广西南宁市武鸣区武鸣高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份广西南宁市武鸣区武鸣高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共4页。试卷主要包含了选择题的作答， 圆 O₁， 已知直线y=x+b与曲线， 已知抛物线 C， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题：冯光妹 审题：谭伟容
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线l过点(2,1)和点(4,0), 则直线l的斜率为 ( )
A. - 2 B.-12 C. 12 D. 2
2. 复数z=(2-m)+(m-1)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是 ( )
A. (2,+∞) B. (0,+∞) C. (-∞,1) D. (-1,+∞)
3. 已知椭圆的方程为 2x²+3y²=1,则此椭圆的离心率为 ( )
A.13 B.33 C.22 D.12
4. 圆 O₁:x²+y²=1与圆 O₂:x²+y²-4x+1=0的位置关系为 ( )
A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切
5. 已知向量 a=1x2,b=012,c=100, 若 a,b,c共面, 则x等于 ( )
A. - 1 B. 1 C. 1或-1 D. 1或0
6. 设α为锐角, 若 csα+π6=13,则 csπ6-2α的值为( )
A.-79 B.79 C.-429 D.429
7. 已知直线y=x+b与曲线. x=1-y2有且只有一个公共点，则实数b的范围是 ( )
A.|b|=2 B. - 1≤b≤1或 b=-2 C. - 10的解集是
14. 已知双曲线E: x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F₁,F₂.过点 F₂的直线与y轴交于点B，与E交于点A，且 F2B=-32F2A，点 F₁在以AB为直径的圆上，则E的渐近线方程为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分) 已知抛物线C: y²=2pxp0)的焦点与双曲线E: x23-y2b2=1的右焦点重合，双曲线 E的渐近线方程为 x±3y=0.
(1)求抛物线 C的标准方程和双曲线 E的标准方程.
(2)斜率为1 且纵截距为-2的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求 △AOB的面积
16. (15分) 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100 名游客对景区进行满意度评分(满分100分)，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求x的值；
(2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数(得数保留两位小数)；
(3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在[50,60),[60,70)的两组中共抽取6人, 再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在[50,60)和[60,70)内各 1 人的概率.
17. (15分) 如图, 已知四边形ABCD为等腰梯形,且 AB//CD，∠C=π3，AB=2，DC=4.E为DC中点，将 △BEC沿BE进行翻折, 使点C与点P重合. 取BE中点O, 连接PO、AO.
(1)证明: AD⊥平面POA;
(2)当 PA=6时，求PB与平面PAD所成角的正弦值.
18.(17分)已知a,b,c分别是 △ABC三内角A，B，C所对的三边，且 acsC+3asinC=b+c.
(1)求A的大小;
(2)若c=5,△ABC的面积为 103, 求a, b;
(3)求 bc-ab-aca2的取值范围.
19.(17分)已知O为坐标原点，椭圆 Ω:x2a2+y2b2=1(a>0，b>0)左、右焦点分别为 F₁,F₂，短轴长为 23，过 F₁的直线m与椭圆Ω交于C，D两点， △CDF₂的周长为8.
(1)求Ω的方程;
(2)若直线l与Ω交于A, B两点, 且 OA⋅OB=0,求|AB|的最小值；
(3)已知点 P是椭圆Ω上的动点，是否存在定圆O: x²+y²=r²r0),使得当过点 P能作圆O的两条切线PM，PN时 (其中M，N分别是两切线与椭圆Ω的另一交点)，总满足| |PM|=|PN|?若存在，求出圆O的半径r：若不存在，请说明理由.