详解】由抛物线方程知其焦点为，准线为；
分别过作准线的垂线，垂足分别为，与分别交轴于，
则，．
设的中点为，过作轴的垂线，垂足为，
（当且仅当三点共线时，等号成立）线段的中点到轴的距离的最小值为．故选：B.
【变式训练】
1.．已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则______．
【答案】13
【分析】根据抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义求解作答.
【详解】抛物线C：的准线方程为，设，，
由抛物线定义得：，，因AB的中点的纵坐标为5，则有，
所以．
故答案为：13
2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于点，，若，则线段的中点到抛物线准线的距离为_________.
【答案】5
【解析】
【分析】
线段的中点横坐标为，其到准线距离为，由抛物线方程可得p,代入即可求解.
【详解】
由抛物线方程，得．
因为，所以AB的中点M到抛物线准线的距离为．
3.抛物线的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N，则 的最大值为__________．
【答案】1
【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=
（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．
【详解】设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|。在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcs60°=a2+b2﹣ab。配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，
又∵ab≤（） 2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2
得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故答案为：1．
【题型七】焦半径与焦点弦3：焦半径“夹角”公式
【典例分析】
若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用点A的横坐标及表示，再利用抛物线定义结合的范围求解作答.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，，如图，
设点A的横坐标是，则有，由抛物线定义知，
于是得，而函数在上单调递减，即，
因此，即有，所以的取值范围是.
故答案为：
【变式训练】
如图，过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若与面积之和的最小值为32，则抛物线的方程为___________．
【答案】
【分析】设直线AB的倾斜角为锐角，则直线CD的倾斜角为，利用焦半径公式分别求出、、、，并求出与面积之和的表达式，通过不断换元，并利用双勾函数的单调性求出两个三角形面积之和的最小值，求出p的值，于是得出抛物线的方程．
【详解】解：设直线AB的倾斜角为锐角，则直线CD的倾斜角为，
由焦半径公式得：，，，，
的面积为：
，
同理可得的面积为：，令，
则与面积之和为：，
再令，则与面积之和为：，
由双勾函数的单调性可知，当时，与面积之和取到最小值，
即，由于，得，因此，抛物线的方程为．故答案为：．
【题型八】焦半径与焦点弦3：定比分点
【典例分析】
过抛物线，的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于__________.
【答案】60°或120°
【分析】利用抛物线的性质以及图形中的几何关系推导出的值即可得出结论.
【详解】
方法一：如图是抛物线的准线，作，，为垂足，
设，则，
由抛物线定义知，，
过作，垂足为，则易得，所以，
直角三角形中，，，
此时直线倾斜角为60°，由对称性，直线倾斜角也可为120°.
故答案为：60°或120°
方法二：由的。由对称性，直线倾斜角也可为120°.
故答案为：60°或120°
【变式训练】
1.若是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则______．
【答案】
【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设的坐标，利用锐角三角函数求出，再根据抛物线的定义计算可得.
【详解】解：方法一：由抛物线的方程，可得准线方程为，焦点坐标为，
设的坐标，且，又，
，整理得，解得或（舍去），
所以由抛物线的定义可得．故答案为：
方法二：由焦点弦公式可知|AB|＝eq \f(2p,sin2α) =16/3.A再由,。
2.已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．
【答案】
【分析】分别过点作准线的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，设，进而结合抛物线的性质求解即可.
【详解】解：如图，分别过点作准线的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，
设，易得，则，由抛物线的性质可得，，
所以，，解得，故．故答案为：
方法二：由焦点弦公式可知|AB|＝eq \f(2p,sin2α) =8p/3.A.
再由
【题型九】 最值与范围
【典例分析】
已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】设（）且直线，联立抛物线应用韦达定理，结合向量数量积的坐标表示求得，进而可得，最后应用基本不等式求最小值，注意取值条件.
【详解】
设（）且直线，联立抛物线得，
由，而，所以，得或，
又A，B位于x轴的两侧，故，故，
由，且过定点，
又，，
所以，当且仅当时等号成立.
故与面积之和的最小值是.
故选：D
【变式训练】
1.已知为抛物线的焦点，点都是抛物线上的点且位于轴的两侧，若(为原点)，则和的面积之和的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先设出直线方程，代入抛物线方程，利用根系关系及平面向量数量积坐标公式得到，再计算和的面积之和，利用均值不等式求其最小值即可.
【详解】设直线的方程为，，，
.，
解得：或.因为位于轴的两侧，所以.即：，.设点在轴的上方，则，，.
