初中北师大版（2024）第三章 圆2 圆的对称性习题

这是一份初中北师大版（2024）第三章 圆2 圆的对称性习题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图所示，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．O到的距离相等
2．如图A、、是上的三点，是劣弧的中点，，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
3．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（ ）
A．1B．C．D．
4．如图，，，是的三等分点，分别交，于点，，则下列结论正确的个数有( )
①; ②;
③; ④.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧，所对的弦相等
B．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
C．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
D．菱形的对角线互相平分且相等
6．下列说法中正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等B．相等的弧所对的圆心角相等
C．相等的弦所对的弦心距相等D．弦心距相等，则弦相等
7．已知：如图，弦AB的垂直平分线交⊙O于点C、D，则下列说法中不正确的是 （ ）
A．弦CD一定是⊙O的直径
B．点O到AC、BC的距离相等
C．∠A与∠ABD互余
D．∠A与∠CBD互补
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧B．优弧一定大于劣弧
C．任意三角形都一定有外接圆D．不同的圆中不可能有相等的弦
9．如图，BC为⊙O直径，交弦AD于点E，若B点为弧AD中点，则说法错误的是（ ）
A．AD⊥BCB．弧AC=弧CDC．AE＝DED．OE＝BE
10．如图，半径为5的⊙P与y轴相交于点M（0，﹣4）和N（0，﹣10）．则P点坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣7）B．（﹣3，﹣7）C．（﹣4，﹣5）D．（﹣3，﹣5）
11．如图，AB是⊙O的直径，，，则＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．以上都不正确
12．已知：不在同一直线上的三点，，，求作：，使它经过点，，，作法：如图．
（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线；
（2）连接，作线段的垂直平分线，与直线交于点；
（3）以为圆心，长度为半径作，则即为所求．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论正确的是（ ）
A．连接，则点是的内心
B．若与直线，分别交于点，，则
C．连接，，则接，不是的半径
D．连接，则点在线段的垂直平分线上
二、填空题
13．如图，正内接于，的半径为10，则的弧长为 ．
14．如图，是半圆的直径，是的中点，是的中点，于点E，于点．在下列结论中：①；②；③；④．正确的有 ．

15．如图，在边长为6的等边ΔABC中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为 ．
16．如图，AB是⊙O的直径，D.C是弧BE的三等分点，∠COD=32°，则∠E的度数是 ．
17．如图，是四边形的外接圆，平分，则正确结论的序号是 ．
①；②；③；④；⑤．
三、解答题
18．计算：是某几何体的平面展开图，求图中小圆的半径．
19．如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙P经过A，B，C三个格点，点D是⊙P与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）在图1中，画圆心P，并画出弧的中点Q；
（2）在图2中，①在格线上画出点E，使最小；
②在下方的半圆上，画弦，使．
20．已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD．
21．如图，是的三等分点，连结分别交于点．

