数学4.3 等比数列课后复习题

这是一份数学4.3 等比数列课后复习题，共10页。
【题型一】等比数列前n项积
【典例分析】
已知等比数列满足，记，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【变式训练】
1.已知等差数列，等比数列的前n项和之积为，设等差数列的公差为d、等比数列的公比为q，则以下结论正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1个B．2个C．3个D．4个
2..已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则数列单调递增
B．若，则数列单调递增
C．若数列单调递增，则
D．若数列单调递增，则
3.设正项等比数列的前项和为，，．记，下列说法正确的是（ ）
A．数列的公比为B．
C．存在最大值，但无最小值D．
【题型二】与通项和Sn有关的正负比较
【典例分析】
已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，则下列结论正确的是（ ）
A．若a1+a2＞0，则a1+a3＞0B．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0
C．若a1＞0，则S2021＞0D．若a1＞0，则S2020＞0
【变式训练】
1.设等比数列的前n项和为，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则（，2，3．…）
B．若，则（，2，3．…）
C．若，则（，2，3，…）
D．若，则（，2，3，…）
2.等比数列各项均为实数，公比为，给出以下三个结论：①若，则；②若，且，则；③若，则．其中所有正确结论的个数为（ ）
A．B．C．D．
3.已知等比数列的前项和为，下列一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【题型三】等比数列函数性质
【典例分析】
设无穷等比数列，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式训练】
1.设是等比数列，则“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.．在等比数列中，已知，，则数列为（ ）．
A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定单调性
3.数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【题型四】等比数列与范围
【典例分析】
已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为，则可能的一个值是（ ）
A．B．C．2D．
【变式训练】
1.为等比数列的前项和，，，则公比的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2.已知等比数列各项均为实数，其前项和为，则：“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.已知等比数列的前5项积为32，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型五】等比数列最值
【典例分析】
已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前n项和，则的最小值为（ ）
A．B．7C．D．
【变式训练】
1.在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，数列的前n项和为Sn，则取最大值时，n的值为（ ）
A．8B．8或9C．9D．17
2.等比数列中，若，则（ ）
A．与都有最小值
B．与都有最小值
C．当时有最小值，有最大值
D．当时与都有最大值
3.已知正项等比数列的前项和，满足，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．12
【题型六】恒成立求参
【典例分析】
已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的值可以是（ ）
A．B．2C．3D．
【变式训练】
1.已知数列的通项公式为，其前n项和为，将数列的前4项去掉其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前3项，记数列的前n项和为，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.已知数列满足，且，，其前n项和为，若对任意的正整数n，恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.已知数列的前项和为，且满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【题型七】等比数列复合型：“下标数列”
【典例分析】
已知数列是以1为首项，3为公差的等差数列，是以1为首项，3为公比的等比数列，设，，当时，n的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式训练】
1.已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，则
A．B．C．D．
2.已知数列为等比数列，且首项，公比，则数列的前8项的和为（ ）
A．B．
C．D．
3.数列满足，，，若，则k=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【题型八】递推公式构造等比型
【典例分析】
若数列和满足，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.已知数列满足，且，，则（ ）
A．B．C．D．
2.已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
3.已知数列的前项和为，，，若，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【题型九】递推：二阶等比数列
【典例分析】
数列的首项，且，令，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【变式训练】
1..已知数列中满足，，若前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ）
A．2008B．2014C．2021D．2022
2.通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（ ）
A．6B．12C．18D．108
3..已知数列的首项为，且满足，其前项和为，则满足不等式的的最小正整数值为（ ）
A．B．10C．D．
【题型十】等比数列文化应用题
【典例分析】
2019年11月11日是石室中学周年校庆日，学校数学爱好者社团组织“解题迎校庆，我爱”的活动.其中一题如下：已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.若该数列前项和为，则求满足，且是的倍数条件的整数的个数为
A．10B．12C．21D．60
【变式训练】
1.习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了70批学生后支教学生的总数，则的值为（ ）
A．387B．388C．389D．390
2.集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前次操作中共去掉的线段长度之和不小于，则的最小值为（ ）
（参考数据：，）
A．9B．8C．7D．6
3.为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设为第n年的维修费用，为前n年的平均维修费用，若万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为（ ）
A．2026B．2027C．2028D．2029
培优第一阶——基础过关练
1．数列满足，且，则（ ）
A．4B．C．D．
2．已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则 （ ）
A．31B．C．31或5D．或5
3．设等比数列中，，，则（ ）
A．16B．32C．12D．18
4．已知数列是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则（ ）
A．128B．127C．126D．125
5．已知等比数列中，，且，那么的值是（ ）.
