【Top50强校】【重庆卷】重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三上学期适应性月考卷（三）（10.15-10.16）数学试卷

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注意事项:
1. 答题前, 考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
一、单项选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的)
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试, 经统计发现, 数学成绩近似服从正态分布 ,已知数学成绩高于 110 分的人数与低于 70 分的人数相同,那么估计本次考试的数学平均分为
A. 85 B. 90 C. 95 D. 100
3. 若复数 ,则
A. -1 B. 1 C. D. i
4. 在平行四边形 中, 是 的中点, 在 上,且 ,则实数 的值为
A. B. C. D.
5. 已知 ,且 ,则 的最小值为
A. B. C. D.
6. 重庆被媒体评价为 “最宠游客的城市”. 现有甲、乙、丙三位游客慕名来重庆旅游, 准备从洪崖洞、磁器口、长江三峡、大足石刻和天生三桥等五个景点中各自随机选择一个景点游玩,则他们三人所选景点全部不同的概率是
A. B. C. D.
7. 某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量 (单位: ) 与时间 (单位: 的关系为 ,其中, 是正的常数. 如果在前 消除了 的污染物,那么要消除 的污染物,至少需要的时间是 . (参考数据: )
A. 45 B. 76 C. 109 D. 118
8. 已知函数 为奇函数,且 在区间 上有最小值,则实数 的取值范围是
A.(3,4) B.
C. D.
二、多项选择题 (本大题共 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每个给出的四个选项中, 有多项符 合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 如图,弹簧挂着的小球做上下运动,将小球的球心视为质点,它在 (单位: ) 时相对于平衡位置 (图中 处) 的高度 (单位: ) 由关系式 确定,其中 . 小球从最高点出发,经过 后,第一次到达最低点,经过的路程为 ,则下列说法正确的是
A. B.
C. 小球在 内经过的路程为 D. 时,小球正在向上运动
10. 在等腰梯形 中, ,点 是梯形 内部一点 (不含边界), 且满足 ,则下列说法正确的是
A. 若 ,则
B. 当 时, 的最小值为 2
C. 若 ,则 的面积为定值
D. 若 ,则 的最小值为
11. 已知由实数构成的数列 满足 ,则以下说法正确的是
A. 存在 且 ,使
B. 若 ,则数列 是递增数列
C. 若 ,则数列 的最大项为
D. 若 ,设 的前 项和为 ,则
三、填空题 (本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 等比数列 的公比 ,其前 项和为 ,且 ,则 _____..
13. 已知 ,则 的值为_____. (用弧度制表示)
14. 已知 是定义在 上的奇函数,且 是偶函数,当 时, ,则_____.
四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 .
(1) 求 的通项公式;
(2) 若数列 是递增的等比数列,其公比为 ,且 中的项均是 中的项, ,当 取最小值时,若 ,请用 表示 .
16. 在 中,角 所对的边长分别为 的中点为 ,记 的面积为 , 已知 .
(1) 若 ,求 以及线段 的长度;
(2)若 是锐角三角形,求 的取值范围.
17. 已知抛物线 的焦点为 ,过 作倾斜角为 的动直线 交 于 两点.
当 时, .
(1) 求抛物线 的方程;
(2) 证明: 无论 如何变化, 是定值 ( 为坐标原点);
(3) 点 ,直线 与 交于另一点 ,直线 与 交于另一点 ,证明: 与 的面积之比为定值.
18. 已知函数 .
(1) 求证: ;
(2) 若 时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围;
(3) 若直线 是曲线 在点 处的切线,求证: 当 时,除点 外,直线 与曲线 有唯一公共点 ,且 .
19. 设 和 是两个项数为 的非负整数数列 ,定义
(1) 对于数列 和 ,求 的值;
(2) 设 均为项数为 3 且每项为 0 或 1 的数列 ,且对于任意 ,都有 ,求 的最大值;
(3) 若 ,数列 严格递增且每项不大于 755,求 的最大值.