2025菏泽高二上学期期中考试数学（A卷）含解析

这是一份2025菏泽高二上学期期中考试数学（A卷）含解析，共22页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分， 已知椭圆C， 已知双曲线C， 直线l， 已知椭圆， 设抛物线C等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.
2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 下列选项中，与直线平行的直线是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知椭圆C：，“”是“点为C的一个焦点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知曲线，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为，且，则点N的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知不全为零的实数、、满足，则直线被圆所截得的线段长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（ ）
A. 10B. 49C. 50D. 1201
6. 已知双曲线C：（，）的右焦点为，点在C上，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 直线l：与圆的公共点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
8. 已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，直线，的斜率分别为，，且是面积为的直角三角形.则的方程为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 用一个平面去截一个圆柱侧面，可以得到以下哪些图形（ ）
A 两条平行直线B. 两条相交直线C. 圆D. 椭圆
10. 设抛物线C：的准线为l，点P为C上的动点，过点P作圆A：的一条切线，切点为Q，过点P作l的垂线，垂足为B.则（ ）
A. l与圆A相交B. 当点P，A，B共线时，
C. 时，的面积为2或6D. 满足的点P恰有2个
11. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则（ ）
A. 双曲线的离心率
B. 若，则的渐近线方程为
C. 若，则渐近线方程为
D. 若，则的渐近线方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆与x轴相切，则__________.
13. 已知抛物线C：的焦点恰为圆的圆心，点是与圆的一个交点，则点到直线的距离为__________，点到直线的距离为__________.
14. 已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：.
（1）求C的面积；
（2）若直线l：交C于A，B两点，求.
16. 已知椭圆C：上的左、右焦点分别为，，直线与C交于两点，若面积是面积的3倍，求的值.
17. 已知椭圆C：，直线l过原点，且与C相交于A，B两点，并与点构成三角形.
（1）求的周长的取值范围：
（2）求的面积S的最大值.
18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程．
19. 若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”.
（1）圆的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程：
（2）已知正方形A的方程为，且正方形A为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围；
（3）设函数的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.2024—2025学年度第一学期期中考试
高二数学试题（A）
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.
2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 下列选项中，与直线平行的直线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断是否成立，注意分析重合情况.
【详解】，
对于A：，可知两直线重合，不符合；
对于B：，所以不平行，不符合；
对于C：，所以不平行，不符合；
对于D：，，且，所以两直线平行，符合；
故选：D.
2. 已知椭圆C：，“”是“点为C的一个焦点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆几何性质，根据焦点坐标与之间的关系式可得结论.
【详解】若可得得一个焦点坐标为，即充分性成立；
若“点为C的一个焦点”，则可得，即，可知必要性成立，
因此，“”是“点为C的一个焦点”的充要条件.
故选：C
3. 已知曲线，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为，且，则点N的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量找到三点的关系，设所求点的坐标，由三点关系得到的坐标，然后代入曲线，得到点N的轨迹方程.
【详解】∵，∴三点共线，且
又∵轴，
∴设，则，，
∵点在上，
∴，即.
故选：B.
4. 已知不全为零的实数、、满足，则直线被圆所截得的线段长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，当时，圆心到直线的距离最大，此时，直线截圆所得弦长最小，结合勾股定理即可得解.
【详解】因为不全为零的实数、、满足，
则直线的方程可化为，即，
由可得，即直线过定点，
因为，即点在圆内，
圆的圆心为原点，半径为，
当时，圆心到的距离取最大值，且最大值为，
所以，直线被圆截得的弦长的最小值为.
故选：B.
5. 已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（ ）
A. 10B. 49C. 50D. 1201
【答案】D
【解析】
【分析】由条件知椭圆的焦点在轴上，半焦距长，短半轴长，根据的关系，可求.
【详解】椭圆C：的一个焦点为，过点，
∴，∴ ，∴.
故选：D.
6. 已知双曲线C：（，）的右焦点为，点在C上，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知列方程组求得，再由离心率公式计算．
【详解】点在C上，右焦点，，
则，解得，
所以离心率，
故选：A．
