浙江省杭州市保俶塔实验教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市保俶塔实验教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共28页。
A．B．y＝2x﹣3C．y＝x2﹣3D．
2．（3分）盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（ ）
A．一定是红球
B．摸出红球的可能性最大
C．不可能是黑球
D．摸出黄球的可能性最小
3．（3分）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为3，则下列说法正确的是（ ）
A．点P在⊙O上
B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外
D．无法判断点P与⊙O的位置关系
4．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，则∠CAD＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．90°
5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E在BC的延长线上，若∠A：∠B：∠D＝4：3：3，则∠DCE的度数是（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
6．（3分）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（3分）在下列函数图象上任取不同的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使＞0的是（ ）
A．y＝（x＞0）B．y＝x2﹣4x+5（x≥0）
C．y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0）D．y＝﹣3x+7
8．（3分）已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE＝BC，则阴影部分面积为（ ）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣
9．（3分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E，设∠AED＝α，∠AOD＝β，则以下关系式成立的是（ ）
A．2α+β＝180°B．2α﹣β＝90°C．3α+β＝180°D．3α﹣β＝90°
10．（3分）已知二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是实数），设该函数最小值为k，下列说法正确的是（ ）
A．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＜0
B．若2＜a＜3，2＜b＜3，则0＜k＜1
C．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＜﹣3
D．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＞﹣3
二.填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）从，0，3这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是 ．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足如表：
根据表格内容，则m的值为 ．
13．（3分）如图所示，AD为⊙O的直径，点B、C在圆上，∠B＝60°，则∠CAD＝ ．
14．（3分）一个袋子中装有3个红球和2个黄球，它们除颜色外，其他都相同．现将n个绿球（与红、黄球除颜色外，其他都相同）放入袋中摇均匀，从袋中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述的过程，共摸了500次，其中60次摸到红球．则估计n的值为 ．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+4ax+a+1（a为常数，且a＜0）的图象经过P（x1，y1）、Q（3，y2），当y1＞y2时，则x1的取值范围为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点I在DE上，以EF为直径的圆交直线AB于点M，N．若I为DE的中点，AB＝5，则MN＝ ．
三.解答题（本大题共8题，共72分）
17．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
18．（8分）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3，﹣5，7的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．
（1）用列表法或树状图法中的一种方法，写出所有可能出现的结果；
（2）求两次取出的小球上数字的和是正数的概率．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）△ABC的外接圆的半径为 ；
（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1；
（3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长．
20．（8分）如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．
（1）求证：∠CBO＝∠ABD；
（2）若AE＝2，CE＝8，求弦BD的长．
21．（8分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图），养殖场的总面积为ym2．
