初中数学鲁教版（五四学制）（2024）九年级下册1 圆复习练习题

这是一份初中数学鲁教版（五四学制）（2024）九年级下册1 圆复习练习题，共17页。试卷主要包含了四边形ABCD内接于⊙O，∠A，如图，点A，B，C，D在⊙O上，定义等内容，欢迎下载使用。

1．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝150°，则∠BCD的度数为（ ）
A．75°B．90°C．105°D．120°
2．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝100°，则∠BOD＝（ ）
A．80°B．50°C．160°D．100°
3．如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，且BD经过圆心O，连接AB，AE，CE，若∠B+∠E
150°，则弧CD所对的圆心角的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．四边形ABCD内接于⊙O，∠A：∠B：∠C：∠D＝3：m：4：n，则m，n满足条件（ ）
A．3m＝4nB．4m＝3nC．m+n＝7D．m+n＝180°
5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝128°，则∠AOC的度数是（ ）
A．100°B．128°C．104°D．124°
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
二．填空题（共4小题）
7．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠B＝60°，则∠D＝ ．
8．如图，点A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，则∠BAO＝ °．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝55°，∠F＝30°，则∠E＝ °．
10．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．
探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为 ．
三．解答题（共6小题）
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使CE＝AB，连接BD，ED．
（1）求证：BD＝ED．
（2）若∠ABC＝60°，AD＝5，则⊙O的直径长为 ．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是中点，若∠BAC＝70°，求∠C．
下面是小诺的解答过程，请帮她补充完整．
∵D是中点，
∴，
∴∠1＝∠2．
∵∠BAC＝70°，
∴∠2＝35°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°（ ）（填推理的依据）．
∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．
∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠C+∠B＝180°（ ）（填推理的依据）．
∴∠C＝180°﹣∠B＝ （填计算结果）．
13．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（2）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：FB2＝FE•FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的长．
16．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）当∠E＝∠F时，则∠ADC＝ °；
（2）当∠A＝55°，∠E＝30°时，求∠F的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
鲁教版九年级下册5.5.1圆内接四边形的性质同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝×150°＝75°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣75°＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
2．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠C，再根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝100°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠C＝160°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
3．【分析】连接BC、OC，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠E＝180°，根据题意求出∠CBD＝30°，再根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：连接BC、OC，
∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠E＝180°，
∵∠ABD+∠E＝150°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠COD＝60°，即弧CD所对的圆心角的度数为60°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4．【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可得∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，所以∠A+∠C所占的份数一定和∠B+∠D所占的份数相等，则m+n＝7．
【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，
∵∠A：∠B：∠C：∠D＝3：m：4：n，
∴m+n＝7．
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．【分析】根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理求解即可．
【解答】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°，
由圆周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°，
故选：C．
【点评】此题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
6．【分析】由圆周角定理可求解∠AOC的度数，再利用平行线的性质可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝70°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，
∵AO∥CD，
∴∠AOC+∠OCD＝180°，
∴∠OCD＝40°．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，求解∠AOC的度数是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
7．【分析】利用圆内接四边形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠D＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解即可．
【解答】解：如图：连接AD，
∵∠O＝130°，OA＝OD，
∴∠OAD＝（180°﹣130°）＝25°，
∵∠C＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BAO＝∠BAD+∠OAD＝25°+50°＝75°．
故答案为：75．
【点评】考查了圆的内接四边形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
9．【分析】利用圆内接四边形的外角等于内对角，得到∠BCF＝∠A，根据对顶角相等，得到∠DCE＝∠BCF，利用三角形内角和定理，求出∠ADC的度数，再利用外角的性质，即可得到∠E的度数．
【解答】解：∵∠A＝55°，∠F＝30°，
∴∠BCF＝∠A＝55°，∠ADC＝180°﹣∠F﹣∠A＝180°﹣55°﹣30°＝95°，
∵∠ECD＝∠BCF＝55°，
∵∠ADC＝∠E+∠DCE，即：95°＝∠E+55°，
∴∠E＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查圆内接四边形，三角形内角和以及外角的性质．熟练掌握圆内接四边形的外角等于内对角，是解题的关键．
10．【分析】连接AC，先证∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再证△ACF∽△DAF，利用相似三角形对应边的比相等可求DF的长．
【解答】解：如图所示，连接AC，

∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴A，B，C，D四点共圆，
∵AB＝AD，
∴＝，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠FCA＝∠BCD，
∴∠FCA＝∠FAD，
又∠AFC＝∠DFA，
∴△ACF∽△DAF，
∴＝，
即＝，
∴DF＝5﹣5．
故答案为：5﹣5．
【点评】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．
三．解答题（共6小题）
11．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到BAD＝∠ECD，根据全等三角形的性质得到BD＝ED；
（2）连接DO并延长交⊙O于F，连接CF，则∠FCD＝90°，根据已知条件得到∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝5，求得∠F＝30°，根据直角三角形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴AD＝DC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠ECD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠ECD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD＝ED；
（2）解：连接DO并延长交⊙O于F，连接CF，
则∠FCD＝90°，
∵D是弧AC的中点，
∴＝，
∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝5，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠F＝∠DBC＝30°，
∴DF＝2CD＝10，
∴⊙O的直径长为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
12．【分析】根据圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出∠B即可解决问题．
【解答】解：∵D是中点，
∴，
∴∠1＝∠2．
∵∠BAC＝70°，
∴∠2＝35°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．
∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠C+∠B＝180°（圆内接四边形对角互补）（填推理的依据）．
∴∠C＝180°﹣∠B＝125° （填计算结果）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；圆内接四边形对角互补；125°．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．【分析】（1）由圆周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°；
（2）由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC＝∠ADC＝30°，由平行线的性质求出∠F＝90°，由圆内接四边形的性质求出∠FBC＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性质得到BC＝BD，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；
（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADC＝30°，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝180°，
∴∠F＝90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠FBC+∠ABC＝180°，
∴∠FBC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝2BF＝4，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴BC＝BD，
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，由垂径定理推出△ACD是等边三角形．
14．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
（2）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到∠BAH＝∠CAH＝∠CAB，CH＝BH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，根据全等三角形的性质得到AG＝AH，CG＝CH，根据相似三角形的性质得到＝，设BH＝k，AH＝2k，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
（2）解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，
∵∠BAC＝2∠DAC，
∴∠CAG＝∠CAH，
过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∴∠G＝∠AHC＝90°，
∵AC＝AC，
∴△AGC≌△AHC（AAS），
∴AG＝AH，CG＝CH，
∵∠CDG＝∠ABC，
∴△CDG∽△ABH，
∴，
∴＝，
设BH＝k，AH＝2k，
∴AB＝＝k＝10，
∴k＝2，
∴BC＝2k＝4．
【点评】本题考查了圆内接四边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴．
∴∠DBA＝∠G．
∵∠EFB＝∠BFG，
∴△EFB∽△BFG，
∴，
∴FB2＝FE•FG；
（2）解：连接OE，如图，
∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，
∴BD＝＝6．
∴OB＝BD＝3．
∵点E为AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，
∴OE∥BC，OE＝BE＝AB．
∴．
∴，
∴，
∴BF＝2；
∵点E为AB的中点，
∴AE＝BE＝3，
∴EC＝＝3．
∵AE•BE＝EG•EC，
∴EG＝．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，相交弦定理，灵活运用上述定理及性质是解题的关键．
16．【分析】（1）由∠E＝∠F，易得∠ADC＝∠ABC，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案；
（2）由∠A＝55°，∠E＝30°，首先可求得∠ABC的度数，继而利用圆的内接四边形的性质，求得∠ADC的度数，则可求得答案；
（3）由三角形的内角和定理与圆的内接四边形的性质，即可求得180°﹣∠A﹣∠F+180°﹣∠A﹣∠E＝180°，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠BCF+∠F，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝90°．
故答案为：90°；
（2）∵在△ABE中，∠A＝55°，∠E＝30°，
∴∠ABE＝180°﹣∠A﹣∠E＝95°，
∴∠ADF＝180°﹣∠ABE＝85°，
∴在△ADF中，∠F＝180°﹣∠ADF﹣∠A＝40°；
（3）∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠F，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠E，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴180°﹣∠A﹣∠F+180°﹣∠A﹣∠E＝180°，
∴2∠A+∠E+∠F＝180°，
∴∠A＝90°﹣＝90°﹣．
【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质以及圆的内接四边形的性质．注意圆内接四边形的对角互补．