7. 直线l：与圆的公共点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
【答案】C
【解析】
【分析】利用直线恒过定点，且定点在圆的内部，即可得到结论.
【详解】由整理得：，
可知圆圆心坐标为，半径为，
再由直线l：恒过点，
由圆心到点的距离为，可知，
所以点在圆的内部，
即直线l与圆一定有两个交点.
故选：C.
8. 已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，直线，的斜率分别为，，且是面积为的直角三角形.则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线斜率的关系得到两直线垂直，且知道直角三角形中，得到，
由面积求出的值，由椭圆定义和椭圆的性质求出的值，得到椭圆方程.
【详解】∵，∴，
∵，∴设，
则，
∴，
∴，∴，
∵，
∵，
∴，
∴椭圆方程为：.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（ ）
A. 两条平行直线B. 两条相交直线C. 圆D. 椭圆
【答案】CD
【解析】
【分析】分平面与底面平行和平面与底面的夹角为锐角两种情况，得到图形为圆和椭圆.
【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆，
若平面与底面夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆.
故选：CD
10. 设抛物线C：的准线为l，点P为C上的动点，过点P作圆A：的一条切线，切点为Q，过点P作l的垂线，垂足为B.则（ ）
A. l与圆A相交B. 当点P，A，B共线时，
C. 时，的面积为2或6D. 满足的点P恰有2个
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由抛物线与圆的方程，可得准线方程与圆心半径，根据直线与圆的位置关系，可得答案；
对于B，由题意作图，求得点的坐标，根据圆的切线性质与勾股定理，可得答案；
对于C，根据抛物线的性质求得点的坐标，利用分类讨论，结合图象，可得答案；
对于D，根据抛物线的性质，求得固定线段的中垂线，联立方程求交点，可得答案.
【详解】对于A，由抛物线，即，则准线，
由圆整理可得，则圆心，半径r=1，
由圆心到直线y=−1的距离为，则圆与直线相切，故A错误；
对于B，由题意作图如下：
由共线，且，当时，，则，，
，，故B正确；
对于C，由，则令，，解得，
当时，的高为，面积为，如下图：
当时，的高为，面积为，如下图：
故C正确；
对于D，由题意可作图如下：
.
由抛物线整理可得，则其焦点，易知，
由直线的斜率，线段中点，
则线段的中垂线方程为，整理可得，
联立，消可得，，
所以线段的中垂线与抛物线存在两个交点，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则（ ）
A. 双曲线的离心率
B. 若，则的渐近线方程为
C. 若，则的渐近线方程为
D. 若，则的渐近线方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用可得，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率，知A正确；根据斜率关系可知直线为双曲线一条渐近线，利用可构造方程求得B正确；分别利用和可构造方程求得CD正误.
【详解】
对于A，，，，，
，，又与第二象限内的渐近线交于点，
，即，，，A正确；
对于B，由A知：，又，，
直线即为双曲线的一条渐近线，
，，又，
，，
，
，，
，整理可得：，
，，，
即，解得：，的渐近线方程为，B错误；
对于C，，，
，，
，整理可得：，即，
，，的渐近线方程为，C正确；
对于D，，，，
，
，，
，整理可得：，
，，，的渐近线方程为，D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近线斜率构造关于的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆与x轴相切，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】整理圆的方程为标准式，明确圆心与半径，由切线建立方程，可得答案.
【详解】由圆的方程整理可得圆，则圆心，半径，
由圆与轴相切，则，解得.
故答案为：.
13. 已知抛物线C：的焦点恰为圆的圆心，点是与圆的一个交点，则点到直线的距离为__________，点到直线的距离为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由圆标准方程得到圆心，从而知道焦点坐标和的值，写出抛物线方程后联立方程组，解得点坐标，根据点到直线的距离公式求得结果.
【详解】∵圆的标准方程：，
∴圆心为0,1，半径，
∴，即，即抛物线C：，F0,1
联立方程组，
解得或（∵舍去）
∴
∴或
∵直线与轴重合，∴点到直线的距离为，
由对称性可知，无论取哪个点，点到直线的距离相等，
∴取，直线，
∴点到直线的距离，
故答案为：①4 ②
14. 已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得的部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是__________.
【答案】2
【解析】
【分析】由椭圆的定义，可得焦半径的和，整理所求差值为函数，利用分类讨论并结合图象，可得答案.
【详解】由椭圆，则，，
易知为椭圆的左右焦点，
由为椭圆上的点，则，可得，
所以，联立，解得，
当时，取得最小值，则取得最小值
如下图：
；
当时，取得最大值，则取得最大值，如下图：
.
所以的最大值与最小值的比值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：.
（1）求C的面积；
（2）若直线l：交C于A，B两点，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆C的方程可知的值，代入椭圆的面积公式即可；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求解.
【小问1详解】
由椭圆C的方程可知，，
所以，椭圆C的面积；
【小问2详解】
联立，得，
设，则，，
∴，
所以，.
16. 已知椭圆C：上的左、右焦点分别为，，直线与C交于两点，若面积是面积的3倍，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】根据与同底不等高的特点将面积比表示为高之比，结合直线与椭圆联立后所得方程的判别式求解出的值.
【详解】解：将直线与椭圆联立，
消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，
则，解得，
设到的距离为，到的距离为，易知F1−1,0，F21,0，
则，，
所以，解得或(舍去)，
故.

