初中数学苏科版（2024）九年级上册2.4 圆周角同步训练题

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级上册2.4 圆周角同步训练题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，AB为⊙O直径，按如下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径做圆弧交⊙O于点C，D；②连接AC，AD，BC，BD．则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB⊥CDB．BC=BDC．∠CBD=2∠ACDD．BC=CD
2．如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是（ ）

A．B．C．D．
3．如图，在中，所对的圆周角∠ACB＝50°，D为上的点．若∠AOD＝35°，则∠BOD的大小为（ ）
A．35°B．50°C．55°D．65°
4．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，∠C＝28°，则∠ADB等于（ ）
A．28°B．52°C．56°D．62°
5．如图，已知四边形是的内接四边形，且，，，下列命题错误的是（ ）
A．B．
C．D．图中全等的三角形共有2对
6．如图，在中，点在上．若，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
7．如图，四边形是圆内接四边形，E是延长线上一点，若，则的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．110°
8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2，则CD的长为（ ）
A．1B．3C．2D．4
9．如图，内接于⊙，， ，则⊙半径为（ ）
A．4B．6C．8D．12
10．的半径为2，是它的一条弦，，则弦所对的圆周角为（ ）
A．B．C．或D．
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC=110°，则∠ABD的度数是（ ）
A．35°B．46°C．55°D．70°
12．如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（ ）
A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BAC
C．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD=180°
二、填空题
13．如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦， ，则的度数是 ．
14．如图，AB为⊙O的直径，C为圆上（除A、B外）一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于D，若AC=8，BC=6，则BD的长为 .
15．如图，是的直径，，则 度．
16．如图，点A、B、C、D、E在上，且为，则 ．

17．如图，点都在圆上，顺次连接，若，则 度．
三、解答题
18．如图，是的弦，半径，垂足为．，，求的半径．
19．一张圆形纸片如图，请你至少设计出两种方法找出它的圆心（不必写作法，但要有作图痕迹）．
20．【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究．
【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大．
【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？
请思考后完成填空：
设点是上任意一个异于C的点，
是的外角，
______（填“、或”），
又
______，
．
眼睛位于点C处时，最大．
【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？
21．如图，在中，弦，的延长线交于点P，且，C是弧的中点，求证：是的直径．
22．如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到点A时，同伴乙已经冲到点B，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？（仅从射门角度大小考虑）
23．定义：中，，则称为倍余三角形．

(1)下列说法正确的是 ．
①倍余三角形一定是钝角三角形；
②等腰三角形不可能是倍余三角形．
(2)如图1，内接于，点在直径上(不与，重合)，满足，求证：为倍余三角形；
(3)在（2）的条件下，
①如图1，连接，若也为倍余三角形，求的度数；
②如图2，过点作交于点，若面积为面积的倍，求的值．
24．如图，中，以AB为直径作，交BC边于点D．交CA的延长线于点E，连接AD，DE．
(1)求证：；
(2)若，求DE的长．
参考答案：
1．D
【分析】AB为⊙O直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，以点A为圆心，适当的长为半径做圆弧交⊙O于点C，D，可得，可推AC=AD，∠ABC=∠ABD，可求∠CAB=∠DAB，可证AB⊥CD，可判断A正确；由AB是CD的垂直平分线，可得BC=BD，可判断B正确；由，可得∠ACD=∠ABD=∠ABC，可推∠CBD=2∠ABD=2∠ACD，可判断C正确；当∠CBD=60°时，BC=CD，除此之外，BC和CD不相等，可判断D不一定成立即可；
【详解】解：A、∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵以点A为圆心，适当的长为半径做圆弧交⊙O于点C，D，
∴，
∴AC=AD，∠ABC=∠ABD，
∴∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-∠ADB-∠ABD=∠DAB，
∴AB⊥CD，
故A正确；
B、∵AB是CD的垂直平分线，
∴BC=BD，
故B正确；
C、∵，
∴∠ACD=∠ABD=∠ABC，
∴∠CBD=2∠ABD=2∠ACD，
故C正确；
D、当∠CBD=60°时，BC=CD，除此之外，BC和CD不相等，
故D不一定成立；
故选择：D．
【点睛】本题考查直径所对圆周角性质，弧等弦等圆周角等关系，等腰三角形三线合一性质，线段垂直平分线性质，掌握直径所对圆周角性质，弧等弦等圆周角等关系，等腰三角形三线合一性质，线段垂直平分线性质知识是解题关键．
2．A
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由根据圆内接四边形的性质得，求出，然后由圆周角定理即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
【详解】解：∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
3．D
【分析】在同圆中，由同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半解答．
【详解】解：∠ACB＝50°，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角与圆心角的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4．D
【分析】连接AB，根据同弧所对的圆周角相等，得∠C=∠B，再根据直径所对的圆周角是直角得∠BAD=90°，即可求解．
【详解】解：连接AB，则∠C=∠B，
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
∴∠ADB=90°-28°=62°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，及在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等定理．
5．D
【分析】根据等弧对等角、证，利用全等的性质得到,,结合已知利用勾股定理逆定理证，然后利用等腰三角形和三角形面积公式进行分析即可．
【详解】解：四边形是的内接四边形
即
且，，
故A正确，不符合题意；
,,
在中，
故B正确，不符合题意；
故C正确，不符合题意；
图中全等三角形有：
，，，
共有3对
故D错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题综合运用了圆周角定理的推论、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质及三角形面积公式，熟练掌握相关的判定定理及性质是解题关键.
6．A
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，得，即可求出的角度．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半．
7．D
【分析】由 ，便可计算的大小了．
【详解】解：四边形是圆内接四边形



