初中数学北师大版（2024）九年级上册4 探索三角形相似的条件精练

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册4 探索三角形相似的条件精练，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形，以此类推，第2014个黄金三角形的周长( )
A．B．C．D．
2．如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A．B．C．D．
3．下列四个命题中正确的是（ ）
A．菱形都相似；
B．等腰三角形都相似；
C．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形相似；
D．两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形相似．
4．下列各组中两个图形不一定相似的是（ ）
A．有一个角是120°的两个等腰三角形B．有一个角是35°的两个等腰三角形
C．两个等腰直角三角形D．两个等边三角形
5．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( )

A． B． C． D．
6．如图，为线段上一点，与交于，交于，交于，则图中相似三角形有（ ）

A．1对B．2对C．3对D．4对
7．下列说法中，不正确的是( )
A．两角对应相等的两个三角形相似
B．两边对应成比例的两个三角形相似
C．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
D．三边对应成比例的两个三角形相似
8．如图，在中，点，点分别是上的点．下列选项中，不能判定与相似的是（ ）

A．B．C．D．
9．下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．有一个内角是的两个等腰三角形B．有一个内角是的两个等腰三角形
C．有一个内角是的两个等腰三角形D．有一个内角是的两个等腰三角形
10．如图，在ΔABC中，点在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，不能判定与相似的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
11．下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似
B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似
C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似
D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似
12．如图所示的4个三角形中，相似三角形有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
二、填空题
13．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：
①；②；③；④中的一个，不能得出和相似的是： （填序号）．
14．在▱ABCD中，AE交BC的延长线于点E，交DC于点F，若BC：CE＝3：2，则CF：FD＝ ．
15．两边 且夹角 的两个三角形相似．
16．如图，在▱ABCD中，M、N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB与点E，连接EN并延长交CD于点F，则DF：AB= ．
17．如图，点D在AB上，当∠ ＝∠ 时，△ACD∽△ABC．
三、解答题
18．（1）计算： +(－1)2020+(π－3.14)0－|－|
（2）如图，在△ABC中，四边形DBFE是平行四边形．求证：△ADE∽△EFC．
19．如图，已知正方形，点E在边上，连接．利用尺规在上求作一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
20．如图，四边形是平行四边形，E为线段延长线上一点，连结交对角线于点F，．
(1)求证：；
(2)如果 ，则=________度．
21．已知：如图，在中，，点、在边上，．
求证：．
参考答案：
1．D
【分析】先根据题意可得△ABC∽△BCD，则△BCD的周长：△ABC的周长=BC：AB，即可得到△BCD的周长：△ABC的周长=k，求出△ABC的周长，则△BCD的周长，据此即可求解．
【详解】解：∵△ABC和△BCD都是顶角为36°的等腰三角形，
∴△ABC∽△BCD，
∴△BCD的周长：△ABC的周长=BC：AB，
∵，，
∴，
∴△ABC的周长
∴△BCD的周长：△ABC的周长=k，
∴△BCD的周长，
同理：△CDE的周长：△BCD的周长=k，
∴△CDE的周长，
故选C．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定，找出各个三角形周长之间的关系，是本题的关键．
2．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
根据相似三角形的判定定理对各选项判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
当时，，故A不符合要求；
当时，，故B不符合要求；
当时，，故C不符合要求；
当时，无法证明，故D符合要求；
故选：D．
3．C
【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答．
【详解】解：A、菱形对应边成比例，但对应角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，本选项说法错误；
B、等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误；
C、两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形相似，故本选项正确；
D、两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，掌握相似多边形的判定定理是解题的关键．
4．B
【分析】根据相似三角形的判定逐一进行判断即可．
【详解】解：A、有一个角是120°的两个等腰三角形，的角只能是顶角，根据两腰对应成比例，夹角相等，可以得出两个三角形一定相似，不符合题意；
B、有一个角是35°的两个等腰三角形，当一个是顶角，一个是底角时，两个三角形不相似，符合题意；
C、两个等腰直角三角形一定相似，不符合题意；
D、两个等边三角形一定相似，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．
5．C
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题干中的三角形的度数相比较即可得出答案．
【详解】∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B选项中三角形各角的度数都是60°，
C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定，此题难度不大．
6．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定、三角形外角的定义及性质，先根据条件证明，，证明，即可得出，熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
，，
，
，，，
，
，
图中相似三角形共有3对，
故选：C．
7．B
【详解】A选项中，“两角对应相等的两个三角形相似”是正确的；
