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    1.1锐角三角函数同步练习 北师大版数学九年级下册

    1.1锐角三角函数同步练习  北师大版数学九年级下册第1页
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    初中数学北师大版(2024)九年级下册1 锐角三角函数随堂练习题

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    这是一份初中数学北师大版(2024)九年级下册1 锐角三角函数随堂练习题,共25页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.如图,已知,下列条件中不能判断和相似的是( )
    A.B.平分C.D.
    2.在中,,则( )
    A.B.C.D.
    3.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,sinA=,AB=6,D是AB的中点,连接CD,作DE⊥AC于E,则△CDE的周长为( )
    A.4+B.6+C.4+D.6+
    4.的值等于( )
    A.;B.1;C.;D..
    5.如图,已知二次函数y=ax2+bx的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A(3,2),有下面四个结论:①ab>0;②a﹣b>﹣;③sinα=;④不等式kx≤ax2+bx的解集是0≤x≤3.其中正确的是( )
    A.①②B.②③C.①④D.③④
    6.如图,点O是正五边形的中心,于点H.则( )
    A. B.
    C. D.
    7.在直角三角形中,各边都扩大2倍,则锐角A的正弦值( )
    A.缩小2倍B.扩大2倍C.不变D.不能确定
    8.如图,点A,B,C在正方形网格的格点处,等于( )
    A.B.C.D.
    9.如图,在中,,,,则的值为( )
    A.B.C.D.
    10.如图,将矩形纸片沿对角线所在直线折叠,点落在点处.过的中点作交于点.若 ,,则的长为( )
    A.B.4C.D.5
    11.在中,则等于( )
    A.B.C.D.
    12.如图,在中,,,,利用尺规作图:分别以点、为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交点分别为、;连接与交于点,与交于点,则的长为( )
    A.B.C.D.
    二、填空题
    13.比较大小: .(填“”,“”,或“”)
    14.如图,点P,M是锐角∠AOB的边OA上的两点,分别过点P,M作PQ⊥OB于点Q,MN⊥OB于点N.若PQ=4,MN=5,PM=2,则cs∠AOB=
    15.在直角坐标系中,O为原点,点A(a,3)在第一象限,OA与X轴所夹的锐角为α,tanα=1.5,则a= .
    16.已知,在中,,若,则 .
    17.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则tanC= .
    三、解答题
    18.在中,,求和.
    19.如图,方格纸上的每个小方格都是边长为小正方形,我们把格点连线为边的三角形称为“格点三角形”,图中的就是一个格点三角形.
    (1)填空:________,________;
    (2)请先在方格纸中画出一个格点三角形,使,并且.再回答:与的周长之比为________.
    20.如图,小明家居住的家属楼前20米处有一土丘,经测量斜坡长为8米,坡角恰好为.一天小明站在斜坡顶端B处,手持1米的木棒(手臂长为0.6米,手臂与身子垂直,木棒与身子平行),发现眼睛A、木棒的顶端D、楼房的顶端M在一条直线上;眼睛A、木棒的底端E、楼房的底部N三点共线,请你计算小明家居住的这栋楼的高度.(参考数据:,,,结果精确到1米)
    21.【问题提出】
    (1)如图1,,A、D在上,B、C在上,,若,则的长为__________;
    【问题探究】
    (2)如图2,已知是等边三角形,D、E分别为上的点,且,连接.求证:;
    【问题解决】
    (3)如图3是某公园一块四边形空地,其中,米,米,,P、Q分别在上,且,是平行于的一条绿化带,E、F是线段上的两个动点(点E在点F的左侧),米,M在线段上运动(不含端点),且保持,管理人员计划沿铺设两条笔直的水管,为了节省费用,公园负责人要求这两条水管的长度之和(即的值)最小,求这两条水管的长度之和的最小值.(绿化带、水管宽度均忽略不计)
    22.黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中,千米, 千米,请据此解答如下问题:

