北师大版（2024）九年级下册6 利用三角函数测高测试题

这是一份北师大版（2024）九年级下册6 利用三角函数测高测试题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为( )
A．(40＋403)海里B．(803)海里
C．(40＋203)海里D．80海里
2．如图：为了测楼房BC的高，在距离楼房10米的A处，测得楼顶B的仰角为，那么楼房BC的高为（ ）
A．10tana米B．米C．10sin米D．米
3．有一拦水坝的横截面是等腰梯形，它的上底为米，下底为10米，高为米，则此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是（ ）
A．，B．，C．3，D．3，
4．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．5mB．mC．mD．m
5．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是( )
A．3B．2C．3D．3
6．温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处（如图），以每小时10千米的速度向东偏南30°的BC方向移动，并检测到台风中心在移动过程中，温州市A将受到影响，且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．则影响温州市A的时间会持续多长？（ ）
A．5B．6C．8D．10
7．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（ ）
A．160mB．80m
C．120（－1）mD．120（+1）m
8．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点到旗杆的距离，测得旗杆的顶部的仰角，旗杆底部的俯角，那么，旗杆AB的高度是（ ）
A．mB．mC．mD．m
9．下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：
设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB的长为（ ）
A．2kmB．3kmC．kmD．3km
11．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：D．：1
12．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD＝20 m，高度DC＝30 m，则信号发射塔顶端到地面的高度(即FG的长)为( )
A．(35＋55)mB．(25＋45)mC．(25＋75)mD．(50＋20)m
二、填空题
13．如图，要测量一段两岸平行的河的宽度，在A点测得，在B点测得，且AB=50米，则这段河岸的宽度为 ．
14．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶部A测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°，则建筑物CD的高度是 米．（结果带根号形式）
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=，BC=5，D是AB边上一个动点（不与点A、B重合），E是BC边上一点，且∠CDE=∠B．则BE长的最大值为 ．
16．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为 .

17．如右图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E,已知AB＝6，AD=5，BC＝4，则CE=
三、解答题
18．为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°．若小明的眼睛离地面1．6m ，小明如何计算气球的高度呢（精确到0．1m）
19．如图，在等腰△ABC中，AB=BC=4，点O是AB的中点，∠AOC=60°，点P是射线CO上的一个动点，若当△PAB为直角三角线时，试画出可能的图形（两种即可），并求出相应图形中的AP的长．
20．如图，分别表示用测倾器测量观测目标的仰角和俯角，铅垂线所指的度数分别为，，那么我们就说观测目标的仰角为，俯角为，这种说法正确吗？请说明原因．
21．郑州东站(图1)是京广高速铁路和徐兰高速铁路的交汇站，也是以高速铁路为中心，集高速铁路、城际铁路、城市地铁、公路客运、城市公交、机场巴士、出租车等多种交通方式为一体的交通枢纽．某数学兴趣小组想要用无人机测量东站入口 的高度(垂直于水平地面)，测量方案如图2，先将无人机垂直上升至距水平地面高的点 P，在此处测得东站入口顶端A的俯角为 再将无人机沿水平方向向东站入口飞行到达点Q，此时测得东站入口底端B的俯角为 ，求东站入口 的高度．（直线l，点A，B，P，Q均在同一平面内．参考数据： ，，)
22．如图1，是H市人工天鹅湖畔的一尊雕塑A，雕塑A及另三个雕塑B、C、D的在湖岸边的平面分布如图2，某班综合实践小组分别在雕塑A、B两处设置观测点．在A处测得：雕塑B在西北方向，雕塑C在正北，雕塑D在北60°东；在B处测得：雕塑C在东北方向，雕塑D在正东．
（1）求证：AB=CB，AD=CD；
（2）已知AB=800米，求B、D之间的距离．（结果精确到1米）
（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.45）
23．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，CE⊥AB于E．
（1）若AB=AD+2BE，求证：BC=DC；
（2）若∠B=60°，AC=7，AD=6，，求AB的长．
参考答案：
1．A
【详解】试题分析：根据题意可得：△APC为等腰直角三角形，则AC=PC=40海里，根据Rt△BCP的性质可得：BC=403海里，则AB=AC+BC=(40+403)海里，故选A．
2．A
【详解】试题分析：根据题意得：tan∠A=，则BC=AC·tan∠A=10tanα.