当且仅当时，即时，取“”号.
所以和的面积之和的最小值为.故选：A
2.已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.
3.．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果
【详解】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
则．
又，所以当四边形的面积最小时，最小．
过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，
当点与坐标原点重合时，最小，此时．
故．
故选：C
【题型十】小题大做
【典例分析】
抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，则，当直线PA与抛物线相切时，最小，取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果.
【详解】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，
由抛物线的性质可得，所以则，当最小时，则值最大，
所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即最小，由题意可得，
设切线PA的方程为：，，整理可得，，可得，
将代入，可得，所以，即P的横坐标为1，即P的坐标，
所以，，所以的最大值为：，
故选：B．
【变式训练】
1.抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据重心坐标公式求出的横坐标为，纵坐标为，设直线的方程为，与抛物线方程联立，用、求出表示出的坐标，结合抛物线的方程，求出的取值范围，再结合抛物线的定义可得出结论．
【详解】由题意知，抛物线的焦点为，设点、、，
由重心的坐标公式得，，，
设直线的方程为，由，消去得，
，
由韦达定理得，，
所以，，
故，，
将点的坐标代入抛物线的方程得，得，
则，得，
则.
不在直线上，则，此时，，则.
因此，的取值范围是.故选：A.
2.已知拋物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于、两点，且，为坐标原点，记直线、的斜率分别为、，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意首先对一般情况确定的解析式，然后结合抛物线的弦长公式和三角函数的性质即可确定其取值范围.
【详解】对于一般的抛物线方程，设过焦点的直线方程为，
与抛物线方程联立可得：，故，设，则：
，其中为直线AB的斜率，由抛物线的焦点弦公式可知：，则，，故，的取值范围是.故选B.
3.如图，为抛物线的焦点，直线（）与抛物线相交于两点，若四边形的面积为7，则
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】分析：由题意结合面积公式得到关于k的方程，解方程即可求得最终结果.
详解：联立直线方程与抛物线方程：可得：，①
由韦达定理有：，则：，
直线AB恒过定点，则，
求解方程①可得：，则，抛物线的焦点坐标为，
则△BOF的面积为：，则四边形的面积，结合题意可得：
，求解关于k的方程可得：，
结合题中的图形可知，故.本题选择A选项.
培优第一阶——基础过关练
1． 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D．
【答案】A
【分析】求出的长，根据抛物线的定义可得．
【详解】设准线与轴交于点，则，，∴，
连接，则，又，所以是正三角形，
∴，准线的方程是，
∴点纵坐标为3.
故选：A
2．抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】设出P的横坐标为，利用条件列出方程，去掉不合题意的解，求出.
【详解】由题意得：，准线方程为，设点P的横坐标为，，
由抛物线的定义可知：
则，解得：或（舍去），
从而点P的横坐标为1
故选：A
3．已知动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义判断即可.
【详解】解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
依题意根据抛物线的定义可知动圆必过点；
故选：C
4．已知抛物线的焦点为，直线不过点且与交于，两点（点在轴上方），与轴负半轴交于点，若，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，由题可得，进而可得点坐标，然后利用斜率公式即得.
【详解】由题可得，设，，
因为，，
∴，
解得，
所以，即，
所以直线的斜率为.
故选：D.
5．在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（ ）
A．6B．8C．9D．12
【答案】D
【分析】根据重心的性质可得，然后根据抛物线的定义可知即可求解.
【详解】解：由题意得：
F为ABC的重心
故
设点A，B，C的坐标分别为，，
抛物线 ，F为其焦点
故选：D
6．经过抛物线的焦点和双曲线的右焦点的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出抛物线的焦点坐标、双曲线的右焦点，即可求出直线方程．
【详解】抛物线的焦点坐标为，
双曲线的右焦点的坐标为，
所求直线方程为，
即．
故选：B．
7．抛物线上一点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出与平行且与相切的直线方程，从而与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，利用点到直线距离公式求出即可.
【详解】设直线与相切，
联立与得：，
由，得：，
则直线为，
故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，
由两平行线间距离公式得：.
故选：A
8．抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等边三角形，则（ ）
A．2B．C．6D．
【答案】C
【分析】设抛物线的准线与y轴交于点D，等边三角形ABF中，可得点B的坐标代入双曲线上方程可得答案．
【详解】设抛物线的准线与y轴交于点D，如图，在等边三角形ABF中，，，所以点B的坐标为，又点B在双曲线上，故，解得．
故选：C．
培优第二阶——能力提升练
1．已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则的面积为（ ）
A．8B．12C．D．
【答案】C
【分析】过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，进而根据几何关系得为等边三角形，，再计算面积即可.
