初中数学北师大版（2024）九年级下册1 二次函数课堂检测

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册1 二次函数课堂检测，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列式子中，y是x的二次函数的是( )
A．y＝2x－ 1B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝3x2D．y＝
2．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（ ）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
3．下列函数中属于二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各式中，二次函数的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A．B． C．D．
7．下列函数中是二次函数的是( )
A．B．C．D．
8．下列函数一定是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
9．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列函数：，，，，其中以为自变量的二次函数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
11．是二次函数，则m的值为（ ）
A．0,-3B．0,3C．0D．-3
12．下列关于的函数是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．某数学兴趣小组研究二次函数的图像时发现:无论如何变化，该图像总经过一个定点，这个定点的坐标是 .
14．已知是关于的二次函数，那么的值为 ．
15．函数y=2x2中，自变量x的取值范围是 ，函数值y的取值范围是 ．
16．已知二次函数当时，函数有最大值，则二次函数的表达式为______．
17．矩形的长为2cm，宽为1cm，如果将其长与宽都增加x（cm），则面积增加y（cm2），写出y与x的关系式 ，y是x的 函数．
三、解答题
18．若函数是关于x的二次函数，求m的值．
19．作图并完成解答：
(1)在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成下列作图步骤：①连接AM，作线段M的垂直平分线，（要求尺规作图，保留作图痕迹）过M作x轴的垂线，记，的交点为P．②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来．
(2)对于曲线上的任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是，求y与x的函数关系式．
20．如图1，已知关于y轴对称的抛物线：与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线l：经过点B，与y轴负半轴交于点D．
(1)若，且，求a的值；
(2)如图2，若D为的内心且的内切圆半径为3，点P为线段的中点，求经过点P的反比例函数的解析式；
(3)如图3，点E是抛物线与直线l的另一个交点，已知，的面积为6，点E在反比例函数：上，若当（其中）时，二次函数的函数值的取值范围恰好是，求的值．
21．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
22．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为．
(1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式；
(2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值．
23．如图，已知正方形的边长为1，为边上的一个动点，作交于点．
(1)求证：．
(2)设，，求与之间的函数表达式．
24．如图，在中，，，，点D是上一点，且，过点D作，垂足为E，点F是边上的一个动点，连接，过点F作交线段于点G（不与点B、C重合）．
(1)求证：；
(2)设，，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围；
(3)连接，若与相似，直接写出的长度．
参考答案：
1．C
【分析】根据二次函数的概念直接进行排查选项即可．
【详解】A、y＝2x－ 1是一次函数不是二次函数，故不符合题意；
B、根据二次函数的定义可得当a=0时，y=ax2+bx+c则不是二次函数；故不符合题意；
C、y＝3x2根据二次函数的定义是二次函数，故符合题意；
D、是反比例函数，不满足二次函数的定义，故不符合题意；
故选择：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．C
【详解】A、v=，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，根据语句列出函数关系式，并能根据二次函数的定义进行判断是解题的关键.
3．B
【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，且，自变量最高次数为2．依此定义逐项判断即可．
【详解】解：A. 是一次函数，不合题意；
B. 是二次函数，符合题意；
C. 是一次函数，不合题意；
D. 不是整式函数，不合题意；
故选：B．
4．B
【分析】把代入计算即可．
【详解】解：由题意得：
把代入得：
等号两边同除以得：
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于的关系式是解决本题的关键．
5．B
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【详解】解：①，故不是二次函数；
②是二次函数；
③当时，，故不是二次函数；
④，不是二次函数；
⑤是二次函数，
则二次函数的个数有2个，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
6．D
【分析】利用二次函数定义进行解答即可．
【详解】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、不是二次函数，故此选项不合题意；
C、不是二次函数，故此选项不合题意；
D、是二次函数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
7．D
【分析】根据二次函数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；
B、右边不是整式，不符合题意；
C、，当时，不是二次函数，不符合题意；
D、是二次函数，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握形如（a、b、c是常数，）的函数是二次函数是解题的关键．
8．B
【分析】形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案.
【详解】解：，当时，函数不是二次函数，故A不符合题意；
是二次函数，故B符合题意；
不是二次函数，故C不符合题意；
是一次函数，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解本题的关键.
9．D
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：A、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
B、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
C、，分母含有未知数，不是二次函数，不符合题意；
D、，是二次函数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如，其中a、b、c是常数且的函数叫做二次函数．
10．B
【分析】根据二次函数的定义进行判断．
【详解】是以 为自变量的二次函数；
是以 为自变量的二次函数；
，当时，是以 为自变量的二次函数；
，含有分式，不是是以 为自变量的二次函数；；
故选：．
【点睛】此题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
11．D
【详解】试题解析：∵是关于x的二次函数，
∴m≠0，m2+3m+2=2，
解得：m=-3．
故选D.
12．D
【分析】形如（为常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意．
C、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；
D、该函数是二次函数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义和一般形式是解题关键．
13．(1,1)
【分析】根据题意，图象要过定点，那么只需要想办法去掉解析式中的m即可，故可令x=1，可得出答案.
【详解】解：令x=1，则y=1-m+m=1
∴图象一定过点(1,1)
故答案是：(1,1)
【点睛】本题主要考查二次函数过定点问题，正确分析是解题的关键.
14．
【分析】根据二次函数的定义：未知数的指数为2，系数不为0，列式计算即可．
【详解】解：∵为二次函数，
∴，
∴，故．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知二次函数解析式未知数系数不为0且指数为2是解题的关键．
15． 全体实数 y≥0.
