初中数学苏科版（2024）九年级上册1.1 一元二次方程课后作业题

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级上册1.1 一元二次方程课后作业题，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若方程化为一般式后的二次项为，则一次项的系数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一个根，则另一个根的值是（ ）
A．-1B．-2C．2D．-1或1
4．若a是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2023B．C．2022D．
5．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．B．1C．1或D．3
6．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
7．有下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中一元二次方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．下列式子中，是它的解的是（ ）
A．B．C．D．
9．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，5，4B．2，﹣5，4C．﹣2，﹣5，4D．2，﹣5，﹣4
10．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
11．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
12．下列方程中是关于x一元二次方程的为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．关于x的一元二次方程的一个根是a，则代数式的值是 ．
14．若方程的一个根为-3，则k的值为 ．
15．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是： ．
16．若关于x的一元二次方程的一个根为，则代数式的值是 ．
17．首先观察下表：由一元二次方程的根得出等式
三、解答题
18．已知a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根中较小的根．
（1）求a2－4a＋2015的值；
（2）化简并求值︰
19．阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：根据上述材料请你用几何方法求方程的正数解．要求如下：
(1)在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度．
(2)根据（1）所画图形直接写出方程的正数解．
(3)这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是______．（填写字母序号即可）
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．公理化思想
20．给出如下两个方程，方程①；方程②；
（1）证明方程①的实根都是方程②的实根；
（2）如果方程①和②的实根相同，求的取值范围．
21．已知、、是ΔABC的三条边长，若为关于的一元二次方程的根．
（1）ΔABC是等腰三角形吗？ΔABC是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；
（2）若代数式子有意义，且为方程的根，求ΔABC的周长．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的知识，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程，其标准形式为．根据一元二次方程的定义分析判断即可．
【详解】解：A．不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．是多项式，不是方程，故此选项不符合题意；
D．符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可．
【详解】解：，
整理得：，
所以一元二次方程化为一般式后的一次项系数为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是（、、为常数，）．
3．B
【详解】分析：由于x=1是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后解方程可以求出方程的另一根．
详解：∵x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2=0的一个根，∴12+m﹣2=0，
∴m=1，将m=1代入方程得x2+x﹣2=0，解得：x=1或 x=﹣2，∴方程的另一根为x=﹣2．
故选B．
点睛：本题考查了一元二次方程的根的定义，把方程的根代入原方程就可以确定待定系数m的值，然后解方程就可以求出方程的另一个根．
4．A
【分析】把代入方程可得，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴，即，
∴
，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，把代入方程可得是解题的关键．
5．A
【分析】根据一元二次方程的解的定义以及一元二次方程的定义进行作答即可．
【详解】解：因为x的一元二次方程的一个根是0，
所以把代入，
得，
解得，
因为，
即，
所以a=−1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义以及一元二次方程的定义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
6．D
【分析】根据形如得整式方程判定即可．
【详解】A. 不是一元二次方程，不符合题意；
B. 不是一元二次方程，不符合题意；
C. 不是一元二次方程，不符合题意；
D. 是一元二次方程，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
7．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，据此即可作答．
【详解】解：（1）；（2）是一元二次方程；
不是整式方程，不是一元二次方程；
不是整式方程，不是一元二次方程；
含有两个未知数，不是一元二次方程；
故选：B
8．A
【分析】根据方程的解和不等式的解集的定义解答即可．
【详解】解：A、将代入原方程，左边右边，
选项符合题意；
B、∵将代入原方程，左边右边，
B选项不符合题意；
C、不是不等式的解，
选项不符合题意；
D、不是不等式组的解，
选项不符合题意．
综上所述，A选项符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了方程的解和不等式的解集，正确掌握方程的解和不等式的解集的定义是解题的关键．
9．D