【详解】解：如图，过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，
所以，，．
因为，
所以，，．
所以，．
又因为，
所以，所以为等边三角形，
所以．
若在第三象限，结果相同．
故选：C
2．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合图形，利用抛物线的定义，直角三角形的性质进行求解.
【详解】
因为，根据抛物线定义有：，
设与轴的交点为，因为，所以.
因为，所以.故A，C，D错误.
故选：B.
3．已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件结合抛物线的定义可求出，从而可求出点的坐标，再由双曲线的一条渐近线与直线平行，列方程求解即可.
【详解】因为抛物线上一点到其焦点的距离为4，
所以，得，
所以抛物线方程为，
因为在抛物线上，
所以，得，
所以，
双曲线的左顶点为，其渐近线方程为，
因为双曲线的一条渐近线与直线平行，
所以，解得，
故选：D
4．已知抛物线的焦点为F，点A，B在C上（A在第四象限，B在第一象限），满足，且，则直线AB的斜率为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】过作准线的垂线交准线于点，过作准线的垂线交准线于点，过点作的垂线交于点，设，然后可推出、，然后由直线AB的倾斜角与相等可求出答案.
【详解】
过作准线的垂线交准线于点，过作准线的垂线交准线于点，
过点作的垂线交于点，
因为，所以设，则，，，
因为，所以，
所以在中有，
所以，因为直线AB的倾斜角与相等，
所以直线AB的斜率为，
故选：A
5．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.
【答案】2
【分析】结合图像，可知且|AB|≤|AF|＋|BF|，由此可得|MM1|≥3，进而可求得AB的中点到x轴的最短距离为2.
【详解】由题意知，抛物线的准线l：，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，如图，
设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则，
因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，
又，所以|AA1|＋|BB1|≥6，即2|MM1|≥6，故|MM1|≥3，
所以点M到x轴的距离，故最短距离为2.
故答案为：2.
6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点M，点P在抛物线上，直线PF与抛物线交于另一点A，设直线MP，MA的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的值为________．
【答案】0
【分析】设过的直线交抛物线于，，，，，
联立方程组，利用韦达定理可得.
【详解】设过的直线交抛物线于，，，，，
联立方程组，得：，
于是，有：，，
，
又，
.
故答案为：０
7．已知抛物线：的焦点为，第一象限的，两点在上，若，，，若直线的倾斜角为，则________．
【答案】##0.75
【分析】利用抛物线的几何性质，以为斜边，构建直角三角形即可求解.
【详解】如图所示，设C的准线为l，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为D，E，过A作于点P．
由抛物线的定义可知，，所以．又因为，，所以，所以直线AB的斜率，所以.
故答案为：.
8．已知点在抛物线上，点是抛物线的焦点，线段的中点为．若点的坐标为，且是的垂心，则直线的方程_________；
【答案】
【分析】根据给定条件，求出直线AB的斜率，并设出方程，再与的方程联立，借助韦达定理及向量垂直的坐标表示计算作答.
【详解】抛物线的焦点，则直线MF的斜率，而为的垂心，即有，直线AB的斜率为，
设的方程为，由消去y并整理得：，
于是得，，，，，
由得，
，解得，而，则有，
所以直线的方程为.
故答案为：
培优第三阶——培优拔尖练
1．已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．1C．16D．
【答案】B
【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设，然后求出并化简，然后求出直线AB的方程并代入抛物线方程，最后结合根与系数的关系求得答案.
【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线的距离为4，则，即抛物线，则.
设，则.
由，则，所以，，
因为点在这两条直线上，所以，于是点A,B都在直线上，即，代入抛物线方程并化简得：，由根与系数的关系可知.
于是.
故选：B.
【点睛】本题运算较为复杂，注意要先求出，再判断题目到底需要什么，另外本题求解直线AB的方法需要熟练掌握.
2．已知抛物线：的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
【答案】D
【分析】先说明这样的满足，并且弦以为中点的，再证明对于无数多个点，都存在满足条件的弦即可.
【详解】
当时，易知为的重心，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，若存在以为中点的弦，这样的即满足要求.设，则，又，两式相减可得，即，所以总存在以为中点的弦，即这样的三角形有无数个.
故选：D.
【点睛】本题关键在于构造出，再说明对于点，只要满足的在抛物线内部，并且存在以为中点的弦，即存在，这样的每一个点都会对应一个.
