2023-2024学年陕西省西安市新城区九年级（上）期末数学模拟试卷（word版，含答案）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市新城区九年级（上）期末数学模拟试卷（word版，含答案），共24页。

A．30°B．50°C．60°D．80°
2．（3分）（易错题）如图，▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△ABE∽△DGEB．△CGB∽△DGEC．△BCF∽△EAFD．△ACD∽△GCF
3．（3分）若点A（2，y1）、B（3，y2）都在反比例函数的图象上，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1≤y2C．y1＜y2D．y1≥y2
4．（3分）一袋中装有形状、大小都相同的三个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是2、3、4．现从袋中任意摸出两个小球，则摸出的小球上的数都是方程x2﹣5x+6＝0的解的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）已知二次函数的图象经过点（﹣1，0），（3，0）和（0，﹣3），则这二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x+3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝x2+2x﹣3
6．（3分）如图，正方形ABCD中，AD＝4，E为CD中点，F为AD上一点，连接BF，交AE于点H，∠ABF＝∠DAE，取BH的中点G，连接AG，则AG的长度为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，直线y＝x+8分别交x、y轴于A、B两点，交双曲线于C、D两点，若CD＝3（AC+BD），则k的值为（ ）
A．﹣6B．﹣7C．﹣8D．﹣9
8．（3分）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得落在墙壁上的影高为1.2m，又测得落在地面上的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ）
A．3.25mB．4.25mC．4.45mD．4.75m
9．（3分）如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（ ）
A．（a+b）米B．（a+b）米
C．（a+b）米D．（a+b）米
10．（3分）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列相似三角形成立的有（ ）
①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．
A．1对B．2对C．3对D．4对
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）若a是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则2a2﹣4a+2019＝ ．
12．（3分）如果，那么＝ ．
13．（3分）当物体的某个面 于投影面时，这个面的正投影与这个面的 完全相同．
14．（3分）如图，两个完全相同的直角三角板放置在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点C在边AB上，延长DC交y轴于点E．若点D的横坐标为5，∠OBA＝30°，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A，D，E，则a的值为 ．
15．（3分）若P（x，y）是函数y＝的图象上一点，过点P分别引x轴、y轴的垂线，则两垂线与坐标轴所围成的矩形面积是 ．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC＝1：2，AE与BD相交于F，则S△ADF：S△EBF＝ ．
17．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D在BC上，连接AD，E在AD上，∠DEC＝45°，CF⊥BE于F、交AD于点G，若AG＝7，tan∠BED＝，则BE＝ ．
18．（3分）如图，反比例函数的图象经过点（﹣1，），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP．在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点A的坐标是 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（10分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．
（1）判断下列方程x2﹣7x+12＝0是否为“差1方程”？
（2）已知关于x的方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝12a﹣b2，求t的最大值．
20．（8分）如图，AC∥EF∥BD．
（1）求证：；
（2）若AC＝3，EF＝2，求BD的值．
21．（7分）已知：如图，北方某地夏季中午，太阳正高，光线与地面成78°角，房屋朝南的窗子高AB＝220cm，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度至少应是多少厘米（结果精确到1cm）？如果冬天正午时，光线与地面成31°角，窗台的高为80cm，按照上面要求设计挡光板AC的宽度，理论上太阳光最远能照进室内多少厘米（结果精确到1cm）？
22．（7分）菱形ABCD的周长为8，∠ABC+∠ADC＝90°，以AB为腰，在菱形外作底角是45°的等腰△ABE，连接AC，CE，请画出图形，并直接写出△ACE的面积．
23．（9分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），B（﹣4，n），点C为一次函数与y轴的交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出不等式x+b﹣＞0的解集．
24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，且A（﹣2，0），经过C（﹣3，9），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线交y轴于点D，点P在抛物线的对称轴上，若（BP﹣DP）的值最大，则点P的坐标为 ．
25．（12分）【感知】如图①，在正方形ABCD中，E是边BC上的点，连接AE，过点B作BF⊥AE，则AE：BF＝ ．
【探究】如图②，在矩形ABCD中，AC为其对角线，过点B作BE⊥AC．若AB＝4，BC＝6，求的值．