    (1)求该岛的周长和面积(结果保留整数,参考数据,,)
    (2)求的余弦值.
    23.如图,已知,,,,过A作y轴的垂线交反比例函数 的图象于点D,连接,.
    (1)证明:四边形为菱形;
    (2)求此反比例函数的解析式;
    (3)求的值.
    24.如图1,矩形ABCD中,AD=2,AB=a,点E为AD的中点,连接BE.过BE的中点F作FG⊥BE,交射线BC于点G,交边CD于H点.
    (1)连接HE、HB
    ①求证:HE=HB;
    ②若a=4,求CH的长.
    (2)连接EG,△BEG面积为S
    ①BE= (用含a的代数式表示);
    ②求S与a的函数关系式.
    (3)如图2,设FG的中点为P,连接PB、BD.猜想∠GBP与∠DBE的关系,并说明理由.
    参考答案:
    1.C
    【分析】根据相似三角形的判定方法,对选项逐个判定即可.
    【详解】解:A、∵

    又∵
    ∴,选项不符合题意;
    B、∵平分

    ∴,选项不符合题意;
    C、根据得不到三角形的某个角相等,选项符合题意;
    D、∵根据三角函数的定义可得,
    ∵,∴
    ∴,∴,选项不符合题意;
    故答案为C
    【点睛】此题考查了相似三角形的判定方法,涉及了三角函数的定义,熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
    2.C
    【分析】根据锐角三角函数正切的定义即可得到答案.
    【详解】解:∵,
    ∴,
    故选:C.
    【点睛】本题考查正切,解题的关键是熟知:在直角三角形中,任意一锐角B的对边与邻的比叫做B的正弦,记作.
    3.A
    【分析】根据平行线分线段成比例可得是的中点,根据直角三角形斜边上的中线可得,根据中位线的性质可得,根据sinA=,AB=6,求得,在中,勾股定理求得,进而求得,然后根据三角形的周长公式即可求解.
    【详解】∠BCA=90°,sinA=,AB=6,DE⊥AC,
    ,,


    D是AB的中点,
    ,,
    , ,
    △CDE的周长为.
    故选A.
    【点睛】本题考查了平行线分线段成比例,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,中位线的性质,根据正弦求边长,勾股定理,综合运用以上知识是解题的关键.
    4.B
    【分析】本题考查特殊角的三角函数值,根据即可求解,正确掌握几个特殊角的三角函数值是解题的关键,属于基础题.
    【详解】解:.
    故选:B.
    5.B
    【分析】根据抛物线图象性质确定a、b符号,把点A代入y=ax2+bx得到a与b数量关系,代入②,不等式kx≤ax2+bx的解集可以转化为函数图象的高低关系.
    【详解】解:根据图象抛物线开口向上,对称轴在y轴右侧,则a>0,b<0,则①错误
    将A(3,2)代入y=ax2+bx,则2=9a+3b
    ∴b=,
    ∴a﹣b=a﹣()=4a﹣>-,故②正确;
    由正弦定义sinα=,则③正确;
    不等式kx≤ax2+bx从函数图象上可视为抛物线图象不低于直线y=kx的图象
    则满足条件x范围为x≥3或x≤0,则④错误.
    故答案为B.
    【点睛】二次函数的图像,sinα公式,不等式的解集.
    6.C
    【分析】本题考查了正多边形与圆,连接,根据题意可得,结合一个角的余弦值的定义可得,据此即可求解.
    【详解】解:连接,
    ∵点O是正五边形的中心,
    ∴,
    ∵于点H,
    ∴,,
    ∵,
    ∴,
    故选:C.
    7.C
    【详解】试题分析:锐角的正弦值是对应的边除以第三边,因为比例未变,所以该正弦值为改变,故选C
    考点:直角三角形角的正弦值
    点评:本题属于对直角三角形基本知识和正弦值概念的理解和运用
    8.B
    【分析】由勾股定理求出AC,AB,BC的长度,由勾股定理的逆定理判断△ABC是BC为斜边的直角三角形,即可求得.
    【详解】解:由勾股定理可得
    AC=,AB=,BC=

