鲁教版（五四学制）（2024）九年级下册第五章 圆2 圆的对称性课堂检测

这是一份鲁教版（五四学制）（2024）九年级下册第五章 圆2 圆的对称性课堂检测，共17页。试卷主要包含了下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等
B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的弦一定经过圆心
2．如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OA＝OB＝ABB．∠AOB＝∠COD
C．D．O到AB、CD的距离相等
3．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，若∠COD＝35°，则∠AOE的度数是（ ）
A．35°B．55°C．75°D．95°
4．如图，已知AC是直径，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中点，则DE＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（ ）
A．∠OBA＝∠OCAB．四边形OABC内接于⊙O
C．AB＝2BCD．∠OBA+∠BOC＝90°
6．如图，将含30°角的三角板的顶点放在半圆上，这个三角板的两边分别与半圆相交于点A，B，则弦AB所对的圆心角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
7．如图所示的齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相等，相邻两齿间的圆心角α的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
8．如图，AB、CD是⊙O的直径，∠AOD＝60°，点P在上，若OA＝1，m＝PA+PC，则m的最大值是（ ）
A．2B．2C．4D．2
二．填空题（共4小题）
9．如图，在⊙O中，AB＝8，C为的中点，且C到AB的距离为3，则圆的半径为 ．
10．如图，在半径为10的圆O中，∠AOB＝90°，C为OB的中点，AC的延长线交圆O于点D，则线段CD的长为 ．
11．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为7cm，AB＝6cm，CD＝8cm．请你帮忙计算纸杯的直径为 cm．
12．如图所对圆心角∠AOB＝90°，半径为4，C是OB的中点，D是上一点，把CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接AE，则AE的最小值是 ．
三．解答题（共5小题）
13．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．
14．如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交AB，BA的延长线和AC于D，E，F，连接EF并延长交BC于G，EG⊥BC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）连接DF，判断DF与BC的位置关系，并说明理由．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD．OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为弧AC的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
16．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
17．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于点G．
（1）求证：＝；
（2）若为140°，求∠EGB的度数．
参考答案解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据等圆，圆周角定理，垂径定理一一判断即可．
【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意．
B、正确，本选项符合题意．
C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意．
D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，等圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系判断即可．
【解答】解：∵AB＝DC，
∴弧AB＝弧DC，
∴∠AOB＝∠COD，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴O到AB、CD的距离相等，
所以B、C、D选项正确，
故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3．【分析】由，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，继而可求得∠AOE的度数．
【解答】解：∵，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝75°．
故选：C．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
4．【分析】连接OB，得到∠BOD＝∠COD，由等腰三角形的性质，得到OD⊥BC，BE＝BC＝×8＝4，由勾股定理求出AB长，即可求出OE长，得到DC的长．
【解答】解：连接OB，
∵D是弧BC的中点，
∴∠BOD＝∠COD，
∵OB＝OD，
∴OD⊥BC，BE＝BC＝×8＝4，
∵AC是圆的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∴OB＝AC＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
故选：B．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，勾股定理，关键是连接OB构造直角三角形，应用勾股定理解决问题．
5．【分析】过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂径定理得到＝，于是得到＝＝，推出AE＝BE＝BC，根据三角形的三边关系得到2BC＞AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；
【解答】解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，
则＝，
∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE＝AOB，
∵∠AOB＝2∠BOC，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，
∴＝＝，
∴AE＝BE＝BC，
∴2BC＞AB，故C错误；
∵OA＝OB＝OC，
∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，
∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，
∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；
∵∠BOE＝∠BOC＝AOB，
∵∠BOE+∠OBA＝90°，
∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB．
【解答】解：连接OA，OB，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB是解此题的关键．
7．【分析】根据正多边形的中心角＝，计算即可．
【解答】解：由题意这是正十六边形，中心角α＝＝22.5°，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形的有关性质，解题的关键是记住中心角＝．
8．【分析】连AC，AD，过点A作AH⊥PC于点H．在△ACH在：AC2＝AH2+CH2＝AP2﹣PH2+（PC﹣PH）2＝PA2﹣AP2+PC2﹣2AP•PCcs60°，即AP2+PC2﹣AP•PC＝3，可得（AP+PC）2＝3+3AP•PC，而S△APC＝•AP•PC•sin60°，求出PA•PC的最大值，可得结论．
【解答】解：连AC，AD，过点A作AH⊥PC于点H．
∵∠AOD＝60°，OA＝OD，
∴三角形AOD为等边三角形，
又∵CD为直径，
∴∠DAC＝90°，则∠ACD＝30°，
且AO＝1，因此AC＝，