【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AC为其对角线，取BC的中点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，分别交AC、AD于点H、G．若AB＝4，BC＝6，直接写出CH的值．
2023-2024学年陕西省西安市新城区九年级（上）期末数学模拟试卷参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【考点】特殊角的三角函数值．
【答案】B
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求得α﹣20°的值，然后求得α的度数即可．
【解答】解：∵已知α为锐角，cs（α﹣20°）＝，
∴α﹣20°＝30°，
∴α＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
2．【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．
【答案】D
【分析】本题中可利用平行四边形ABCD中两对边平行的特殊条件来进行求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠EDG＝∠EAB
∵∠E＝∠E
∴△ABE∽△DGE（第一个正确）
∵AE∥BC
∴∠EDC＝∠BCG，∠E＝∠CBG
∴△CGB∽△DGE（第二个正确）
∵AE∥BC
∴∠E＝∠FBC，∠EAF＝∠BCF
∴△BCF∽△EAF（第三个正确）
第四个无法证得，故选D
【点评】考查相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三边对应成比例的两个三角形相似；
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
3．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象的增减性进行判断．
【解答】解：∵k＜0，
∴图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
∵2＜3，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
4．【考点】列表法与树状图法；一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】B
【分析】先求出一元二次方程的解，再画树状图得出所有等可能的结果数以及摸出的小球上的数都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
x1＝2，x2＝3，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的小球上的数都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有（2，3），（3，2），共2种，
∴摸出的小球上的数都是方程x2﹣5x+6＝0的解的概率为＝．
故选：B．
【点评】本题考查列表法与树状图法、解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握列表法与树状图法以及一元二次方程的解法是解答本题的关键．
5．【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【答案】B
【分析】把三个点坐标代入即可得出二次函数的解析式．
【解答】解：把（﹣1，0），（3，0）和（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
故选：B．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，掌握方程组的解法以及顶点坐标的求法是解题的关键．
6．【考点】正方形的性质．
【答案】D
【分析】由四边形ABCD是正方形，∠ABF＝∠DAE，可证△ABF≌△DAE（ASA）得AF＝DE，故AF＝2，BF＝＝2，再证Rt△ABF∽Rt△HBA，得，即得，，用面积法得，再用勾股定理可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠FAB＝∠EDA＝90°，
∵∠ABF＝∠DAE，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE，
∵E为CD中点，CD＝AD＝4，
∴DE＝2，
∴AF＝2，
∵AB＝AD＝4，
∴BF＝＝2，
∵△ABF≌△DAE，
∴∠ABH＝∠FAH，
∵∠BAH+∠FAH＝90°，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
∴∠AHB＝90°＝∠BAF，
∵∠ABH＝∠FBA，
∴Rt△ABF∽Rt△HBA，
∴
∴，
∵G为BH中点，
∴，
∴S△ABF＝AH•BF＝AB•AF，
∴，
∴AG＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质及应用，涉及三角形全等与相似的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握全等三角形，相似三角形的判定定理．
7．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】B
【分析】由直线解析式求得A、B的坐标，从而求得OA＝OB＝8，即可得出△AOB关于直线y＝﹣x对称，从而得出AC＝BD，进一步得出CD＝6AC，＝，作CM⊥x轴于点M，则CM∥OB，根据平行线分线段成比例定理证得CM＝AM＝1，从而求得C的坐标，进而求得k的值．
【解答】解：∵直线y＝x+8分别交x、y轴于A、B两点，
∴A（﹣8，0），B（0，8），
∴OA＝OB＝8，
∴△AOB关于直线y＝﹣x对称，
∴AC＝BD，
∵CD＝3（AC+BD），
∴CD＝6AC，
∴＝，
作CM⊥x轴于点M，则CM∥OB，
∴＝＝，
∴CM＝AM＝1，
OM＝8﹣1＝7，
∴C（﹣7，1），
∵双曲线过点C，
∴k＝﹣7×1＝﹣7，
故选：B．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形的对称性以及函数图象上点的坐标特征，求得C的坐标是解题的关键．
8．【考点】相似三角形的应用；平行投影．
【答案】C
【分析】设树在地上的影子长度是AB，在墙上的影子长为BC，树尖与墙上影子的顶端连线与AB延长线交于点D；根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得＝，由此求得墙上的影子在地上时的长度；再求出树在地面上的影子的总长度，利用竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同即可列式求解．