考点：锐角三角函数的计算.
3．D
【分析】过A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC，那么ADEF平行四边形，所以BE=（BC-AD），而AE已知，所以坡度和坡角就可以解出．
【详解】解：如图，
过A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC．
∵ABCD为等腰梯形，
∴BE=（BC-AD）=2．
∴坡度==
∴坡角=∠B=60°
故选D．
【点睛】此题考查了学生对等腰梯形的性质，坡度坡角的计算等知识点的掌握情况．
4．B
【详解】设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为 所以解得
5．C
【详解】如图，
过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E,∵∠ADC=∠ABC=90°,∴四边形DPBE是矩形,∵∠CDE+∠CDP=90°,∠ADC=90°,∴∠ADP+∠CDP=90°,∴∠ADP=∠CDE,∵DP⊥AB,∴∠APD=90°,∴∠APD=∠E=90°,在△ADP和△CDE中,
,
∴△ADP≌△CDE（AAS）,∴DE=DP,四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18,∴矩形DPBE是正方形,∴DP=故答案为:.
6．D
【详解】试题分析：过点A作AD⊥BC于D，由题意得AB=300，∠ABD＝30°，∴AD =150（km），
温州市点A受到台风严重影响设风台中心距A点200km处，刚好处在BC上的E，F两点
则在Rt△ADE中，AE＝200，AD＝150 ∴DE=50km， ∴EF=2DE=100km，
则t=100÷10=10h，故选D．
7．A
【详解】试题分析：过点A作AD⊥BC，则CD=120m，BD=40m，则BC=CD+BD=160m．
考点：三角形函数的应用．
8．D
【分析】本题考查了仰角俯角解直角三角形的应用问题，掌握解直角三角形的知识是解题的关键．
利用的正切值可求得；利用的正切值可求得，有．
【详解】解：在中，有（），
在中，有 （），
∴ （）．
故选：D．
9．B
【分析】根据∠β=45°，得出BC＝CD＝x，再根据，用它的正切列方程即可．
【详解】解：∵，
∴BC＝CD＝x，
∵AB＝30，
∴AC＝x+30，
∴tan28°＝，
∴x＝（x+30）tan28°，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
10．B
【详解】试题分析：过点C作CE⊥BD，则∠DCE=30°，根据CD=6km可得：CE=33km，故AB=CE=33km，故选B．
11．A
【详解】试题分析：根据坡面距离和垂直距离，利用勾股定理求出水平距离，然后求出坡度．
解：水平距离==4，
则坡度为：2：4=1：2．
故选A．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
12．C
【详解】设CG=xm,由图可以知道:EF=(x+20) ·,FG=x·,
则(x+20) ·+30= x·,
计算出x=,
则FG= x·==m,
故选C.
13．米
【详解】试题分析：过O作OD⊥AB于D，∵，，∴∠α=∠AOB=30°，∴OB=AB=50，在△OBD中，BC=OB=25，OD=BC=．故答案为米．
考点：解直角三角形．
14．60-20.
【详解】试题解析：作CF⊥AB于F，
则四边形BDCF为矩形，
∴CF=BD，
∵∠ADB=45°，
∴BD=AB=60，
∴CF=BD=60，
在Rt△AFC中，tan∠ACF=，
AF=FC×tan∠ACF=60×=20，
∴BF=AB-AF=60-20，
则CD=BF=（60-20）米.
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
15．
【详解】试题分析：根据∠CDE=∠B，∠DCE=∠DCB可得△CDE∽△CBD，则，即CD²=BC·CE，要使BE达到最大值，即CE要最小值，CD为最小值，当CD⊥AB时，则CD最小，根据∠B的正切值和BC的长度求出CD的长度，然后进行计算.
考点：三角形相似的应用.
16．51m
【分析】由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．
【详解】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，
∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°，
∴∠ADB=∠A=30°，
∴BD=AB=60m，
∴CD=BD•sin60°=603051(m)．
故答案为：51m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是解答本题关键．
17．
【分析】根据三角形面积公式列式即可得答案.
【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴S△ABC=BC•AD=AB•CE，
即×4×5=×6•CE，
解得CE=．
【点睛】本题考查了三角形的面积，熟记面积公式并列出方程是解题的关键.
