北师大版（2024）九年级下册第三章 圆3 垂径定理同步测试题

这是一份北师大版（2024）九年级下册第三章 圆3 垂径定理同步测试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线过点、、，平行于x轴的直线交抛物线于点、D，以为直径的圆交直线于点、，则的值是（ ）
A．2B．4C．5D．6
2．下列命题正确的是( )
A．等弧所对的圆心角相等B．平分弦的直径平分弦所对的弧
C．三点确定一个圆D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
3．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A．9cmB．6cmC．3cmD．cm
4．如图，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝．当EO＝BE且∠OEC＝45°时，弦BC的长为（ ）
A．2B．4C．D．
5．如图，在半径为10的中，，是互相垂直的两条弦，垂足为点，且，则的长为（ ）
A．11B．12C．13D．14
6．已知P为内一点，，如果的半径是2，那么过P点的最短弦长是（
A．1B．2C．D．
7．在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．如图是一个隧道的截面图，为的一部分，路面米，净高米，则此圆半径长为（ ）
A．5米B．7米C．米D．米
9．如图是美妆小镇某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在上），其中；已知的半径为2.5cm，，，，则香水瓶的高度是( )
A．B．C．D．
10．如图，底面半径为5dm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（ ）
A．2dmB．3dmC．2dm或8dmD．2dm或3dm
11．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，PQ若MP+NQ=12，AC+BC=18，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．
12．在平面直角坐标系中，圆心在坐标原点、半径为4的圆被直线所截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，在中，弦的长为，圆心到弦的距离为6，则的度数为 ．
14．如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的轴对称图形，叫做两心尖拱．如图2，已知P，Q分别是和所在圆的圆心，且均在AB上，若PQ＝2m，AB＝6m，则拱高CD的长为 m．
15．如图，AB为⊙O的弦，C为弦AB上一点，设AC＝m，BC＝n(m＞n)，将弦AB绕圆心O旋转一周，若线段BC扫过的面积为(m2﹣n2)π，则＝
16．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在上．请写出经过A、B且以点P为顶点的抛物线解析式 ．
17．如图，已知：AB是⊙O的弦，AB的垂直平分线交⊙O于C、D，交AB于E，AB=6，DE：CE=1：3的直径长为 ．
三、解答题
18．如图，是的弦，点D是的中点，连接并反向延长交干点C．若，求的半径．
19．如图，有一座石拱桥的桥拱是以为圆心，为半径的一段圆弧．
请你确定弧AB的中点；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
如果已知石拱桥的桥拱的跨度（即弧所对的弦长）为米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为米，求桥拱所在圆的半径．
20．问题情境：如图(1)，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图(2)，筒车涉水宽度，筒车涉水深度(劣弧中点到水面的距离)是．筒车开始工作时，上C处的某盛水筒到水面的距离是，经过后该盛水筒旋转到点D处．
问题解决：
(1)求该筒车半径r的大小；
(2)当盛水筒旋转至D处时，求它到水面的距离．
21．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米．
(1)求桥拱的半径；
(2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？
22．如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面的宽度为8米，拱高（的中点C到水面的距离）为2米．
(1)求主桥拱所在圆的半径．
(2)在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为，检测仪观测点的仰角为，求此时水面的宽度．（参考数据：，，）
23．如图，中，、分别是、上的点．
①平分，②，，③．
以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：
①②③，①③②，②③①．
试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
请证明你认为正确的命题．
24．如图所示，在中，为直径，为圆上一点，点为中点，于，求证：.