【解答】解：对图形进行点标注，设BD是BC在地面的影子，树高为x，
∵竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，
∴＝．
∵CB＝1.2，
∴BD＝0.96，
∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6＝3.56（m）．
∵竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，
∴＝，
∴x＝4.45．
即树高是4.45m．
故选：C．
【点评】本题考查平行投影的知识，理解在平行光照射下，不同物体的物高与其影长成比例是解题的关键．
9．【考点】解直角三角形的应用．
【答案】A
【分析】在Rt△AEF中，通过解直角三角形求得AF，再在Rt△FMG和Rt△DQK中，通过解直角三角形求得FM，最后由AD＝AF+4FM+DQ得结果．
【解答】解：∵EF＝a米，∠A＝90°，∠AEF＝30°，
∴AF＝EF＝米，∠AFE＝60°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠MFG＝30°，
∴PQ＝NP＝MN＝FM＝（米），
DQ＝QK•cs30°＝（米），
∴AD＝AF+4FM+dq＝a+4×+＝a+b（米），
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，关键是通过解直角三角形求出AF、FM、DQ．
10．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【答案】D
【分析】①根据等边三角形的性质可得∠CBD＝∠ABE，然后利用手拉手模型﹣旋转型相似证明△BCD∽△BEO；
②利用8字模型相似三角形证明△AOD∽△EOB；
③利用②的结论可得＝，然后利用两边成比例且夹角相等证明△AOE∽△DOB；
④利用两角相等的两个三角形相似证明△BOD∽△BDA．
【解答】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠C＝∠ABC＝∠CAB＝60°，∠EDB＝∠DBE＝∠DEB＝60°，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABE，
∴△BCD∽△BEO，
故①正确；
∵∠AOD＝∠BOE，∠DAB＝∠DEB＝60°，
∴△AOD∽△EOB，
故②正确；
∵△AOD∽△EOB，
∴＝，
∵∠AOE＝∠DOB，
∴△AOE∽△DOB，
故③正确；
∵∠DBA＝∠DBO，∠DAB＝∠ODB＝60°，
∴△BOD∽△BDA，
故④正确；
所以，上列相似三角形成立的有4对，
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型﹣旋转型相似，8字模型相似三角形是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．【考点】一元二次方程的解．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝a代入方程x2﹣2x﹣1＝0得a2﹣2a＝1，再把2a2﹣4a+2019变形为2（a2﹣2a）+2019，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝a代入方程x2﹣2x﹣1＝0得a2﹣2a﹣1＝0，
所以a2﹣2a＝1，
所以2a2﹣4a+2019
＝2（a2﹣2a）+2019
＝2×1+2019
＝2021．
故答案为：2021．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．【考点】比例的性质．
【答案】．
【分析】利用设k法进行计算，即可解答．
【解答】解：设＝＝k，
∴a＝5k，b＝3k，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
13．【考点】平行投影．
【答案】平行；大小、形状．
【分析】根据平行投影特点，当物体的某个面平行于投影面时，即光线垂直这个面；这个面的正投影与这个面的形状、大小相同．
【解答】解：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的大小、形状完全相同．
故答案为：平行；大小、形状．
【点评】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定．
14．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】见试题解答内容
【分析】设A（m，0），根据含有30°角的直角三角板的特点，能够得到EC是△ABO的中位线，进而分别求出A，D，E三点的坐标，再将三点代入函数解析式，利用待定系数法求得a的值．
【解答】解：设A（m，0），
在Rt△ABO中，∠OBA＝30°，
∴OB＝m，AB＝2m，
又∵△ACD是与△ABO相同的三角板，
∴∠ADC＝30°，AC＝m，CD＝2m，
∴C是AB的中点，
又∵∠BEC＝90°，
∴EC＝m，
∴ED＝m，
又∵ED＝5，
∴m＝2，
∴A（2，0），E（0，），D（5，），
∴，
∴a＝，
故答案为
【点评】本题考查含有30°角的直角三角形中边角关系；待定系数法求得a的值．利用三角形的全等，边角关系求解三角形是解题关键．
15．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】矩形的面积等于各点的横纵坐标的积的绝对值；
【解答】解：∵P（x，y）是函数y＝﹣的图象上一点，
∴﹣2＝xy，
∴过点P分别引x轴、y轴的垂线，则所围成的矩形面积是|﹣2|＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
16．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【答案】9．
【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，由AD∥BC可判定△ADF∽△EBF；由BE：EC＝1：2及AD＝BC可得出AD：BE＝3：1；由相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∵BE：EC＝1：2，
∴BE：BC＝1：3，
∴BE：AD＝1：3，
∴AD：BE＝3：1，
∴S△ADF：S△EBF＝32：12＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
17．【考点】解直角三角形；等腰直角三角形．
【答案】10．