（1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
22．（10分）如图1，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D．
（1）若∠ECB＝120°，
①求所对圆心角的度数；
②连结DB，DA，求证：△ABD是等边三角形．
（2）如图2，若∠ADB＝45°，AB＝2，求△ABD的面积．
23．（10分）设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），求函数y的表达式及其图象的对称轴．
（2）在（1）的条件下，若函数y的图象上有P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且．求证：y1﹣y2＞0．
（3）若函数y的表达式可以写成y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）的形式，若0＜m＜2，求b+c的取值范围．
24．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，作AH⊥DG于点H．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD；
（2）若∠GDC＝30°，GC平分∠DGF，请在图2中补全图形并求出的值；
（3）猜想线段DH，HG，CG之间的数量关系，并证明你的结论．
2024-2025学年浙江省杭州市保俶塔实验教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．B．y＝2x﹣3C．y＝x2﹣3D．
【分析】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，由此判断即可．
【解答】解：A、不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、是一次函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（ ）
A．一定是红球
B．摸出红球的可能性最大
C．不可能是黑球
D．摸出黄球的可能性最小
【分析】根据题意列出树状图求出各种颜色求得概率，逐个判断即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为：，摸出黑球的概率为：，
故选：B．
3．（3分）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为3，则下列说法正确的是（ ）
A．点P在⊙O上
B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外
D．无法判断点P与⊙O的位置关系
【分析】直接根据点与圆的位置关系解答即可．
【解答】解：∵⊙O与点P在同一平面内，⊙O的半径为5，线段OP的长为3，5＞3，
∴点P在⊙O内．
故选：B．
4．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，则∠CAD＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．90°
【分析】由旋转的性质可得∠CAE＝90°，结合∠DAE＝50°，求得∠CAD．
【解答】解：将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，
∴∠CAE＝90°，
∵∠DAE＝50°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E在BC的延长线上，若∠A：∠B：∠D＝4：3：3，则∠DCE的度数是（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
【分析】设∠A＝4x，则∠B＝∠D＝3x，再由圆内接四边形的性质得出x的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠D＝4：3：3，
∴设∠A＝4x，则∠B＝∠D＝3x．
∵∠B+∠D＝180°，即6x＝180°，解得x＝30°，
∴∠A＝120°，
∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠A＝120°．
故选：D．
6．（3分）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据图像可以知道，进而得出b、c的正负，求出一次函数经过的象限，进而得出答案．
【解答】解：根据图像可得：
，
∴b＞0，c＞0，
故y＝bx+c经过一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
7．（3分）在下列函数图象上任取不同的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使＞0的是（ ）
A．y＝（x＞0）B．y＝x2﹣4x+5（x≥0）
C．y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0）D．y＝﹣3x+7
【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可．
【解答】解：A、y＝（x＞0）中，k＝2＞0，则当x＞0时，y随x的增大而减小，
即当x1＞x2时，必有y1＜y2，
此时＜0，
故A选项不成立；
B、∵y＝x2﹣4x﹣1的对称轴为直线x＝2，
∴当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时y随x的增大而增大，
∴当0＜x＜2时，当x1＞x2时，必有y1＜y2，
此时＜0，
故B选项不成立；
C、∵y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0）的对称轴为直线x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，