【分析】先判断自变量x的取值范围，再判断函数值y的取值范围.
【详解】函数y=2x2中，
∵自变量x的取值范围是全体实数，且x2≥0，
∴函数值y的取值范围是y≥0.
故答案为全体实数，y≥0.
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从几个方面考虑：
①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
16．
【分析】把代入二次函数的解析式求得的值即可．
【详解】解：当时，函数有最大值，
，
解得：或，
有最大值，
，
，
二次函数的表达式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质等知识，解题的关键是根据题意求得的值后进行正确的取舍．
17． y=x2+3x 二次
【分析】根据增加的面积=新面积-原面积即可求解，根据结果的形式可以判断函数类型．
【详解】y=（2+x）（1+x）-2×1=x2+3x，是二次函数．
【点睛】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
18．
【分析】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数．
【详解】解：函数是关于x的二次函数，
∴，
解得．
19．(1)见解析；
(2)PA=PM，．
【分析】（1）根据题意，多取几个M点画出图形即可；
（2）连接AP，过点A作AN⊥PM，根据线段垂直平分线的性质得出AP=PM=y，再由勾股定理即可得出．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）；
∵P在AM的垂直平分线上
∴，
∵P点坐标为，轴
∴，
由勾股定理知：或
∴或
∴关系式：．
【点睛】此题考出来复杂作图，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
20．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）在中，令，可求得点A，B的坐标，根据勾股定理求出，再根据求出点C的坐标，再结合抛物线的解析式即可求得答案；
（2）根据勾股定理可求得和，D为的内心且的内切圆半径为3求得的面积的表达式，再根据三角形的底和高建立三角形面积的表达式，即可建立方程，解方程求出a的值得到点C的坐标，再根点P为线段的中点，求出P的坐标，再根据待定系数法即可求得答案；
（3）先运用待定系数法求得直线l解析式，再联立方程组求得点E坐标，利用的面积建立方程求a的值，通过点E坐标求得c的值，从而得到抛物线解析式，再结合二次函数增减性和最值进行分类讨论求得m，n的值即可得到答案．
【详解】（1）当时，，
解得，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴；
（2）解：由（1）知，，，
∴，
∵D为的内心且的内切圆半径为3，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴或，
∵点P为线段的中点，
∴或，
设经过点P的反比例函数的解析式为：，
将或分别代入，得：或，
∴经过点P的反比例函数的解析式为：或；
（3）解：由（1）知：，，
∴，
∴，
∵直线l：经过点B，与y轴负半轴交于点D，
∴，
解得：，
∴直线l解析式为：，
∵点E是抛物线与直线l的另一个交点，
∴，
解得：（舍去），，
∴点，
∴，
∵的面积为6，
∴，
解得：，
∴点，
∵点E在双曲线：上，
∴，
∵当（其中）时，二次函数的函数值的取值范围恰好是，
∴二次函数，当（其中）时，，且，
由，可知：抛物线对称轴为直线，顶点，
当时，y随x增大而增大，又时，时，，
∴或，
解得：或，或，
∵，
∴，（不符合题意）；
当时，则，解得，
若，则最小值在处取得，
即，解得：，（不符合题意，舍去）；
若，最小值在处取得，
即，
解得：，（舍去），
∴，，
综上所述，，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数与二次函数交点，三角形内心、外心，三角形面积，中点坐标，反比例函数等；是一道综合性较强的压轴题，解题时务必要认真审题，理清思路，能够将相关知识点结合起来；充分利用题目中的信息，运用方程思想，分类讨论思想是解题关键．
21．销售单价为35元时，才能在半月内获得最大利润.
【详解】本题考查了二次函数的应用.
设销售单价为x元，销售利润为y元．求得方程，根据最值公式求得．
解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得y=（x-20）[400-20（x-30）]=（x-20）（1000-20x）=-20x2+1400x-20000
当x==35时，才能在半月内获得最大利润
22．(1)
(2)不能
【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用；
（1）根据题意和图形可以求得关于的关系式；
（2）令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
即关于的关系式是；
（2）解：依题意，
即
∵，
原方程无实数解，
∴两个鸡场面积和不能等于（）
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用两锐角互余证明，结合，从而可得结论；
（2）利用，可得，再建立函数关系式即可．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，，
．
（2）正方形的边长为1，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，列二次函数关系式，熟练的证明是解本题的关键．
24．(1)见解析；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）根据垂直的定义及同角的余角相等得出，即可证明；
（2）利用勾股定理求出，根据，，得出，即可证明，根据相似三角形的性质得出，，根据，利用相似三角形的性质求解，即可解题；
（3）根据与相似，分以下两种情况：当时，过点F作于H，当时，结合全等三角形性质和判定，矩形的判定与性质，以及相似三角形性质和判定求解，即可解题．
【详解】（1）证明：在中，，点D是上一点，过点D作，垂足为E，
，，，
，
；
（2）解：在中，点D是上一点，且，点F是边上的一个动点，交线段于点G（不与点B、C重合），
，
，
，，，
，
，，
，
，
，即，
解得：，，
，，
，，
，
，即，
整理得：，
，，
，
；
（3）解：如图1，当时，过点F作于H，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
由（2）可知：，
，
解得：，
，
．
如图，当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
．
综上所述：的长为或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及勾股定理，平行线性质和判定，以及求函数解析式，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
B
B
D
D
B
D
B
题号
11
12








答案
D
D