【分析】过点C作CH⊥CE交AD的延长线于点H，连接DH，先证明△BCH≌△ACE，△GEF∽△BEH，再根据勾股定理得出∴BC2﹣BF2＝CE2﹣EF2，最后得到，x2﹣2x＝0，求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥CE交AD的延长线于点H，连接DH，则∠ECH＝90°，
∵∠DEC＝45°，
∴∠AEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣45°＝135°，
∵∠ECH＝90°，
∴∠EHC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EHC＝DEC＝45°，
∴CH＝CE＝EH，
∵∠ECH＝∠ACB＝90°，
∴∠ECH﹣∠BCE＝∠ACB﹣∠BCE，
∴∠BCH＝∠ACE，
在△BCH和△ACE中，
，
∴△BCH≌△ACE（SAS），
∴BH＝AE，∠BHC＝∠AEC＝135°，
∴∠BHA＝∠BHC﹣∠EHC＝135°﹣45°＝90°，
在Rt△BHE中，tan∠BED＝，
设BH＝3x，EH＝4x，x＞0，则AE＝BH＝3x，
BE＝，
∵CH＝CE＝EH，
∴CH＝CE＝EH＝，
∵AG＝7，
∴EG＝AG﹣AE＝7﹣3x，
∵CF⊥BE，∠BHA＝90°，
∴∠GFE＝∠BHA＝90°，
∵∠GEF＝∠BEH，
∴△GEF∽△BEH，
∴，
∴，
∴EF＝，
∴BF＝BE﹣EF＝5x﹣，
在Rt△BHA中，
根据勾股定理得，AB＝，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AC＝BC＝AB＝，
在Rt△BCF和Rt△ECF中，
根据勾股定理得，CF2＝BC2﹣BF2，CF2＝CE2﹣EF2，
∴BC2﹣BF2＝CE2﹣EF2，
即，
整理可得，x2﹣2x＝0，
解得：x1＝2，x2＝0（不合题意，舍去），
当x＝2时，BE＝5x＝5×2＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
18．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形；反比例函数的性质．
【答案】（，2）．
【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，则有△AOE≌△OCF，进而可得出AE＝OF、OE＝CF，根据角平分线的性质可得出＝，求得反比例函数的解析式，则设点A的坐标为（a，）（a＞0），由＝求出a值，进而得到点A的坐标．
【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，如图所示．
∵反比例函数的图象经过点（﹣1，），
∴k＝﹣1×（﹣2）＝2，
∴y＝，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OA＝OC，OC⊥AB，
∴∠AOE+∠COF＝90°．
∵∠COF+∠OCF＝90°，
∴∠AOE＝∠OCF．
在△AOE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△OCF（AAS），
∴AE＝OF，OE＝CF．
∵BP平分∠ABC，
∴＝，
∴＝．
设点A的坐标为（a，），
∴＝，
解得：a＝或a＝﹣（舍去），
∴＝2，
∴点A的坐标为（，2），
故答案为：（，2）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形性质的综合运用，构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．
【答案】（1）是，理由见解析过程；
（2）﹣1或﹣3；
（3）a＝4 时，t的最大值为16．
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”；
（2）先将m看成常数，解方程，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况；
（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由t＝12a﹣b2，得t与a的关系，从而得出最后结果．
【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝0，
解得 x1＝3，x2＝4，
∵4﹣3＝1，
∴x2﹣7x+12＝0 是“差1方程；
（2）x2+（2﹣m）x﹣2m＝0，
（x﹣m）（x+2）＝0，
x1＝m，x2＝﹣2，
∵方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0（m是常数）是“差1方程”，
∴m＝﹣2+1或m＝﹣2﹣1，
∴m＝﹣1或m＝﹣3；
（3）由题可得：Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a×1＝b2﹣4a＞0
∴解方程得 x＝，
∵关于x的方程 ax2+bx+1＝0 （a、b是常数，a＞0）是“差1方程”，
∴＝1，
∴b2＝a2+4a，
∵t＝12a﹣b2，
∴t＝12a﹣（a2+4a）＝8a﹣a2＝﹣（a﹣4）2+16，
∴a＝4时，t的最大值为16．
【点评】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义．
20．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）6．
【分析】（1）证明△BEF∽△BCA，根据相似三角形的性质得到＝，同理得到＝，计算即可证明结论；
（2）把已知数据代入（1）中结论，计算即可．
【解答】（1）证明：∵AC∥EF，
∴△BEF∽△BCA，
∴＝，
∵EF∥BD，
∴△AFE∽△ABD，
∴＝，
∴+＝+＝1，
∴+＝；
（2）解：当AC＝3，EF＝2时，
由（1）可知：+＝，
解得：BD＝6．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
21．【考点】解直角三角形的应用．
【答案】挡光板AC的宽度至少应是47厘米；按照上面要求设计挡光板AC的宽度，理论上太阳光最远能照进室内453厘米．
【分析】连接AB，由题意可得AB＝220cm，∠ACB＝78°，则AC＝＝；设由C进入的太阳光照在室内的D处，CD交AB于点F，由题意知∠CDE＝∠ACF＝31°，BE＝80cm，则AF＝AC•tan∠ACF≈28（cm），于是BF＝AB﹣AF＝192（cm），EF＝BE+BF＝272（cm），则DE＝．
【解答】解：如图，连接AB，
由题意得，AB＝220cm，∠ACB＝78°，
∴AC＝＝≈47（cm），
∴挡光板AC的宽度至少应是47厘米；
由C进入的太阳光照进室内最远，
如图，设由C进入的太阳光照在室内的D处，CD交AB于点F，
由题意知，∠CDE＝∠ACF＝31°，BE＝80cm
∴AF＝AC•tan∠ACF＝47×tan31°≈28（cm），
∴BF＝AB﹣AF＝220﹣28＝192（cm），
∴EF＝BE+BF＝80+192＝272（cm），