在△ACH中：AC2＝AH2+CH2＝AP2﹣PH2+（PC﹣PH）2＝PA2﹣AP2+PC2﹣2AP•PCcs60°，
即AP2+PC2﹣AP•PC＝3，
∴（AP+PC）2＝3+3AP•PC，
而S△APC＝•AP•PC•sin60°，
又∵点P在上运动，则点P到AC的距离是变化的，底边AC为定值，
∴△APC的面积是变化的，从而AP•PC的值也是变化的，且随点P到AC的距离的增大而增大，
当点P为的中点时，点P到AC的距离的最大．
∵此时三角形APC为正三角形，
∴此时点P到AC的距离为×＝，
∴△PAC的面积的最大值＝××＝，
此时PA•PC的最大值＝3，
∴m的最大值为2．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了圆周角的推论：直径所对的圆周角为90度．解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想解决问题．
二．填空题（共4小题）
9．【分析】连接OC，OA，OB，由圆心角、弧、弦的关系，得到∠AOH＝∠BOH，由等腰三角形的性质得到OC⊥AB，AH＝AB＝4，设圆的半径是r，则OH＝r﹣3，由勾股定理得到r2＝42+（r﹣3）2，求出r＝，即可得到圆的半径为．
【解答】解：连接OC，OA，OB，
∵C为的中点，
∴∠AOH＝∠BOH，
∵OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴AH＝AB＝×8＝4，
∵C到AB的距离为3，
∴CH＝3，
设圆的半径是r，则OH＝r﹣3，
∵OA2＝AH2+OH2，
∴r2＝42+（r﹣3）2，
∴r＝，
∴圆的半径为．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于r的方程．
10．【分析】过点O作OH⊥AD于H，由垂径定理得AH＝DH＝AD，利用勾股定理求出AC，根据面积法求出OH，再利用勾股定理求出AH，可得AD的值，由CD＝AD﹣AC即可求解．
【解答】解：过点O作OH⊥AD于H，
∴AH＝DH＝AD，
∵C为OB的中点，
∴OC＝OB＝5，
∵∠AOB＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∵S△AOC＝OA•OC＝AC•OH，
∴10×5＝5OH，
∴OH＝2，
∴AH＝＝4，
∴AD＝2AH＝4，
∴CD＝AD﹣AC＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，作辅助线利用勾股定理求解是解题的关键．
11．【分析】由垂径定理求出BN，DM的长，设OM＝x，由勾股定理得到x2+42＝（7﹣x）2+32，求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长，即可求出纸杯的直径长．
【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB，
∴MN＝7cm，
∵CD∥AB，
∴MN⊥CD，
∴DM＝CD＝×8＝4（cm），BN＝AB＝×6＝3（cm），
设OM＝x cm，
∴ON＝MN﹣OM＝（7﹣x）cm，
∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2，
∴OM2+MD2＝ON2+BN2，
∴x2+42＝（7﹣x）2+32，
∴x＝3，
∴OM＝3（cm），
∴OD＝＝5（cm），
∴纸杯的直径为5×2＝10（cm）．
故答案为：10．
【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出OM的长．
12．【分析】如图，连接OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．利用勾股定理求出AT，再证明△OCD≌△TCE（SAS），推出ET＝OD＝4，由AE≥AT﹣ET＝2﹣4，可得结论．
【解答】解：如图，连接OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．
∵OA＝OB＝4，OC＝CB＝CT＝OH＝HT＝2，
∴AH＝AO+OH＝6，
∴AT＝＝＝2，
∵∠OCT＝∠ECD＝90°，
∴∠OCD＝∠TCE，
在△OCD和△TCE中，
，
∴△OCD≌△TCE（SAS），
∴ET＝OD＝4，
∵AE≥AT﹣ET＝2﹣4，
∴AE的最小值为2﹣4．
故答案为：2﹣4．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共5小题）
13．【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
【解答】证明：∵AD＝CB，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能根据定理求出＝是解此题的关键．
14．【分析】（1）由EG⊥BC，设∠E+∠B＝90°，∠CFG+∠C＝90°，再由AE＝AF得∠E＝∠AFE＝∠CFG，据此可得∠B＝∠C，进而可得出结论；
（2）连接DF，依题意得：ED为半圆的直径，则∠EFD＝90°，即BF⊥EG，再根据EG⊥BC即可得出DF与BC的位置关系．
【解答】（1）证明：∵EG⊥BC，
∴∠E+∠B＝90°，∠CFG+∠C＝90°，
∵AE＝AF，
∴∠E＝∠AFE，
又∵∠AFE＝∠CFG，
∴∠E＝∠CFG，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：DF与BC的位置关系是DF∥BC，理由如下：
连接DF，如图所示：
依题意得：ED为半圆的直径，∴∠EFD＝90°，
即BF⊥EG，
又∵EG⊥BC，
∴DF∥BC．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，平行线的判定，解决问题的关键是理解直径所对的圆周角是直角，有两个角相等的三角形是等腰三角形，垂直于同一条直线的两条直线平行．
15．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°，从而利用平行线的性质可得∠OFA＝∠C＝90°，从而可得OF⊥AC，然后利用垂径定理即可解答；
（2）利用垂径定理可得AF＝AC＝8，然后在Rt△AFO中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝∠C＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
∴点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝AC＝8，
在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2，
∴OA2＝64+（OD﹣DF）2，
∴OA2＝64+（OA﹣4）2，
∴OA＝10，
∴⊙O的直径为20．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键．
16．【分析】（1）已知＝得到AB＝AC，又OC＝OB，OA＝OA，则△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质知，∠1＝∠2，进而解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）连接OB、OC，
∵＝．
∴AB＝AC，
∵OC＝OB，OA＝OA，
在△AOB与△AOC中，
．
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；
（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，
可得：，x2＝OE2+42，OE+x＝8，
解得：x＝5，OE＝3，
∴半径OA的长＝5．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从而利用全等的性质解决问题．
17．【分析】（1）要证明＝，则要证明∠EAF＝∠GAD，由AB＝AE，得出∠ABE＝∠AEB，平行四边形的性质得出，∠EAF＝∠AEB，∠GAF＝∠B，由圆心角、弧、弦的关系定理得出＝；
（2）根据圆心角、弧、弦的关系解答即可．
【解答】（1）证明：连接AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，∠GAF＝∠B，
∵AE＝AB，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠EAF＝∠GAF，
∴＝；
（2）∵GB为⊙A的直径，
∴为180°，
∵为140°，
∴为40°，
∴∠BAE＝40°
∵∠EGB＝∠BAE，
∴∠EGB＝20°．
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆心角、弧、弦的关系定理等知识点的应用，关键是求出∠EAF＝∠GAF，题目比较典型，难度不大．