17. 已知椭圆C：，直线l过原点，且与C相交于A，B两点，并与点构成三角形.
（1）求的周长的取值范围：
（2）求的面积S的最大值.
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】（1）由椭圆定义得到的周长为，设，且，求出，求出周长的取值范围；
（2）表达出，结合，得到面积的最大值.
【小问1详解】
由题可得，，
则，故，
所以为椭圆的其中一个焦点，则另一个焦点坐标为，
连接，由对称性可知，，

故，
则的周长为，
设，，
因为三点构成三角形，故不共线，所以，
故且，
则，
因为，故，
所以的周长；
【小问2详解】
，
不共线，故，
所以，S的最大值为12.
18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用给的条件列方程求得的值，进而得到椭圆的标准方程；
（2）联立圆与椭圆的方程，先求得点的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得．
【小问1详解】
由题可知，其中，所以,
又点在椭圆上，所以，即，解得，
所以椭圆E的方程为．
【小问2详解】
由椭圆的方程，得，
所以，
设，其中，因为，
所以，
又点在椭圆上，所以，
联立方程组，得，
解得或（舍），
当时，，即或．
所以当的坐标为时，直线的方程为；
当的坐标为时，直线的方程为．
综上，直线的方程为或.

19. 若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”.
（1）圆的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程：
（2）已知正方形A的方程为，且正方形A为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围；
（3）设函数的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.
【答案】（1），
（2）
（3）曲线C存在切立方，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方”的四条边所在直线的方程即可；
（2）根据“切立方”的定义，联立与双曲线，由于相切，则，根据，即可求出双曲线的离心率的取值范围；
（3）设第一个切点为，则切线为，根据函数的图象关于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为，同理求出第三条和第四条切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可.
【小问1详解】
根据“切立方”的定义，设直线方程，可得
，，
，
，；
【小问2详解】

由正方形A的方程为，则，
由正方形A为双曲线的一个“切立方”，
则，联立整理得，
则，
整理得，即，
由图可知，则，
所以
【小问3详解】
由曲线，设切点为，
联立，
得，
即，
点在曲线和直线上，整理得，
则过该点的一条切线方程为，
即，
由函数为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C是存在“切立方”，
则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为：，
设第三个切点为（），同理可得另两条切线为，
若存在正方形，即，
由此可设，，
代入消元可得，
设，
由，，且在上，函数图象连续不间断，
则由零点存在性定理可知在上有解，
因此曲线C存在切立方.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，再结合对称性和零点存在性定义即可证明.