∴当x＜0时，当x1＞x2时，必有y1＞y2，
此时＞0，
故C选项成立；
D、∵y＝﹣3x+7中，k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2，
此时＜0，
故D选项不成立；
故选：C．
8．（3分）已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE＝BC，则阴影部分面积为（ ）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣
【分析】连接OD、OC，根据CE＝BC，得出∠DBC＝∠CEB＝45°，进而得出∠DOC＝90°，根据S阴影＝S扇形﹣S△ODC即可求得．
【解答】解：连接OD、OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠DBC＝∠CEB＝45°，
∴∠DOC＝2∠DBC＝90°，
∴S阴影＝S扇形﹣S△ODC＝﹣×3×3＝﹣．
故选：A．
9．（3分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E，设∠AED＝α，∠AOD＝β，则以下关系式成立的是（ ）
A．2α+β＝180°B．2α﹣β＝90°C．3α+β＝180°D．3α﹣β＝90°
【分析】根据垂直定义可得∠COA＝∠AOB＝90°，从而可得∠COD＝90°﹣β，再利用对顶角相等可得∠OEB＝∠AED＝α，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝90°﹣α，最后利用圆周角定理可得∠COD＝2∠B，从而可得90°﹣β＝2（90°﹣α），进行计算即可解答．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴∠COA＝∠AOB＝90°，
∵∠AOD＝β，
∴∠COD＝∠COA﹣∠AOD＝90°﹣β，
∵∠AED＝α，
∴∠OEB＝∠AED＝α，
∴∠B＝90°﹣∠OEB＝90°﹣α，
∵∠COD＝2∠B，
∴90°﹣β＝2（90°﹣α），
∴90°﹣β＝180°﹣2α，
∴2α﹣β＝90°，
故选：B．
10．（3分）已知二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是实数），设该函数最小值为k，下列说法正确的是（ ）
A．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＜0
B．若2＜a＜3，2＜b＜3，则0＜k＜1
C．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＜﹣3
D．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＞﹣3
【分析】利用抛物线解析式求得对称轴，即可求得函数的最小值k＝4（﹣a）（﹣b）+1＝﹣（a﹣b）2+1，然后根据a、b的取值，判断|a﹣b|的值，从而判断k的大小．
【解答】解：∵二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）的图象向上平移1个单位得到y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是实数），
由二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）（a，b是实数，且a≠b）可知对称轴为直线x＝，
∴二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是实数）的对称轴为直线x＝，
∴函数的最小值k＝4（﹣a）（﹣b）+1＝﹣（a﹣b）2+1，
若2＜a＜3，2＜b＜3，则|a﹣b|＜1，
所以0＜k＜1，
若2＜a＜3，3＜b＜4，则|a﹣b|＜2，
所以﹣3＜k＜1，
故选项B正确，选项A、C、D错误．
故选：B．
二.填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）从，0，3这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是 ．
【分析】先确定无理数的个数，再由概率公式求解即可．
【解答】解：∵，0，3这三个数中，是无理数，
∴这三个数中随机选择一个数，这个数为无理数的概率是，
故答案为：．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足如表：
根据表格内容，则m的值为 0 ．
【分析】由当x＝﹣2和x＝0时，y值均为3，可得出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，结合＝﹣1，可得出当x＝1时y的值与当x＝﹣3时y的值，此题得解．
【解答】解：∵当x＝﹣2和x＝0时，y值均为3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
又∵＝﹣1，且当x＝﹣3时，y＝0，
∴当x＝1时，y＝m＝0．
故答案为：0．
13．（3分）如图所示，AD为⊙O的直径，点B、C在圆上，∠B＝60°，则∠CAD＝ 30° ．
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABD＝90°，继而求出∠CBD的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠CAD的度数．
【解答】解：如图，连接BD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAD＝∠CBD＝30°，
故答案为：30°．
14．（3分）一个袋子中装有3个红球和2个黄球，它们除颜色外，其他都相同．现将n个绿球（与红、黄球除颜色外，其他都相同）放入袋中摇均匀，从袋中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述的过程，共摸了500次，其中60次摸到红球．则估计n的值为 20 ．