参考答案：
1．B
【分析】根据题意，为直径的中点，连接，过点作于，则，，分别求出、即可．
【详解】由题意可得：、，
∴抛物线对称轴为，
∵，
∴，
如图，为直径的中点，
连接，过点作于，则，，
则，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，勾股定理等，解决本题的关键是正确分析各点的坐标，然后根据两点的坐标进行计算．
2．A
【分析】本题考查命题与定理知识，圆心角，弦，弧的关系，垂径定理，圆的定义．根据题意及圆周角定理，弧，弦，圆心角的关系定理，圆的确定条件等对选项逐个进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角和圆周角相等，故A选项正确；
∵平分弦（不是直径）的直径平分线弦，并且平分弦所对的两条弧，故B选项不正确；
∵不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故C选项不正确；
∵再同圆或等圆中，相等的弦所对的弧可以为优弧也可为劣弧，故D选项中说相等所以不对，
故选：A．
3．C
【分析】先根据垂径定理求出OA、AM的长，再利用勾股定理求OM．
【详解】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，
如图所示．直径ED⊥AB于点M，
则ED=10cm，AB=8cm，
由垂径定理知：点M为AB中点，
∴AM=4cm，
∵半径OA=5cm，
∴OM2=OA2-AM2=25-16=9，
∴OM=3cm．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，连接半径是解答此题的关键．
4．B
【分析】作OH⊥BC于H，连接OB，可知△OEH是等腰直角三角形，设EH＝OH＝a，则OE＝，BE＝a，利用勾股定理得OB＝，从而解决问题．
【详解】解：作OH⊥BC于H，连接OB，
∵∠OEC＝45°，∠OHE＝90°，
∴∠OEC＝∠EOH＝45°，
∴EH＝OH，
设EH＝OH＝a，则OE＝，
∵EO＝BE，
∴BE＝a，
∴BH＝2a，
由勾股定理得，OB＝＝OA=，
∴a＝1，
∴BH＝2，
∵OH⊥BC，
∴BC＝2BH＝4，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，判断出BH=2OH是解题的关键．
5．D
【分析】作于，于，连接，，首先利用垂径定理、勾股定理求得的长，然后判定四边形是正方形，求得，即可求得．
【详解】解：作于，于，连接，，
，
，
由垂径定理、勾股定理得：，
，是互相垂直的两条弦，
，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
6．D
【分析】根据勾股定理和垂径定理即可求得．
【详解】解：在过点P的所有的弦中，最短的弦为垂直于的弦，即，连接，
在中，．
根据勾股定理可得：，
根据垂径定理可得：．
故选：D
【点睛】本题考查了综合运用垂径定理和勾股定理进行计算，此题关键是能够正确分析出最短的弦．
7．A
【详解】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图．∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4．在Rt△AOC中，OA=5，∴OC=，即圆心O到AB的距离为3．故选A．
8．D
【分析】根据垂径定理和勾股定理可得．
【详解】解：∵CD⊥AB，AB＝10米，
由垂径定理得AD＝5米，
设圆的半径为r，
由勾股定理得OD2＋AD2＝OA2，
即（7−r）2＋52＝r2，
解得r＝米．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理．特别注意此类题经常是构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算．
9．B
【分析】作于，延长交于，连接、．根据垂径定理求出、，解直角三角形求出，，根据即可解决问题．
【详解】解：如图，作于，延长交于，连接、．
，
，
，，
；，
．
即香水瓶的高度为，
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．C
【分析】如图，利用勾股定理以及垂径定理，分两种情形分别计算即可．
【详解】解：如图，已知OA=5dm，AB=8dm，OC⊥AB于D，求CD的长，
理由如下：当油面位于AB的位置时，
∵OC⊥AB根据垂径定理可得，
∴AD=4，
在直角三角形OAD中，
根据勾股定理可得OD=3，
所以CD=5-3=2；
当油面位于A'B'的位置时，CD=5+3=8．
故选C．
【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．注意要考虑到两种情况．
11．D
【分析】连接OP，OQ分别与AC、BC相交于点I、H，根据DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BD的中点，利用中位线定理得到OH+OI=(AC+BC)=9和PH+QI=18-12=6，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．