【分析】根据一元二次方程的概念及一般形式即可判断，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：∵方程2x2﹣5x＝4化成一般形式是2x2﹣5x﹣4＝0，
∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
10．B
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A．是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．，是分式方程，故本选项不符合题意；
D．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
11．C
【分析】根据一元二次方程的定义即可求解．
【详解】A.属于二元二次方程，故错误；
B.属于二元一次方程，故错误；
C.属于一元二次方程，正确；
D.属于分式方程，故错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的判断，解题的关键是熟知一元二次方程的定义．
12．C
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A.未知数的最高次是3次的，故不是一元二次方程；
B.选项没有说明a≠0，故不是一元二次方程；
C.是一元二次方程；
D.含有2个未知数，故不是一元二次方程.
故选C.
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
13．
【分析】根据一元二次方程的解的定义求解即可，一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【详解】关于x的一元二次方程的一个根是a，
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．
14．2
【分析】把x＝−3代入方程得出9−3k−3＝0，求出k的值即可．
【详解】解：把x＝−3代入方程x2＋kx−3＝0得：9−3k−3＝0，
解得：k＝2，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键．
15．10
【分析】先将所求式子化成，再根据一元二次方程的根的定义得出一个a、b的等式，然后将其代入求解即可得．
【详解】
由题意，将代入方程得：
整理得：，即
将代入得：
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义、代数式的化简求值，利用一元二次方程的根的定义得出是解题关键．
16．5
【分析】把代入已知方程得到：，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】解：把代入，得
，
∴，
∴．
故答案是：5．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，求解代数式的值，理解解的含义再构建整体求解代数式的值是解本题的关键．
17．
【分析】根据方程根的定义，将方程的根代入原方程即可求解．
【详解】解：根据一元二次方程根的定义，填表如下
故答案为：，，，
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，满足两个条件：（1）根就是未知数的值；（2）使方程两边相等，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
18．（1） 2014 （2） 1－
【详解】试题分析：（1） 把a代入方程可得a2－4a＝－1 ，然后整体代入计算即可；（2）先求出方程的根，再把所给的式子化简，然后代入a的值计算即可．
试题解析：解︰（1）∵a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的根，
∴a2－4a＋1＝0，
∴a2－4a＝－1；
∴a2－4a＋2015＝－1＋2015＝2014；
（2）原方程的解是︰
∵a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根中较小的根，
∴a＝2－，且a－1＜0．
∴＝－
＝a－1－－
＝a－1＋－
＝a－1．
当a＝2－时，原式＝2－－1＝1－．
考点：一元二次方程的根，化简求值
19．(1)见解析
(2)
(3)B
【分析】本题考查解一元二次方程的几何解法，理解题意是解题的关键．
（1）根据题干给出的思路可知，构造一个以未知数x为边长的正方形，在某四条边上向外作长和宽分别x和的矩形，其中为方程中一次项系数的，据此作图即可；
（2）根据题意的思路作答即可；
（3）根据几何图形解决代数问题，体现了数形结合的思想．
【详解】（1）画出的图形如图所示：
（2）大正方形的面积为：，
又已知，
所以大正方形的面积为，
于是大正方形的边长为6，因此：．
∴方程的正数解为；
（3）根据几何图形解决代数问题，体现数形结合的思想，
故选：B．
20．(1)见解析；(2)
【分析】（1）分类讨论：当a=0，它们的解都为1；当a≠0时，若方程①有实数解，由①得ax2-1=x，把ax2-1=x代入②得ax2-x-1=0，于是得到它们的解一样，然后综合两种情况即可；（2）根据判别式的意义得到a≥-．
【详解】（1）当，方程①变形为，解得x=−1；
方程②变形为，解得x=−1，它们的解相同；
由①得，把代入②得，它们有相同的解，
∴ 方程①的实根都是方程②的实根；
（2）由（1）得：方程①的实根都是方程②的实根，
则，解得，
所以的取值范围为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
21．（1）ΔABC是等腰三角形，ΔABC不是等边三角形，理由详见解析；（2）7
【分析】（1）根据方程的解的定义把代入方程，可得，根据一元二次方程的定义可知，所以ΔABC不是等边三角形是等腰三角形；
（2）根据二次根式的意义可知，，所以，所以，解方程，结合可求得，所以ΔABC的周长为．
【详解】（1）ΔABC是等腰三角形，ΔABC不是等边三角形；
理由如下：
为方程的根，
，
，
、、是ΔABC的三条边长
为等腰三角形，
，
，
不是等边三角形；
（2）依题意，得，
，
，
解方程得，；
为方程的根，且，
的值为，
的周长为．
【点睛】主要考查了一元二次方程解的定义，等腰三角形的判定和二次根式的意义；要会利用方程的解和几何图形结合起来，利用数形结合的思想进行解题．
已知方程的根
得出等式
x=1

x=

x=2

x=

一元二次方程的几何解法通过学习，我们知道可以用配方法、提公因式法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．下面是9世纪阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求解的过程．
解：如图，构造一个以未知数x为边长的正方形，在某四条边上向外作长和宽分别x和的矩形，再把这个图补成边长为的正方形．
于是大正方形的面积为：，
又已知，所以大正方形的面积为，
于是大正方形的边长为8，因此：．
几何法求解一元二次方程，只能得到正数解．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
A
A
D
B
A
D
B
题号
11
12








答案
C
C








已知方程的根
得出等式
x=1

x=
x=2
x=