(1)求出的度数；
(2)求证：．
参考答案：
1．B
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，即可进行判断．
【详解】解：A、∵，∴，故A成立，不符合题意；
B、当时，，故B不成立，符合题意；
C、∵，∴，故C成立，不符合题意；
D、在和中，
，
∴，
∴O到的距离相等，
故D成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
2．C
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质等知识，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
∵点B是劣弧的中点，
，
，
，
故选：C．
3．A
【分析】由弦AC=BD，可得，，继而可得，然后由圆周角定理，证得∠ABD=∠BAC，即可判定AE=BE；连接OA，OD，由AE=BE，AC⊥BD，可求得∠ABD=45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得AD=R，可解答．
【详解】解：∵弦AC=BD，
∴，
∴，
∴∠ABD=∠BAC，
∴AE=BE；
连接OA，OD，
∵AC⊥BD，AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE=45°，
∴∠AOD=2∠ABE=90°，
∵OA=OD，
∴AD=R，
∵AD=，
∴R=1，
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质与判定等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
4．C
【分析】连结AC、BD，根据已知条件易证∠AEC=∠OCA=75°，即可得AE=AC，同理可得BF=BD，所以AE=BF=CD，由此即可判定，①②③正确，④错误．
【详解】解：连结AC、BD，
∵，是的三等分点，
∴，
∴AC=CD=DB，且∠AOC=×90°=30°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=75°，
∵，OA=OB，
∴∠OAB=45°，
又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，
∴∠AEC=∠OCA=75°，
∴AE=AC，
同理可证BF=BD，
∴AE=BF=CD.
由此可得，①②③正确．
故选C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系及等腰三角形的判定，证明AE=BF=CD是解题的关键．
5．C
【分析】判断一个命题的真假，需要分析题设能否推出结论．
【详解】解：A、相等的圆心角所对的弧，所对的弦相等的前提条件是在同一个圆或者半径相等的圆中，故A选项不正确；
B、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故B选项不正确；
C、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，这是线段垂直平分线的性质，故C选项正确；
D、菱形的对角线互相平分但不一定相等，例如一个角为60°的菱形的对角线就不相等，故D选项不正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假的关键在于对学过的性质定理的掌握程度．
6．B
【分析】根据圆心角、弧、弦及弦心距之间的关系进行判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此说法错误，不符合题意；
B、相等的弧所对的圆心角相等，故此说法正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等，故此说法错误，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，弦心距相等，则弦相等，故此说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距之间的关系是解题的关键．
7．D
【详解】试题分析：垂直平分，根据垂径定理可得弦一定是的直径，A项正确，，由此可得点到的距离相等，B项正确，根据圆周角定理可得，
，C项正确，，故选D．
考点：1、垂径定理；2、圆周角定理．
8．C
【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据劣弧和优弧的定义对B进行判断；根据确定圆的条件对C进行判断；根据弦的定义对D进行判断．
【详解】A、长度相等的两条弧不一定是等弧，所以A选项错误；
B、在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，所以B选项错误；
C、任意三角形都一定有外接圆，所以C选项正确；
D、不同的圆中有相等的弦，所以D选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）
9．D
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】∵BC为⊙O直径，交弦AD于点E，B点为中点
∴AD⊥BC，故A选项正确；
∵BC为⊙O直径，B点为中点，
∴＝，AE＝DE，故B、C选项正确，D选项错误．
故选D．
【点睛】本题考查的是垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
10．A
【分析】作PH⊥y轴于H点，连结PM，根据垂径定理得MH=NH，再由M、N点坐标得到MN=6，则MH=3，OH=7，然后根据勾股定理计算出PH，再根据第三象限内点的坐标特征写出P点坐标．
【详解】作PH⊥y轴于H点，连结PM，如图，
则MH=NH，
∵M(0,−4),N(0,−10)，
∴MN=6，
∴MH=3，OH=3+4=7，
在Rt△PMH中，PM=5，
∴PH==4，
∴P点坐标为（﹣4，﹣7）
故选A
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的知识，解题的关键是数形结合思想的应用
11．C
【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，掌握同弧（等弧）所对的圆心角相等是解题的关键．
12．D
【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，圆的外心，线段垂直平分线的性质与判定，根据内心与外心的定义即可判断；根据垂径定理即可判断；根据半径的定义即可判断；根据线段垂直平分线的性质与判定定理即可判断，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，，
、由作图方法可知点是三条线段垂直平分线的交点，
∴点是外心，不一定是内心，故说法错误，不符合题意；
、∵，，
∴，，
∵不一定成立，
∴不一定成立，
∴不一定成立，故说法错误，不符合题意；
、由题意可得，是的半径，故说法错误，不符合题意；
、∵，（线段垂直平分线的性质），
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，故说法正确，符合题意；
故选：．
13．/
【分析】同圆或等圆中，两弦相等，所对的优弧或劣弧也对应相等，据此求解即可．
【详解】∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴的长等于周长的三分之一，
∵的半径为10，
∴的周长，
∴的长等于，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆中弧与弦之间的关系，熟练掌握相关概念是解题关键．
14．①②③
【分析】连接、、，证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，解直角三角形，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：连接、、，
，
是的中点，是的中点，于点E，于点，
垂直平分，垂直平分，
，，
，
，，
都是等边三角形，
，
，
，
，故①正确，
于点E，于点，
，
，，，
，故②正确，
，
，故③正确，
，故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
15．．
【分析】首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧．连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值．
【详解】如图所示，∵边长为6的等边ΔABC，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧
此时
连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值
∵，，
∴
∴，
∴
又∵
∴，
∴
即
故答案为：
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强．
16．
【分析】先运用等弧对等角得出，再利用三角形外角性质即可求解．
【详解】解：由、是的两个等分点，知，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．
17．②⑤
【分析】根据角平分线的定义可知∠BAC=∠DAC，根据等角对等弧，等弧对的弦相等进行判断即可．
【详解】①∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，.AB与AD不一定相等，故本结论错误；
②AC平分∠BAD，∠BAC=∠DAC，BC=CD，故本结论正确；
③∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，与不一定相等，故本结论错误；
④∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本结论错误；
⑤AC平分∠BAD，∠BAC=∠DAC，，故本结论正确.
故答案为②⑤.
【点睛】本题考查了角平分线的定义，同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧对的弦相等，掌握以上知识是解题的关键．
18．r=
【详解】试题分析：根据圆锥的展开图的圆心角=×360°进行求解.
试题解析：根据题意得：=8，120°=×360°，解得：r=.
考点：圆锥的底面半径、母线与展开图的圆心角之间的关系.
19．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析
【分析】（1）如图，由为直径，利用小矩形的对角线相等且互相平分，确定AB的中点即可；先确定弦的中点，再过弦的中点作半径PQ即可；
（2）①确定D关于AB的对称点，再连接C，与AB的交点即为点E；②利用网格图的特点确定使的格点 与圆的交点即为点F.
【详解】解：（1）如图，P ，Q就是所求作的点，
（2）如图，①即为所求作的点，
②如图，弦即为所求作的弦，
【点睛】本题考查的是矩形的性质，垂径定理及其推论，圆的对称性，圆心角，弧，弦之间的关系，掌握圆的基本性质是解本题的关键.
20．见解析
【分析】根据∠ABD=∠CDB，可知，则有，由此可得，进而可证AB=CD．
【详解】证明：∵∠ABD=∠CDB，
∴，
∴，
∴，
∴AB=CD．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，即在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，能够熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解决本题的关键．
21．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是：
（1）连接，，根据圆心角、弧、弦的关系求出，得到，即可求解；
（2）根据三角形内角和求出，得到，同理得到，根据得到，继而可得结果．
【详解】（1）解：证明：连接，，如图，

∵在中，半径，C、D为以O为圆心的弧的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，同理，
∵C，D是的三等分点，
∴，
∴．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
C
B
D
C
D
A
题号
11
12








答案
C
D