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江西省上饶市婺源县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版）
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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）．
1. 下列方程中，是一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 将如图所示的三角形绕其直角顶点顺时针旋转得到的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在如图所示电路图中，若闭合、、、中任意一个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）．
A. B. C. D.
5. 把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是（ ）．
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 抛物线的开口______．（填“向上”或“向下”）
8. 点关于原点对称的点的坐标是________．
9. 某校九（2）班在体育考试中全班所有学生的得分情况如下表所示：
从九（2）班的学生中随机抽取一人，恰好是获得60分的学生的概率是_______．
10. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于___________．
11. 《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是________________．
12. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且A(0，3)、B(5，3)，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为_______．
三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13. 解方程：
（1）；
（2）．
14. 如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合．
（1）写出它的旋转中心；
（2）旋转角至少是多少度？
（3）______（填“＞”或“＝”或“＜”）．
15. 二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集；
（3）若方程无实数根，写出的取值范围．
16. 如图，羊年春节到了，小明亲手制作了3张一样的卡片，在每张卡片上分别写上“新”“年”“好”三个字，并随机放入一个不透明的信封中，然后让小芳分三次从信封中摸3张卡片每次摸1张，摸出不放回．
小芳第一次抽取的卡片是“新”字的概率是多少？
请通过画树状图或列表，求小芳先后抽取的3张卡片分别是“新年好”的概率．
17. 如图，是的直径，平行四边形的一边在直径上，点在上．
（1）如图1，当点在上时，请你仅用无刻度的直尺作于；
（2）如图2，当点在内时，请你仅用无刻度的直尺作于．
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，是的直径，为的一条弦，是的中点，已知，．
（1）求证：于；
（2）求的半径．
19. 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，交于点．若，求：
（1）的长；
（2）的面积．
20. 某批乒乓球的质量检验结果如下：
（1）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？
（2）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
21. 春节临近，由于我市城区执行严禁燃放烟花炮竹令，某商店发现了商机经销一种安全、无污染电子鞭炮已知这种电子鞭炮的成本价每盒元，市场调查发现春节期间，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）若该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得销售利润元，应如何定价？
22. 课本再现
（1）在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补．课本中先从四边形一条对角线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证其正确性，这种数学思维方法称为“由特殊到一般”
如图1，四边形为的内接四边形，为直径，则__________度，__________度．
（2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补．
知识运用
（3）如图4，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点．点是线段的中点，连接，求证：是的切线．
六、（本大题12分）
23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）写出点、、的坐标；
（2）过动点作平行于轴的直线，直线与二次函数的图象相交于点，．
①若，以为直径作，当与轴相切时，求的值；
②直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在，请说明理由．分数段（分）
30~39
40~49
50~59
60
人数
1
5
9
25
抽取的乒乓球数
200
500
1000
1500
2000
优等品频数
188
471
946
1426
1898
优等品频率
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）．
1. 下列方程中，是一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 将如图所示的三角形绕其直角顶点顺时针旋转得到的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在如图所示电路图中，若闭合、、、中任意一个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）．
A. B. C. D.
5. 把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是（ ）．
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 抛物线的开口______．（填“向上”或“向下”）
8. 点关于原点对称的点的坐标是________．
9. 某校九（2）班在体育考试中全班所有学生的得分情况如下表所示：
从九（2）班的学生中随机抽取一人，恰好是获得60分的学生的概率是_______．
10. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于___________．
11. 《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是________________．
12. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且A(0，3)、B(5，3)，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为_______．
三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13. 解方程：
（1）；
（2）．
14. 如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合．
（1）写出它的旋转中心；
（2）旋转角至少是多少度？
（3）______（填“＞”或“＝”或“＜”）．
15. 二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集；
（3）若方程无实数根，写出的取值范围．
16. 如图，羊年春节到了，小明亲手制作了3张一样的卡片，在每张卡片上分别写上“新”“年”“好”三个字，并随机放入一个不透明的信封中，然后让小芳分三次从信封中摸3张卡片每次摸1张，摸出不放回．
小芳第一次抽取的卡片是“新”字的概率是多少？
请通过画树状图或列表，求小芳先后抽取的3张卡片分别是“新年好”的概率．
17. 如图，是的直径，平行四边形的一边在直径上，点在上．
（1）如图1，当点在上时，请你仅用无刻度的直尺作于；
（2）如图2，当点在内时，请你仅用无刻度的直尺作于．
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，是的直径，为的一条弦，是的中点，已知，．
（1）求证：于；
（2）求的半径．
19. 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，交于点．若，求：
（1）的长；
（2）的面积．
20. 某批乒乓球的质量检验结果如下：
（1）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？
（2）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
21. 春节临近，由于我市城区执行严禁燃放烟花炮竹令，某商店发现了商机经销一种安全、无污染电子鞭炮已知这种电子鞭炮的成本价每盒元，市场调查发现春节期间，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）若该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得销售利润元，应如何定价？
22. 课本再现
（1）在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补．课本中先从四边形一条对角线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证其正确性，这种数学思维方法称为“由特殊到一般”
如图1，四边形为的内接四边形，为直径，则__________度，__________度．
（2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补．
知识运用
（3）如图4，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点．点是线段的中点，连接，求证：是的切线．
六、（本大题12分）
23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）写出点、、的坐标；
（2）过动点作平行于轴的直线，直线与二次函数的图象相交于点，．
①若，以为直径作，当与轴相切时，求的值；
②直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在，请说明理由．分数段（分）
30~39
40~49
50~59
60
人数
1
5
9
25
抽取的乒乓球数
200
500
1000
1500
2000
优等品频数
188
471
946
1426
1898
优等品频率
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