A．15B．31C．63D．64
6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难.次日脚痛减一半，六朝才得到其关.要见每朝行里数，请公仔细算相还.”意思是：有一个人要走441里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完.则此人最后一天走的路程是（ ）
A．7里B．14里C．21里D．112里
7．在等差数列中，成公比为3的等比数列，则（ ）
A．14B．34C．41D．86
8．数列中，，，若，则（ ）
A．10B．9C．11D．8
9．设等比数列的前n项和为，前n项的倒数之和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列的通项公式为，则数列是（ ）
A．以1为首项，为公比的等比数列B．以3为首项，为公比的等比数列
C．以1为首项，3为公比的等比数列D．以3为首项，3为公比的等比数列
培优第二阶——能力提升练
1．已知，若3是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A．B．7C．D．9
2．小明同学在课外阅读中看到一个趣味数学问题“在64个方格上放米粒：第1个方格放1粒米，第2个方格放2粒米，第3个方格放4粒米，第4个方格放8粒米，第5个方格放16粒米，……，第64个方格放粒米．那么64个方格上一共有多少粒米？”小明想：第1个方格有1粒米，前2个方格共有3粒米，前3个方格共有7粒米，前4个方格共有15粒米，前5个方格共有31粒米，……．小明又发现，，，，，，……．小明又查到一个数据：粒米的体积大约是1立方米，全球的耕地面积大约是平方米，，．依据以上信息，请你帮小明估算，64个方格上所有的米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为（ ）
A．0.0012米B．0.012米C．0.12米D．1.2米
3．数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．正项数列中，（k为常数），若，则的取值范围是（ ）
A．B．[3，9]C．D．[3，15]
5．已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．在数列中.，是其前n项和，当时，恒有、、成等比数列，则___________
7．等比数列 的公比，且 ，则使 ＞成立的正整数n的取值范围为 ____．
8．已知是等比数列，公比大于1，且，．记为在区间中的项的个数，则数列的前30项的和的值为______．
9．将数列与的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列，则______．
10．已知数列 ​满足:​， 则数列​的前​项和​为_______
培优第三阶——培优拔尖练
1．已知数列 ​满足:​， 则数列​的前​项和​为_______
2．已知等差数列的前项利为，若，，1成等比数列，且，则的公差的取值范围为______．
3．已知在正项等比数列中成等差数列，则__________．
4．已知数列满足，设，为数列前n项和，若（为常数），则最小值为__________.
5．数列中，，，若不等式对所有的正奇数恒成立，则实数的取值范围为__________．
6．公差不为0的等差数列中，前n项和为，若，且，，成等比数列，数列的前n项和为，若对任意，均成立，则实数t的取值范围是______．
7．已知等差数列的公差不为零，等比数列的公比是小于1的正有理数．若，，且是正整数，则的值可以是______．
8．设，其中，，，成公差为d的等差数列，，，成公比为3的等比数列，则d的最小值为______.
9．已知数列的前项和为，满足（是常数，），，且，则_________.
故答案为：128.
10．已知等比数列的公比为q，且，能使不等式成立最大正整数_______________．【提分秘籍】
基本规律
可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：
1.n=1，得a1
2.n时，
所以
【提分秘籍】
基本规律
比数列与函数关系：
(1)数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1；
(2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数
【提分秘籍】
基本规律
1.涉及到首项和公比的不等式（组）关系。
2.一般情况下，不等式组可以参考“线性规划”知识
【提分秘籍】
基本规律
数列恒成立，可以参考函数恒成立形式：n为自然数
(1)a≥f(n)恒成立⇔a≥f(n)max；
(2)a≤f(n)恒成立⇔a≤f(n)min.
【提分秘籍】
基本规律
形如为常数）,构造等比数列。特殊情况下，当q为2时，=p，如变式1