    ∴△ABC是BC为斜边的直角三角形

    故选:B
    【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理,求正弦,解答本题的关键是判断出△ABC的形状.
    9.C
    【分析】本题需先根据勾股定理得出的长,再根据锐角三角函数的定义即可得出的值.
    【详解】,,,


    故选:C.
    【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义,在解题时要根据勾股定理解出的长是解本题的关键.
    10.C
    【分析】设交于点,,交于点,证明,得出,,进而证明,得出,,设,则,,在中,,勾股定理求得,进而根据,求得,即可求解.
    【详解】解:如图所示,设交于点,,交于点,
    ∵,四边形是矩形,
    ∴,
    ∴,
    ∴,,
    ∵折叠,
    ∴,
    ∵四边形是矩形,
    ∴,,
    ∴,
    在中,

    ∴,
    ∴,,
    设,则,,
    在中,,
    即,
    解得:,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    解得:,
    ∴,
    故选:C.
    【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,全等三角形的判定与性质,正切的定义,矩形与折叠问题,勾股定理,熟练掌握以上知识是解题的关键.
    11.B
    【分析】根据余切的定义:锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切,记作ctA.
    【详解】∵∠B=90°,
    ∴,
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义,关键是掌握余切定义.
    12.B
    【分析】由题意可知DE为AB的垂直平分线可求得AE的长,再运用勾股定理求得AC的长,然后再运用正弦的定义列式解答即可.
    【详解】解:由题意可知DE为AB的垂直平分线,则AE=AB=
    ∴tan∠A=
    ∵在中,,,
    ∴AC=, tan∠A=
    ∴=,即=,解得DE=.
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查了垂直平分线的作法与性质、勾股定理以及正切的定义,灵活运用相关知识成为解答本题的关键.
    13.
    【分析】可以根据“正弦函数值与正切函数值都是随着锐角的增大而增大”,进行填空即可.
    【详解】解:由“一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大”可知,

    故答案为:.
    【点睛】此题考查了锐角三角函数,正弦函数值,熟练掌握三角函数的性质是解题的关键.
    14.
    【详解】 ,得 ,故cs∠AOB= .
    15.2
    【详解】
    ∵点A(a,3)在第一象限,∴AB=3,OB=a,
    又∵tanα==1.5,∴a=2.
    故答案为2.
    16.
    【分析】根据三角函数的定义,设,则,勾股定理求得,即可求解.
    【详解】解:,
    ∴设,则,
    则,

    故答案为
    【点睛】此题考查了三角函数的定义和勾股定理,解题的关键是熟练掌握三角函数的定义.
    17..
    【分析】如图,过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E.Rt△AEC中,根据tanC=,求解即可.
    【详解】解:如图,过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E.
    Rt△AEC中,tanC===,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查解直角三角形,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
    18..
    【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角函数的概念等知识点,在直角三角形中,正弦等于对边比斜边,余弦等于邻边比斜边,正切等于对边比邻边,先由勾股定理求出,再利用锐角三角函数的定义求解即可.
    【详解】解:在中,,
    ∴,
    ∴,.
    19.(1),32;(2)图详见解析,
    【分析】(1)根据勾股定理即可求出的长,如图,在中利用正切的定义即可求出的值.
    (2)将△ABC各边放大3倍即可画出符合要求的格点三角形,然后再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得出答案.
    【详解】解:(1)如图,根据勾股定理,得,∴,
    在Rt△BCM中,;
    故答案为:,;
    (2)所画格点△如图所示,
    ∵,并且.
    ∴与的周长之比为.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了相似三角形的作图和性质、勾股定理和锐角三角函数等知识,属于常考题型,熟练掌握上述知识是解题的关键.
    20.44米
    【分析】如图,作交于点G,交于点H,延长交于点F;通过三角函数计算求出线段,再根据矩形判定定理:有三个角是直角的四边形是矩形,求出的长;根据相似三角形的判定定理之一:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似,可知:;利用相似三角形性质:对应高的比等于相似比,从而求出最终结果.
    【详解】解:如图,延长交于点F,作交于点G,交于点H,
    ∵斜坡米,坡角,
    ∴米;
    ∵米,
    ∴米,
    ∵根据题意,
    ∴四边形是矩形,
    ∴米;
    ∵,
    ∴,
    ∴,即,
    解得:米,
    故这栋楼的高度为44米.
    【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理、性质和矩形的判定定理及锐角三角函数的运用,熟练掌握相似三角形的判定定理及性质是解本题的关键.
    21.(1)5(2)见解析(3)390米
    【分析】(1)首先根据条件证明四边形是平行四边形,再根据平行四边形对边相等可得到即可;
    (2)根据证明,进而解答即可;
    (3)连接,过点D作于,根据米,求出米,米,证明,可得,在上截取米,连接,可得四边形是平行四边形,,则,根据,可得的最小值为的长,利用勾股定理即可求解.
    【详解】解:(1)∵,A、D在上,B、C在上,
    ∴,