【详解】解：如下图，连接OP，OQ分别与AC、BC相交于点I、H，
∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
∴OH+OI=(AC+BC)=9，
∴MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=12，
∴PH+QI=18-12=6，
∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+6=15，
故选：D．
【点睛】本题考查了中位线定理、垂径定理的应用，解题的关键是正确的作出辅助线．
12．C
【分析】根据题意作出图形，设圆心为O，直线与圆O交于A，B两点，x轴，y轴交于点C，点D，过点O作直线，连接，求出，，进而证明是等腰直角三角形，得到，由，易证是等腰直角三角形，求出，再根据，利用勾股定理即可求，再根据垂径定理即可求出的长，即可得出结果．
【详解】解：如图，设圆心为O，直线与圆O交于A，B两点，x轴，y轴交于点C，点D，过点O作直线，连接，
在直线中，
令，则，令，则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，点O为圆心，
，
，
半径为4的圆被直线所截得的弦长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形，根据题意作出图形是解题的关键．
13．60°/60度
【分析】由垂径定理可得AC=BC，得到BC的长度，再由Rt△OBC中求出∠BOC的度数即可．
【详解】解：∵OC⊥AB，AB=，
∴AC=BC=，
在Rt△OBC中，OC=6，
∵
∴∠BOC=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查垂径定理，含30°的直角三角形的性质，三角函数，熟练知识点是解题的关键．
14．
【分析】如图，连接CQ，然后求出PD、PC的长，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接CQ．
由题意CQ＝CP，CD⊥PQ，
∴DQ＝DP＝PQ＝1（m），
∵PA＝QB，
∴AQ＝PB＝（AB﹣PQ）＝2（m），
∴PC＝PA＝2+2＝4（m），
∴CD＝＝＝（m），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理等知识点，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解答本题的关键．
15．
【分析】先确定线段BC过的面积：圆环的面积，作辅助圆和弦心距OD，根据已知面积列等式可得：S=πOB2-πOC2=（m2-n2）π，则OB2-OC2=m2-n2，由勾股定理代入，并解一元二次方程可得结论．
【详解】如图，连接OB、OC，以O为圆心，OC为半径画圆，
则将弦AB绕圆心O旋转一周，线段BC扫过的面积为圆环的面积，
即S=πOB2-πOC2=（m2-n2）π，
OB2-OC2=m2-n2，
∵AC=m，BC=n（m＞n），
∴AM=m+n，
过O作OD⊥AB于D，
∴BD=AD=AB=，CD=AC-AD=m-=，
由勾股定理得：OB2-OC2=（BD2+OD2）-（CD2+OD2）=BD2-CD2=（BD+CD）（BD-CD）=mn，
∴m2-n2=mn，
m2-mn-n2=0，
m=，
∵m＞0，n＞0，
∴m=，
∴，
故答案为．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，垂径定理，一元二次方程等知识，根据旋转的性质确定线段BC扫过的面积是解题的关键，是一道中等难度的题目．
16．y＝-（x−1）2＋3或y＝（x−1）2-1
【分析】连接CA，CB，作CH⊥x轴，H为垂足，由勾股定理可求AH＝BH＝，即可求A，B两点的坐标，进而由待定系数法可求解析式．
【详解】解：（1）如图，连接CA，CB，作CH⊥x轴，H为垂足，
∵C（1，1），
∴CH＝OH＝1，
∴在Rt△CHB中，HB＝＝，
∵CH⊥AB，CA＝CB，
∴AH＝BH；
∴A（1−，0），点B（1＋，0），
由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）或（1，-1）
∴设抛物线解析式为y＝a（x−1）2＋3或y＝a（x−1）2-1
由已知得抛物线经过点B（1＋，0），
∴0＝a（1＋−1）2＋3或0＝a（1＋−1）2-1
解得a＝−1或
∴抛物线的解析式为：y＝-（x−1）2＋3或y＝（x−1）2-1．
故答案是：y＝-（x−1）2＋3或y＝（x−1）2-1．
【点睛】本题是二次函数和圆的综合题，根据勾股定理和垂径定理求出A、B的坐标是解题的关键．
17．4
【分析】根据垂径定理及其推论即可解题.
【详解】解:设DE＝x,则CE＝3x，
因为弦的垂直平分线经过圆心，
所以CD是直径，
所以AE＝BE＝AB＝3，
因为AE2＝CE×DE，
所以3x2＝9，
所以x＝，
所以CD＝4x＝4，
即⊙O的半径是4.