B选项中，“两边对应成比例的两个三角形相似”是错误的，还需添上条件“且夹角相等”才成立；
C选项中，“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是正确的；
D选项中，“三边对应成比例的两个三角形相似”是正确的
故选B.
8．D
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故A能判定；
∵，，
∴，
故B能判定；
∵，，
∴，
故C能判定；
∵，不是夹角，
∴不能判定与相似，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
9．A
【分析】根据直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定方法分别判断得出答案．
【详解】解：A、有一个内角是的两个等腰三角形，因为是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意；
B、有一个内角是的两个等腰三角形都是等边三角形，则两个三角形一定相似，故此选项不符合题意；
C、有一个内角是的两个等腰三角形是等腰直角三角形，则两个三角形一定相似，故此选项不符合题意；
D、有一个内角是的两个等腰三角形，则底角均为，则两个三角形一定相似，故此选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的最常用的方法判断方法是解题的关键．
10．D
【分析】根据相似三角形的判定方法解题：对应角相等，对应边成比例，据此解题．
【详解】解：①在与中，
，，
正确，故①不符合题意；
②在与中，
，，
正确，故②不符合题意；
③在与中，
即
又
正确，故③不符合题意；
④在与中，
即，
不符合相似三角形判定法则，错误，故④符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
11．D
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可得解．
【详解】解：A、∵两个直角三角形只有一组角相等，
∴两个直角三角形不一定相似，故选项A不合题意；
B、∵两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，
∴两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似，
故选项B不合题意；
C、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似，
∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不合题意；
D、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
12．A
【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．
【详解】解：如图：
AC2=12+22=5，BC2=42+22=20，AB2=25，
∵5+20=25，∴AC2+ BC2= AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，；
△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°，；
∴△ABC△DEF；
△JKL是直角三角形，且∠JKL=90°，；
HI2=12+12=2，HG2=12+22=5，GI2=12+22=5，
∵5+25，∴HG2+ HI2= GI2，
∴△HGI不是直角三角形，
综上，只有△ABC△DEF；
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理及逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
13．③
【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．
【详解】解：①，时，，故①不符合题意；
②，时，，故②不符合题意；
③，时，不能推出，故③符合题意；
④，时，，故④不符合题意，
故答案为：③
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．
14．
【分析】在▱ABCD中，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，于是得到△CEF∽△△ADF，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】如图，在▱ABCD中，
∵AD=BC，AD∥BC，
∴△CEF∽△△ADF，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
15． 成比例 相等
【解析】略
16．1：4
【分析】由题意可得DN=NM=MB，据此可得DF：BE=DN：NB=1：2，再根据BE：DC=BM：MD=1：2，AB=DC，故可得出DF：AB的值．
【详解】由题意可得DN=NM=MB，△DFN∽△BEN，△DMC∽△BME，
∴DF：BE=DN：NB=1：2，BE：DC=BM：MD=1：2
又∵AB=DC
∴可得DF：AB=1：4．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用．
17． ACD B
【解析】略
18．（1）1；（2）见解析
【分析】（1）按照负整数指数幂，零指数幂和绝对值的性质计算即可；
（2）由平行四边形的性质得到DEBC， EFAB， 再由两直线平行，同位角相等得出∠AED=∠C，∠A=∠CEF，即可证明结论．
【详解】解： (1)原式=+1+1－(2－)=+1+1－2+=1 ；
(2)证明：∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DEBC， EFAB，
∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF，
∴．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算及相似三角形的判定，掌握实数的混合运算顺序和法则及相似三角形的判定方法是解题的关键．
19．见解析
【分析】过点D作于点F，点F即为所求．
【详解】如图，点F即为所求．
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．(1)见解析；
(2)70
【分析】（1）先证明，再证明即可；
（2）作交延长线于点G，得平行四边形，利用等腰三角形转化角即可完成证明．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：如图：作交延长线于点G，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查了相似的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，其中添加辅助线是解决问题的关键．
21．见解析．
【分析】根据三角形外角性质得∠AEC=∠B+∠BAE，由，，推出∠AEC=∠BAF，利用AB=AC推出∠B=∠C即可证明结论．
【详解】证明：，
，
，
．
又，
，
．
【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记相似三角形的判定方法并正确确定两个三角形的对应相等的条件是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
B
C
C
B
D
A
D
题号
11
12








答案
D
A