故选D
【点睛】本题考查圆内接四边形对角互补的性质，证明是关键．
8．C
【分析】由垂径定理得出AC=BC=4，连接BE，由∠CBE=90°及CE长度求出BE=6，在Rt△ABE中求出AE=10，从而得出半径OA=OD=5，再在Rt△AOC中求出OC，从而得出答案．
【详解】∵OD⊥AB，AB=8，
∴AC=BC=4，
如图，连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∵CE=2，
∴BE=，
则AE=，
∴AO=OD=5，
在Rt△AOC中，OC=，
则CD=OD﹣OC=2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及圆周角定理的推论．
9．C
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB＝OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．
【详解】解：连接OB，OC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°．
∵OB＝OC，BC＝8，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝8．
故选C.
【点睛】本题考查的是圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
10．C
【分析】本题考查的是圆周角定理、垂径定理以及圆内接四边形的性质，连接，，过点O作的垂线，通过解直角三角形，易得出的度数，由于弦所对的弧有两段：一段是优弧，一段是劣弧，所以弦所对的圆周角也有两个，因此分类求解．
【详解】解：如图，连接，，过点O作于点C，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴弦所对的圆周角有两个，为或．
故选：C．
11．C
【分析】连接BC，结合圆周角定理和垂径定理综合分析即可判断．
【详解】连接BC，
∵∠AOC=110°，
∴根据圆周角定理得：∠ABC=∠AOC═55°．
∵CD⊥AB，
∴根据垂径定理得：，
∴∠ABD=∠ABC=55°，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理以及垂径定理，熟练掌握基本定理并灵活运用是解题关键．
12．C
【分析】以点O为圆心，OA长为半径作圆．再根据圆周角定理及其推论逐项判断即可．
【详解】如图，以点O为圆心，OA长为半径作圆．由题意可知：
OA=OB=OC=OD．即点A、B、C、D都在圆O上．
A ．由图可知AB为经过圆心O的直径，根据圆周角定理推论可知．故A不符合题意．
B．，所以根据圆周角定理可知．故B不符合题意．
C．当时，，所以此时AC不平分．故C符合题意．
D．根据圆周角定理推论可知，．故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键．
13．/32度
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，求出的度数，再根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，掌握直径所对的圆周角等于90°是解题的关键．
14．．
【分析】根据圆周角定理,由AB为⊙O直径得到∠ACB=90°,则可根据勾股定理计算出AB=10,接着根据圆周角定理得到∠ABD=∠ACD=45°, ∠BAD=∠BCD=45°,于是可判断△ADB为等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质求AD.
【详解】解: ∵ AB为⊙O直径,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ACB中, ∵AC=8，BC=6，
∴AB= ,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠ABD=∠ACD=45°, ∠BAD=∠BCD=45°,
∴△ADB为等腰直角三角形,
∴AD= .
故答案为：.
【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质.
15．76
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ADB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ABD的度数，继而求得∠BAD的度数．
【详解】解：连结BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠C＝14°，
∴∠ABD＝∠C＝14°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝76°．
故答案为76°．
【点睛】本题考查了圆周角性质与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
16．/155度
【分析】连接，根据圆内接四边形的对角互补解题即可．
【详解】解：连接，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵的度数为，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
17．60
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质．
根据圆内接四边形的性质可求．