【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是熟练度的掌握垂径定理与勾股定理的运算法则.
18．5
【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理的运用．掌握垂径定理推论和勾股定理解直角三角形，是解题的关键．
设的半径为r，根据点D是的中点，是过圆心O的直线，可得，在中，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，设的半径为r，
则，．
∵点D是的中点，是过圆心O的直线，
∴，．
在中，由勾股定理得，
即．
解得．
∴的半径为：5．
19．（1）详见解析；（2）桥拱所在圆的半径为．
【分析】（1）根据垂径定理可以作弦AB的垂直平分线，和弧的交点即是弧的中点；
（2）设圆O的半径为r，在Rt△ADO中由勾股定理列出方程求出r即可．
【详解】解：（1）如图：点E即为所求的中点；
（2）过圆O作OE⊥AB于D，在直角三角形AOD中，AB＝24m，DE＝8m，
∴AD＝AB＝12（cm），
设AO＝rcm，
∴OD＝r−8（cm），
∴r2＝122＋（r−8）2
解得：r＝13cm．
答：桥拱所在圆的半径为13cm．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理；这两大定理是在圆有关运算中经常用到的．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查圆的性质以及解直角三角形的应用，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
（1）连接，过点作，垂足为，与劣弧交于点，设半径为，得到，根据垂径定理可得，根据勾股定理得出答案．
（2）过点作，过点作，根据题意得到，由勾股定理得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：连接，过点作，垂足为，与劣弧交于点，
设半径为，
即，
由题意得，
，
由根据垂径定理可得，
在中，，
即，
解得．
（2）解：过点作，过点作，
筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时，
每秒旋转，
由于经过后该盛水筒旋转到点D处，
，
上C处的某盛水筒到水面的距离是，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
在中，，
，
．
21．(1)桥拱的半径是10米；
(2)水面涨高了2米．
【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程．
（1）设桥拱的半径是米，由垂径定理求出（米，而米，由勾股定理得到，求出；
（2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，半径，，
设桥拱的半径是米，
，
（米，
拱高为4米，
米，
，
，
，
桥拱的半径是10米；
（2）解：，
（米，
（米，
（米，
（米，
水面涨高了2米．
22．(1)主桥拱所在圆的半径长为5米
(2)此时水面的宽度约为9米
【分析】（1）连接，，构造，通过垂径定理得出是直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
（2）设与相交于点，根据平行线的性质得出，为直角三角形，再利用锐角三角形的余弦值即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，．
∵是的中点，，
∴，所在的直线经过圆心．
设半径，则．
∵在中，，
∴，解得．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米．
（2）（2）如图，设与相交于点．
由题意得．
∵，∴．
∵，
∴，∴．
∵在中，，
∴，
∴．
答：此时水面的宽度约为9米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及应用，涉及垂径定理，勾股定理的应用及平行线的性质等知识，解决问题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
23．见解析；证明见解析.
【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到命题的真假．
【详解】①②③，正确；①③②，错误，不符合三角形的判定；②③①，正确．
先证①②③．如图．
∵平分，，，，
∴．
∴，．
设与交于，则，
∴．
∴．
∴．
再证②③①．如图，
设的中点为，连接，，
∵，，
∴，分别是，斜边上的中线．
∴，．
即点到、、、的距离相等．
∴四点、、、在以为圆心，为半径的圆上，是直径．
∴是的弦．
∵，
∴．
即平分．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理和性质，同时考查了垂径定理等知识的综合运用．
24．见解析.
【分析】连结，交于点，证明即可.
【详解】证明：连结，交于点，如图，
∵点C为的中点，
∴OC⊥AE，AE=2AK，
∵CD⊥AB，
∴∠CDO=∠AKO，
又∵AO=CO，∠AOK=∠COD，
∴，
∴AK=CD
∴AE=2CD.
【点睛】本题考查了垂径定理以及三角形全等的判定与性质，证明CD=AK是解题的关键.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
B
D
D
A
D
B
C
题号
11
12








答案
D
C