18．
【详解】试题分析：如图根据题意画出图形，延长DD′交AB于E，设AE=xm，在Rt△AD′E和Rt△AED中利用特殊角的三角函数值表示出各边长，tan30°得出方程，然后解方程即可解决问题．
试题解析：如图;根据题意可得：DD′=50m，CD=C′D′=1．6m，延长DD′交AB于E，则DE⊥AB；设AE=xm，在Rt△AD′E中，∠AD′E=45°，∴D′E=AE=xm；在Rt△AED中，∠ADE=30°，AE=x，DE=50+x，则tan30°=,∴，解得x=m，
∴AB=AE+BE=+1．6m
考点：解直角三角形的应用．
19．见解析
【详解】试题分析：利用分类讨论，当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：易得∠PAB=30°，利用锐角三角函数得AP的长；情况二：如图2，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论；当∠ABP=90°时，如图3易得BP，利用勾股定理可得AP的长；．
解：当∠APB=90°时，分两种情况．
情况一：如图1，
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，
∴AP=AB•sin60°=4×=2；
情况二：如图2，
∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=2，
当∠ABP=90°时，如图3，
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴BP=OB=2，
在直角三角形ABP中，
AP==2，
综上所述，AP的长为2或2或2．
考点：勾股定理；等腰三角形的性质；解直角三角形．
20．正确，理由见解析．
【分析】此题考查了仰角与俯角的定义，由为水平线，为铅垂线，则，从而可证，同理可证图中，能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
【详解】解：这种说法正确，理由如下：
如图，
∵为水平线，为铅垂线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵如图，，
∴，
∵，
∴，
综上可知，，就是观测目标P时的仰角和俯角．
21．东站入口的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．延长 交 的延长线于点 C，在中，可求得，所以，，在 中，根据，即可求得，由此即得答案．
【详解】延长 交 的延长线于点 C，
由题意，得，，，
在中，，
，
，
，
，
在 中， ，
，
．
答: 东站入口的高度约为．
22．（1）AB=CB，AD=CD；
（2）BD之间的距离为1544米．
【详解】试题分析：（1）由方向角的定义可知BD⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°，∠CAD=60°，根据等角对等边可证明AB=BC，然后依据等腰三角形三线合一的性质可证BD是AC的垂直平分线，从而得到CD=AD；
（2）在△AOB中依据特殊锐角三角函数值可求得OB和OA的长，然后在△OAD中依据特殊锐角三角函数值可得到OD的长，从而可求得BD的长．
试题解析：（1）设BD、AC交于点O．
∵由题意可知BD⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°，∠CAD=60°．
∴AB=BC．
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴AO=OC．
∴BD是AC的垂直平分线．
∴DC=DA．
（2）在Rt△AOB中，AB=800，∠BAO=45°，
∴BO=AO=800×=400．
在Rt△AOD中，AO=400，∠DAO=60°，
∴DO=400．
∴DB=BO+DO=400+400≈1544（米）．
∴BD之间的距离为1544米．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
23．(1)证明见解析；（2）8．
【详解】试题分析：：（1）在AB上取点F，使得EF=BE，然后根据已知条件可以推出△AFC≌△ADC，再根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）根据和AC=7，AD=6可以求出∠DAC的正弦值，而AC平分∠DAB，由此可以利用三角函数求出CE，再利用勾股定理即可求出AE、BE，最后求出AB．
试题解析：（1）证明：如图，在AB上取点F，使得EF=BE，
∵CE⊥AB，
∴FC=BC，
∵AB=AD+2BE，而AB=AF+2BE，
∴AD=AF．
在△AFC和△ADC中，
AD=AF，∠CAF=∠CAD，AC=AC，
∴△AFC≌△ADC．
∴DC=FC．
∴BC=DC．
（2）解：在△ADC中，∵S△ADC=×6×7sin∠DAC=，
∴sin∠DAC=，
而AC平分∠DAB．
∴．
∴CE=．
∴AE=．
∴BE=．
∴AB=AE+EB=8．
考点：1.解直角三角形；2.全等三角形的判定；3.勾股定理．
题目
测量树顶到地面的距离
测量目标示意图
相关数据
米，，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
B
C
D
A
D
B
B
题号
11
12








答案
A
C