【分析】根据已知可估计出模到红球的概率，再利用概率公式计算即可．
【解答】解：根据已知可估计出模到红球的概率为＝，
所以＝，解得n＝20，
故估计n的值为20．
故答案为：20．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+4ax+a+1（a为常数，且a＜0）的图象经过P（x1，y1）、Q（3，y2），当y1＞y2时，则x1的取值范围为 ﹣7＜x1＜3 ．
【分析】根据y1＞y2及y＝ax2+4ax+a+1（a为常数，且a＜0）得到关于x1的不等式，进一步得到关于x1的不等式组，解不等式组可得答案．
【解答】解：∵y1＞y2，
∴+4ax1+a+1＞9a+12a+a+1，
∴+4ax1﹣21a＞0，
∴a（x1+7）（x1﹣3）＞0，
∵a＜0，
∴（x1+7）（x1﹣3）＜0，
∴或，
∴﹣7＜x1＜3．
故答案为：﹣7＜x1＜3．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点I在DE上，以EF为直径的圆交直线AB于点M，N．若I为DE的中点，AB＝5，则MN＝ ．
【分析】连接EC，FC，证明点E，C，F在同一条直线上，过点E，F作直线MN的垂线，垂足为R，T，设EF的中点为O，过点O作OK⊥MN于K，连接OM，证明△ABC和△AIE全等得BC＝IE，再根据点I为DE的中点得AC＝2BC，由此可得BC＝，AC＝2BC＝，进而得EC＝，FC＝，则EF＝EC+FC＝，由此得OM＝，证明△ABC∽△EAR得AR＝4，同理可证△ABC∽△BFT得FT＝1，证明OK为梯形EFTR的中位线，则OK＝（ER+FT）＝，然后在Rt△OMK中由勾股定理求出MK＝，进而可得MN的长．
【解答】解：连接EC，FC，
∵四边形ACDE和四边形BCGF均为正方形，
∴AC＝AE＝ED，∠ACE＝45°，∠CAE＝∠AED＝90°，BC＝BF，∠BCF＝45°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BCF＝180°，
∴点E，C，F在同一条直线上，
过点E，F作直线MN的垂线，垂足为R，T，设EF的中点为O，过点O作OK⊥MN于K，连接OM，如图所示：
∵四边形ABHI和四边形BCGF均是正方形，
∴∠IAC＝90°，AB＝AI，∠CBF＝90°，BC＝BF，
∴∠BAC+∠CAI＝90°，
又∵∠IAE+∠CAI＝90°，
∴∠BAC＝∠IAE，
在△ABC和△AIE中，
，
∴△ABC≌△AIE（SAS），
∴BC＝IE，
∵点I为DE的中点，
∴ID＝IE，
∴AE＝ED＝2IE，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即（2BC）2+BC2＝52，
∴BC＝，AC＝2BC＝，
在Rt△ACE中，AC＝AE＝，
由勾股定理得：EC＝＝，
在Rt△BFC中，BC＝BF＝，
由勾股定理得：FC＝＝，
∴EF＝EC+FC＝＝，
∵EF为⊙O的直径，
∴OE＝OF＝OM＝，
∵∠CAE＝90°，ER⊥MN，
∴∠BAC+∠EAR＝90°，∠AER+∠EAR＝90°，
∴∠BAC＝∠AER，
又∵∠ACB＝∠R＝90°，
∴△ABC∽△EAR，
∴AC：ER＝AB：AE，
即：ER＝5：，
∴AR＝4，
同理可证：△ABC∽△BFT，
∴BC：FT＝AB：BF，
即：FT＝5：，
∴FT＝1，
∵ER⊥MN，FT⊥MN，OK⊥MN，点O为EF的中点，
∴OK为梯形EFTR的中位线，
∴OK＝（ER+FT）＝×（4+1）＝，
在Rt△OMK中，OM＝，OK＝，
由勾股定理得：MK＝＝，
∵点O为⊙O的圆心，OK⊥MN，
∴MN＝2MK＝．
故答案为：．
三.解答题（本大题共8题，共72分）
17．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出a，b，得到此二次函数的解析式；
（2）把x＝﹣2代入函数解析式计算，判断即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得，，
则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
18．（8分）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3，﹣5，7的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．
（1）用列表法或树状图法中的一种方法，写出所有可能出现的结果；
（2）求两次取出的小球上数字的和是正数的概率．
【分析】（1）根据题意先画出树状图，得出所有可能出现的结果数；
（2）根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
所有可能出现的结果有（3，3），（3，﹣5），（3，7），（﹣5，3）（﹣5，﹣5），（﹣5，7），（7，3），（7，﹣5），（7，7）共有9种；
（2）∵共有9种情况，两次取出的小球上数字的和是正数有4种情况，
∴两次取出小球上的数字相同的概率为．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）△ABC的外接圆的半径为 ；
（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1；
（3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长．
【分析】（1）先利用勾股定理计算出BC，然后直角三角形的外切圆的半径为BC的一半求解；
（2）利用旋转变换的性质作出A，C的对应点A1，C1即可；
（3）利用弧长公式计算弧长即可．
【解答】解：（1）AB＝2，AC＝3，BC＝＝，
所以△ABC的外接圆的半径＝；
故答案为：；
（2）旋转之后，如图所示：
（3）CC1弧长L＝
＝π．