∴DE＝＝≈453（cm），
∴按照上面要求设计挡光板AC的宽度，理论上太阳光最远能照进室内453厘米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用．解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
22．【考点】菱形的性质；等腰三角形的性质．
【答案】2或2﹣．
【分析】分两种情况进行讨论：当∠ABE＝90°时，∠EAB＝∠ABC＝45°，当∠BAE＝90°时，作CF⊥AB于F，连接EF，再根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，进行计算即可得到△ACE的面积．
【解答】解：①如图，当∠ABE＝90°时，∠EAB＝∠ABC＝45°，
∴AE∥BC，
∴S△ACE＝S△ABE，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB＝BE＝2，
∴S△ACE＝S△ABE＝×2×2＝2；
②如图，当∠BAE＝90°时，作CF⊥AB于F，连接EF，则∠EAF＝∠CFA＝90°，
∴AE∥CF，
∴S△ACE＝S△AFE，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB＝AE＝BC＝2，
∴Rt△BCF中，BF＝，
∴AF＝2﹣，
∴S△ACE＝S△AFE＝AE×AF＝×2×（2﹣）＝2﹣．
综上所述，△ACE的面积为2或2﹣．
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是画出图形，运用分类思想以及化归思想进行求解；
23．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】（1）反比例函数的解析式是y＝，一次函数解析式是y＝x+3；
（2）；
（3）x＞1或﹣4＜x＜0．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出k，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可；
（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，
得k＝1×4，1+b＝4，
解得k＝4，b＝3，
所以反比例函数的解析式是y＝，一次函数解析式是y＝x+3；
（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，
当x＝﹣4时，y＝﹣1，
∴B（﹣4，﹣1），
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴S△OAB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝；
（3）由图象可知，不等式x+b﹣＞0的解集为x＞1或﹣4＜x＜0．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，用了数形结合思想．
24．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．
【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣12；
（2）（2，﹣24）．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接AD，并延长交对称轴于点P，根据三角形三边关系，此时PA﹣PD的值最大，由于PA＝PB，则PA﹣PD的值最大．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，且A（﹣2，0），经过C（﹣3，9），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣12；
（2）令x＝0，则y＝x2﹣4x﹣12＝﹣12，
∴D（0，﹣12），
∵y＝x2﹣4x﹣12＝（x﹣2）2﹣16，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
设直线AD为y＝kx﹣12，
把A（﹣2，0）代入得，0＝﹣2k﹣12，解得k＝﹣6，
∴直线AD为y＝﹣6x﹣12，
把x＝2代入得，y＝﹣6×2﹣12＝﹣24，
∴P点的坐标为（2，﹣24）．
故答案为：（2，﹣24）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，根据三角形三边关系求得P点的坐标是解题的关键．
25．【考点】相似形综合题．
【答案】【感知】1；【探究】；【拓展】．
【分析】【感知】利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
【探究】利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
【拓展】利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质AG的长，再利用相似三角形的判定与性质列出比例式求解即可．
【解答】解：【感知】∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°．
∵BF⊥AE，
∴∠AEB+∠FBC＝90°，
∴∠BAE＝∠FBC．
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF，
∴AE：BF＝1．
故答案为：1；
【探究】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠EBC+∠ACB＝90°，
∴∠ABE＝∠ACB，
∴△ABE∽△BCA，
∴．
∵AB＝4，BC＝6，
∴＝．
【拓展】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAG＝∠ABC＝90°，
∴∠ABG+∠AGB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠GBA+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠AGB，
∴△ABE∽△GAB，
∴．
∵AB＝4，BC＝6，BC的中点为E，
∴BE＝BC＝3，
∴．
∴AG＝．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△AGH∽△CBH，
∴．
设CH＝x，
∵AC＝＝＝2．
∴AH＝AC﹣CH＝2﹣x．
∴，
∴x＝．
∴CH的值＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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