【详解】解：∵四边形据圆内接四边形，，
，
故答案为：60．
18．
【分析】连接，在优弧上取一点，连接，如图所示，根据圆内接四边形性质及圆周角定理得到，再由垂径定理、含的直角三角形性质及勾股定理得到的半径．
【详解】解：连接，在优弧上取一点，连接，如图所示：
四边形是圆的内接四边形，
，
，
，
，
是的弦，半径，垂足为，，
由垂径定理可知，，，
在中，，设，则，由勾股定理可知，解得，
的半径为．
【点睛】本题考查求圆的半径，涉及圆内接四边形性质、圆周角定理、垂径定理、含的直角三角形性质和勾股定理，熟练掌握圆的性质及定理是解决问题的关键．
19．见解析
【分析】方法一：作两个顶点在圆上的直角，连接两个直角与圆的交点，两条连线的交点即是所求的圆心.
方法二：作弦AB，BC，再作出线段AB，BC的垂直平分线相交于点O，则O点即为所求．
【详解】方法一：利用直角作出圆的两条直角AB，CD，AB与CD的交点O即为圆心．
方法二：在圆上取A，B，C三点，作线段AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为圆心．
【点睛】本题考查的是作图-应用与设计作图，熟知垂径定理和圆周角定理是解答此题的关键．90°的圆周角所对的弦是直径；弦的垂直平分线经过圆心.
20．米勒定理∶，；问题解决∶ 围栏放在距离墙壁米位置最合适
【分析】米勒定理∶由得，由圆的基本性质得，即可求证；
问题解决∶过作交于，由矩形的判定方法得 四边形是矩形，由矩形的性质得，，由线段和差可求，，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解．
【详解】米勒定理
请思考后完成填空：
设点是上任意一个异于C的点，
是的外角，
，
（填“、或”），
又，
，
，
眼睛位于点C处时，最大，
故答案：，；
问题解决∶
解：如图，过作交于，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
故围栏放在距离墙壁米位置最合适．
【点睛】本题考查了矩形的判定及性质，圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，掌握性质，理解米勒定理及题意中线段的实际意义，构建直角三角形用勾股定理求解是解题的关键．
21．见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，直径所对的角是直角，熟练掌握性质定理是解题的关键．连接，根据题意证明，即可证明即可得到答案．
【详解】证明：连接，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故是的直径．
22．甲将球传给乙，让乙射门好
【分析】设AQ交⊙O于点M，连接PM，则∠B＝∠PMQ，因为∠PMQ是△PAM的一个外角，由外角性质得∠PMQ＞∠A，所以∠B＞∠A，即可分析求得答案．
【详解】解：甲将球传给乙，让乙射门好，理由如下：
如图所示，设AQ交⊙O于点M，连接PM，
则∠B＝∠PMQ，因为∠PMQ是△PAM的一个外角，
由外角性质得∠PMQ＞∠A，所以∠B＞∠A，
所以仅从射门角度考虑，甲将球传给乙，让乙射门好．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，添加辅助线转化为是解题的关键．
23．(1)①
(2)见解析
(3)①或；②或
【分析】（1）由倍余三角形的定义及等腰三角形的性质可得出答案；
（2）由圆周角定理的推论得出，由等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质可得出答案；
（3）①若为钝角，设，则，，得出，即，求出；若为钝角，设，则，，即，求出．，则可得出答案；
②如图，作，不妨设，，根据等面积法列出分式方程，解方程求出的值则可得出答案．
【详解】（1）解：①为倍余三角形，
，
，
，
倍余三角形一定是钝角三角形，故①正确，
②等腰三角形可能是倍余三角形．如，是倍余三角形．故②错误，
故答案为①；
（2）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
为倍余三角形；
（3）①如图1，
为钝角，
，和不可能为90°，
当时，即，
又，
，
设，则，，
，
即，
，
即，
如图，为钝角，
，和不可能为90°，
当时，即，
，
，
设，则，，
即，
，
即，
综合以上可得为或；
②如图3，作，不妨设，，若的面积为面积的倍，
，
，
解得，，经检验都是原方程的解；
当时，，，
，
当时，，，
．
综合以上得出的值为或．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，新定义倍余三角形的理解与运用，熟练掌握与三角形有关的性质定理是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)8
【分析】（1）利用直径所对的圆周角为90°及等腰三角形的三线合一的性质证明即可；
（2）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到，根据对边对等角得出，则，进而得到，即可根据勾股定理求解．
【详解】（1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
在中，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟记同圆中同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
D
D
A
D
C
C
C
题号
11
12








答案
C
C