20．（8分）如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．
（1）求证：∠CBO＝∠ABD；
（2）若AE＝2，CE＝8，求弦BD的长．
【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠ABD，然后利用∠C＝∠CBO得到∠CBO＝∠ABE；
（2）先根据垂径定理得到BE＝DE，再计算出OB＝5，OE＝3，则利用勾股定理可计算出BE，从而得到BD的长．
【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
即∠ABD+∠CBD＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠CBO＝∠ABE；
（2）解：∵AC⊥BD，
∴BE＝DE，
∵AE＝2，CE＝8，
∴AC＝10，
∴OB＝5，OE＝3，
在Rt△OBE中，BE＝＝4，
∴BD＝2BE＝8．
21．（8分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图），养殖场的总面积为ym2．
（1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【分析】（1）根据题意可得，矩形养殖场的长为3x m，矩形养殖场的宽为（24﹣3x） m＝（8﹣x） m，从而养殖场的总面积为y＝3x（8﹣x）＝﹣3x2+24x，再结合墙的长度为10，可得0＜3x≤10，进而可得自变量x的取值范围；
（2）依据题意，由y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，从而当x＜4时，y随x的增大而增大，又0＜x≤，进而由二次函数的性质可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵较小矩形的宽为x m，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，
∴较大矩形的宽为2x m．
∴矩形养殖场的长为3x m，矩形养殖场的宽为（24﹣3x） m＝（8﹣x） m．
∴养殖场的总面积为y＝3x（8﹣x）＝﹣3x2+24x．
∵墙的长度为10，
∴0＜3x≤10，
∴0＜x≤．
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣3x2+24x（0＜x≤）．
（2）由题意，∵y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∴当x＜4时，y随x的增大而增大．
又∵0＜x≤，
∴当x＝时，y取最大值，最大值为：﹣3（﹣4）2+48＝．
答：当x为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
22．（10分）如图1，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D．
（1）若∠ECB＝120°，
①求所对圆心角的度数；
②连结DB，DA，求证：△ABD是等边三角形．
（2）如图2，若∠ADB＝45°，AB＝2，求△ABD的面积．
【分析】（1）①利用邻补角的意义和角平分线的定义解答即可；
②利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和等边三角形的判定定理解答即可；
（2）连接DO并延长交AB于点H，连接OA，OB，利用圆周角定理，同圆的半径相等的性质得到△OAB为等腰直角三角形，可求OA＝OB＝；利用等腰三角形的判定定理和垂径定理得到DH⊥AB，利用等腰直角三角形的性质求得OH，再利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】（1）①解：∵∠ECB＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ECB＝60°．
∴所对圆心角的度数＝2∠ACB＝120°；
②证明：∵CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，
∴∠ECD＝∠BCD＝∠ECB＝120°＝60°．
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠DAB＝60°，
∵∠ECD为圆内接四边形CABD的外角，
∴∠ABD＝∠ECD＝60°，
∵∠ADB＝ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠DAB＝∠ABD＝60°，
∴△ABD是等边三角形；
（2）解：连接DO并延长交AB于点H，连接OA，OB，如图，
则∠AOB＝2∠ADB＝2×45°＝90°，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OA＝OB＝AB＝，
∴OD＝OA＝．
∵CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，
∴∠ECD＝∠BCD＝∠ECB，
∵∠ECD为圆内接四边形CABD的外角，
∴∠ABD＝∠ECD．
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠DAB，
∴DA＝DB，
∴．
∴DH⊥AB．
∴AH＝DH＝1，
∴OH＝AB＝1，
∴DH＝OD+OH＝1．
∴△ABD的面积＝AB•DH＝2×（）＝．
23．（10分）设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），求函数y的表达式及其图象的对称轴．
（2）在（1）的条件下，若函数y的图象上有P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且．求证：y1﹣y2＞0．
（3）若函数y的表达式可以写成y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）的形式，若0＜m＜2，求b+c的取值范围．