3．的最小值为（ ）
A．5B．C．6D．
【答案】C
【分析】设，对要求的式子进行变形，看作抛物线的右半部分上一点P与的距离加上P到抛物线焦点的距离之和的最小值，根据抛物线性质进行求解.
【详解】设，则，则曲线为抛物线的右半部分．抛物线的焦点为，设点到准线l：的距离为d，点P为抛物线的右半部分上一点，设P到准线l：的距离为，
则
．
故选：C
【点睛】本题难点在于要对题干中的代数式进行转化为抛物线的相关知识点进行求解距离的最值问题，利用数形结合思想和抛物线的性质进行求解.
4．在直线l：上取一点D做抛物线C：的切线，切点分别为A，B，直线AB与圆E：交于M，N两点，当│MN│最小时，D的横坐标是______．
【答案】1
【分析】联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理，根据切线联立求交点，可得直线方程中的截距，可得直线过定点，根据圆中弦最小的情况，得到直线的斜率，可得最后答案.
【详解】设，且直线的方程为，
联立抛物线，可得，消去可得：，
根据韦达定理可得：，
由抛物线，求导可得：，
过的切线方程为，
过的切线方程为，
联立上式，可得：，
消去整理可得：，
两式相减整理可得：，
因为，所以，且，根据题意，可得，即，
则直线的方程为，由此该直线过定点，
由圆E：，可得，可得，
易知当时，│MN│取最小，可得直线的方程为，
所以点的横坐标.
故答案为：.
5．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点A作的垂线，垂足为，设，若与相交于点的面积为，则抛物线的方程为___________.
【答案】
【分析】由题意得出，利用拋物线的定义求出点A的横坐标，根据相似得出，由三角形的面积公式可得结果.
【详解】设，
又，则，
由抛物线的定义得，所以，则，
由得，即，
所以，,
所以，解得：.
故答案为：
6．已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为和，若和交于点P，则的最小值为______．
【答案】4
【分析】设直线：，利用韦达定理求得，设，利用判别式求得直线的方程，进而得到的坐标，从而可得，再利用基本不等式即得.
【详解】由题可知，设直线：，
直线:与联立消，得，
设，，则，，
∴，
设，
由，可得，
∴，又，
∴，
∴，即，
同理可得，
所以可得，即，
∴，
∴，当且仅当，即取等号.
故答案为：4.
7．过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，与相交于点A，B，与相交于点C，D．分别以为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦记为 l ，则点M到直线 l 的距离的最小值为__________．
【答案】##
【分析】由题可设，利用韦达定理法可得，，进而可得圆的方程，然后可得，再利用点到直线的距离公式及二次函数的性质即得.
【详解】由题意知.设，
由，可得，
设，，
则，，
∴，
于是，，.
故，
∴圆的方程为，即，
同理可得，圆的方程为，
∴圆与圆的公共弦所在直线的方程为，又，
∴直线，
于是，点到直线的距离为
.
故当时，点到直线 的距离的最小值为．
故答案为：．
8．过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么=______.
【答案】4
【分析】由题意，利用两种方法化简所求代数式，
方法一：设出过与抛物线的切线的点斜式方程，联立方程，由切点性质，则，可得方程，根据题意，结合韦达定理，可得，同样的思路，设出过焦点的直线，联立方程，结合韦达定理，可得，故可得第一种所求代数式的表示；
方法二：利用导数的几何意义，求切线斜率，可得，结合方法一中，可得第二种所求代数式的表示；
综上建立方程，求得的值，进而求得答案.
【详解】由题意，显然过点作抛物线的切线的斜率存在，设该斜率为，
则该切线方程为，即，
联立，消去可得，
由于切线与抛物线只有唯一交点，则，
整理可得，
由题意，可知为方程的两个根，则，
由题意，设直线的方程为，
联立可得，消去可得，由题意可知为该方程的两个根，则，
故，
由抛物线方程，可得函数与函数，则与
不妨设在第一象限，则，即，且，
由设在第一象限，则在第四象限，即，可得，且，故，
由，则，
综上可得，解得，故.
故答案为：.标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
【提分秘籍】
基本规律
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将代入.
【提分秘籍】
基本规律
(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
(2)抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
【提分秘籍】
基本规律
抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.
焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq \f(p,2) (随焦点位置变动而改变)；
【提分秘籍】
基本规律
抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.
焦半径：eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)
【提分秘籍】
基本规律
抛物线y2＝2px(p>0)焦点为F，焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
焦半径公式：，，
【提分秘籍】
基本规律
过抛物线的焦点F的弦AB与对称轴的夹角为
|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)