    ∴四边形是平行四边形,

    故答案为:5;
    (2)证明:∵为等边三角形,
    ∴,
    在与中,

    ∴,
    ∴;
    (3)解:连接,过点D作于H,
    ∵,
    ∴,
    设,则,
    ∵米,,
    ∴,
    解得(负值舍去),
    ∴米,米,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    在上截取米,连接,
    ∵,
    ∴四边形是平行四边形,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴的最小值为的长,
    ∵(米),
    ∴(米),
    ∴这两条水管的长度之和的最小值为390米.
    【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形的三边关系等知识,解题的关键是学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题.
    22.(1)千米,平方千米
    (2)
    【分析】本题考查勾股定理及三角函数余弦的定义等知识点,理解并熟练运用勾股定理及三角函数的定义是解题的关键.
    (1)先后在和中求得和的长,即可求得周长和面积;
    (2)中,利用三角函数余弦的定义即可求出在中.
    【详解】(1)解:千米,,
    ∴,
    ∴由勾股定理可得
    千米.
    又∵,
    ∴(千米)
    ∴周长为:(千米)
    面积为:(平方千米)
    故该岛的周长为55千米,面积为157平方千米.
    (2)在中,千米,千米,
    ∴.
    故的余弦值为.
    23.(1)证明见解析;
    (2);
    (3).
    【分析】(1)利用对边分别平行得到四边形为平行四边形,再根据平行四边形邻边相等即可证明结论;
    (2)利用菱形的性质,得到D点坐标为,将其代入反比例函数解析式,得到,即可求出此反比例函数的解析式;
    (3)根据平行线的性质,得到,利用勾股定理得到,求出,即可得到的值.
    【详解】(1)
    解:轴,在 x 轴上,,

    四边形为平行四边形,
    ,,,
    ,,,
    ,,

    平行四边形为菱形;
    (2)解:四边形为菱形,
    ,,
    点的坐标为,
    反比例函数的图象经过D点,


    反比例函数的解析式为:;
    (3)解:

    在中,,,


    【点睛】本题考查了平行判定和性质,菱形的判定和性质,求反比例函数解析式,勾股定理,三角函数,熟练掌握坐标与图形的关系是解题关键.
    24.(1)①详见解析;②;(2)①BE=;②;(3)猜想:∠GBP=∠DBE;详见解析
    【分析】(1)①证明是的垂直平分线,即可得到答案,②先求解,利用由三角函数建立联系,求解 再求解 由同角的三角函数求解即可,
    (2)①利用勾股定理直接得到答案,②先求解,利用由三角函数建立联系,求解从而可得答案,
    (3)过作于 过作于,证明即可得到答案.
    【详解】证明:(1)①如图, 是的中点,
    是的垂直平分线,

    ②为的中点,

    矩形


    为的中点,










    (2)①由

    故答案为:
    ②为的中点,

    由①知:






    (3),理由如下:
    证明:过作于 过作于,











    为的中点,















    【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,勾股定理的应用,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数,矩形的性质,掌握以上知识是解题的关键.
    题号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    答案
    C
    C
    A
    B
    B
    C
    C
    B
    C
    C
    题号
    11
    12








    答案
    B
    B








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