【分析】（1）根据题意列方程组，即可得到结论；
（2）在（1）的条件下，二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3，于是得到y1﹣y2＝x﹣4x1+3﹣（x﹣4x2+3）＝x﹣4（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣4），由，得到﹣＜x1+x2﹣4＜0，﹣2＜x1﹣x2＜﹣＜0，于是得到结论；
（3）化简y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝x2﹣（2m+1）x+（m2+m），求得b+c＝﹣（2m+1）+（m2+m）＝m2+m﹣2m﹣1＝m2﹣m﹣1，当m＝0时，b+c＝m2﹣m﹣1＝﹣1，当m＝2时，b+c＝m2﹣m﹣1＝1，于是得到结论．
【解答】（1）解：由题意，二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过（1，0），（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析y＝x2﹣4x+3，
∴抛物线对称轴是直线x＝＝2；
（2）解：由题意，得y＝（x﹣h）2﹣3＝x2﹣2h+h2﹣3，
又∵y＝x2+bx+c，
∴b＝﹣2h，c＝h2﹣3
∴b+c＝h2﹣2h﹣3＝（h﹣1）2﹣4，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4；
（2）证明：在（1）的条件下，二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3，
∴y1﹣y2＝x﹣4x1+3﹣（x﹣4x2+3）＝x﹣4（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣4），
∵，
∴﹣＜x1+x2﹣4＜0，﹣2＜x1﹣x2＜﹣＜0，
∴（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＞0，
即y1﹣y2＞0；
（3）解：y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝x2﹣（2m+1）x+（m2+m），
∵b+c＝﹣（2m+1）+（m2+m）＝m2+m﹣2m﹣1＝m2﹣m﹣1，
∴当m＝0时，b+c＝m2﹣m﹣1＝﹣1，
当m＝2时，b+c＝m2﹣m﹣1＝1，
∴b+c的取值范围为﹣＜a+b＜1．
24．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，作AH⊥DG于点H．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD；
（2）若∠GDC＝30°，GC平分∠DGF，请在图2中补全图形并求出的值；
（3）猜想线段DH，HG，CG之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）连接AD，AC，利用圆的内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理和等腰三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用角平分线的定义，平角的定义得到∠AGD＝∠DGC＝∠FGC＝60°，则∠GDC+∠DGC＝30°+60°＝90°，DG为圆的直径，GC⊥DF；利用全等三角形的判定与性质得到DG＝FG，∠GDC＝∠F＝30°，设⊙O的半径为r，则DG＝FG＝2r，OA＝r，利用等边三角形的 判定与性质，含30°角的直角三角形的性质分别求得△CGF和△AGH的底和高，再利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：连接AD，AC，如图，
∵四边形ADCG为圆的内接四边形，
∴∠FGC＝∠ADC．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠AGD，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）解：由题意补全图形如下：
∵GC平分∠DGF，
∴∠DGC＝∠FGC，
由（1）知：∠FGC＝∠AGD，
∴∠AGD＝∠DGC＝∠FGC＝60°，
∵∠GDC＝30°，
∴∠GDC+∠DGC＝30°+60°＝90°，
∴∠DCG＝90°，
∴DG为圆的直径，GC⊥DF，
∴∠DCG＝∠FCG＝90°．
在△DCG和△FCG中，
，
∴△DCG≌△FCG（ASA），
∴DG＝FG，∠GDC＝∠F＝30°．
设⊙O的半径为r，则DG＝FG＝2r，OA＝r，
∴GC＝FG＝r，
∴FC＝＝r．
∵CD⊥AB，∠GDC＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴∠AOG＝DOB＝60°，
∵OA＝OG，
∴△OAG为等边三角形，
∵AH⊥OG，
∴OH＝GH＝OG＝r，
∴AH＝r，
∴＝＝＝4；
（3）解：线段DH，HG，CG之间的数量关系为DH＝HG+CG．理由：
在DG的延长线上截取GM＝GC，连接AD，AG，AM，如图，
∵∠AGM＝∠DGF，∠FGC＝∠AGD，
∴∠AGM＝∠DGC+∠FGC＝∠DGC+∠AGD＝∠AGC．
在△AGC和△AGM中，
，
∴△AGC≌△AGM（SAS），
∴AC＝AM．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴，
∴AD＝AC，
∴AD＝AM，
∵AH⊥DG，
∴DH＝HM，
∴DH＝HG+GM＝HG+GC．x
⋯
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
3
4
3
m
…
x
⋯
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
3
4
3
m
…