北师大版（2024）九年级上册3 用公式法求解一元二次方程一课一练

这是一份北师大版（2024）九年级上册3 用公式法求解一元二次方程一课一练，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．关于的方程有两个不相等的实数根，则满足（ ）
A．B．
C．D．
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根
4．方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
5．已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
6．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
8．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．设a、b、c是一个三角形三边的长，如果关于x的方程有两个相等的实数根，则该三角形的形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．不确定
10．方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
11．一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
12．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
二、填空题
13．实数范围内因式分解： ．
14．有下列命题：①若，则；②若，则；③一元二次方程，若，则方程必定有实数解；④若，则，其中是假命题的是 ．
15．方程的解是 ．
16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
17．如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ．
三、解答题
18．（1）计算：．
（2）解方程：
19．（1）解方程：x（x﹣2）＝2x﹣2．
（2）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点均在格点上，将ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到A1B1C1．请作出A1B1C1，写出各顶点的坐标，并计算线段B1B的长．
20．某商店如果将进价为20元的商品按每件32元售出，每天可销售100件，现在采取降低售价，增加销售量的方法增加利润，已知这种商品每降价1元，其销量增加10件．
(1)要使每天获得720元的利润，请你帮忙确定售价：
(2)该商店能否通过降价销售的方式保证每天获得1500元的利润？并说明理由．
21．如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的途度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离．，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离．

(1)如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
(2)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
(3)假设轮船航行速度和航向不变，轮船受到台风影响一共经历了多少小时？
22．求证：对于任意实数，关于的方程总有两个不相等的实数根．
23．已知关于x的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为2，试求的值．
24．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）若方程有一个根是2，求m的值；
（2）求证：不论m为何值，方程总有实数根．
参考答案：
1．D
【分析】由方程两个不同的实数根可以得出△＞0，列出不等式，求出其解集即可．
【详解】∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：.
故选D.
【点睛】考查了根的判别式的运用，一元一次不等式的运用，一元二次方程的定义．在解答中正确理解一元二次方程得意义是关键．
2．B
【详解】解：△=1﹣4×1×（﹣4）=17＞0，
所以方程有两个不相等的两个实数根．
故选：B．
考点：根的判别式．
3．A
【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解．
【详解】解：
一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
4．D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，可以判断该方程根的情况，从而可以解答本题．
【详解】解：∵
∴
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．
5．A
【分析】由数轴可知：，，然后计算根的判别式的值即可得出答案．
【详解】由数轴可知：，；
∴；
∴有两个不相等的实数根
故选：A
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法、某点在数轴上的位置确定其正负是解题的关键，属于基础知识题．
6．A
【分析】分别计算出四个选项中一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号即可作出判断．
【详解】A．∵△=4﹣4=0，∴方程有两个相等实数根；
B．∵△=1﹣4×2＜0，∴方程无实数根；
C．∵△=4+4×4×3=52＞0，∴方程有两个不相等实数根；
D．∵△=36＞0，∴方程有两个不相等实数根；
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
7．D
【分析】题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得：且．
故选：D．
8．D
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
【详解】根据题意可知，即
解得：．
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的意义是解题关键．
9．C
【分析】由一元二次方程根的判别式，求出，即可进行判断．
【详解】解：∵有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴该三角形的形状为直角三角形；
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式进行计算．
10．D
【分析】利用判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，能够熟练运用判别式的值求根的个数是解题关键．
11．C
【分析】直接利用根的判别式进而判断，即可得出答案.
【详解】∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，
∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴此方程没有实数根.
故选C.
【点睛】此题主要考查了根的判别式，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△