2023-2024学年广东省汕尾市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省汕尾市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在北京冬奥会举办之前，北京冬奥会组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.二次函数y=2(x−3)2+1的图象的顶点坐标是( )
A. (−2,1)B. (2,1)C. (−3,1)D. (3,1)
3.如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC=120°，那么∠BAC的度数是( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
4.抛物线y=x2−6x+1的对称轴是( )
A. 直线x=3B. 直线x=−3C. 直线x=4D. 直线x=13
5.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是( )
A. 6B. 12C. 16D. 18
6.参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为( )
A. 12xx−1=10B. xx−1=10C. 12xx−1=10D. 2xx−1=10
7.计算半径为1，圆心角为60°的扇形面积为( )
A. π3B. π6C. π2D. π
8.若二次函数y=(x+2)2−1的图象经过点A(−1,y1)，B(−2,y2)，C(3,y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y1>y3>y2B. y2>y3>y1C. y1>y2>y3D. y3>y1>y2
9.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB=70°，则∠P的度数为( )
A. 70°B. 50°C. 20°D. 40°
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )
A. a=2bB. c>0C. a+b+c>0D. 4a−2b+c=0
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系中，点(−3,2)关于原点对称的点的坐标是_________．
12.将抛物线y=2x2向上平移一个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ．
13.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是______．
14.若抛物线y=mx2+2x+1与x轴只有一个公共点，则m的值是______．
15.小明推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=−112(x−4)2+3，则小明推铅球的成绩是______m.
16.如图，在△ABC中，BC=4，∠A=45°，则△ABC面积的最大值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解方程：x2−4x−5=0．
18.(本小题6分)
如图，在直径为10cm的⊙O中，OM⊥AB，垂足为点M，且OM=4cm，求弦AB的长．
19.(本小题6分)
将二次函数y=x2−8x+5配方成y=a(x−h)2+k的形式．
20.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(4,0)，B(4,−3).将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A′．
(1)画出旋转后的△OA′B′，并写出点A′的坐标；
(2)点A经过的路径AA′的长为______(结果保留π)．
21.(本小题8分)
中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
(1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为______；
(2)某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
22.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−3x+2a=0有两个不相等的实数根．
(1)若a=1时，求方程的根；
(2)求a的取值范围．
23.(本小题8分)
综合与实践
某超市按每袋20元的价格购进某种软糖，在销售过程中发现，该种软糖每天的销售量w(袋)与销售单价x(元)满足w=−2x+80(20≤x≤40)，销售这种软糖每天的利润为y(元)．
(1)每袋软糖的利润为______元；求y与x之间的函数关系式．
(2)当该种软糖销售单价定为每袋多少元时，销售这种软糖每天的利润最大？最大利润为多少？
24.(本小题12分)
综合探究
如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，在AC下方作∠CAE=∠CAD，过点C作CE⊥AE，垂足为点E．
(1)求证：△ACE≌△ACD；
(2)求证：AE是⊙O的切线；
(3)若AB=8，AF=3，求BD的长．
25.(本小题12分)
综合应用
如图，抛物线y=−14x2−12x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P为OA上一动点(点P不与点A，O重合)．
(1)直接写出点A，C的坐标：A ______，C ______；
(2)如图1，过点P作PN⊥x轴，交线段AC于点M，交抛物线于点N，当PM=MN时，求△AMN的面积；
(3)如图2，连接PC，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，当点D在抛物线上时，求点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：根据二次函数的顶点式方程y=2(x−3)2+1知，该函数的顶点坐标是：(3,1)．
故选：D．
根据二次函数y=a(x−h)2+k(a≠0)的顶点坐标是(h,k)，即可得解．
本题考查了二次函数的性质.解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y=a(x−h)2+k中的h、k所表示的意义．
3.【答案】C
【解析】解：因为BC所对的圆心角是∠BOC，BC所对的圆周角是∠BAC，
所以：∠BAC=12∠BOC=12×120°=60°，
故选：C．
根据圆周角定理，在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：y=x2−6x+1
=(x2−6x+9)+1−9
=(x−3)2−8，
∴对称轴为直线x=3，
故选：A．
配方成顶点式后即可确定其顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是将二次函数的一般式转化为顶点式，难度不大．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和，n边形的内角和为：(n−2)⋅180°。根据多边形的内角和公式与正多边形每个内角相等列方程求解即可得答案。
【解答】
解：设多边形为n边形
由题意，得(n−2)⋅180°=150°n
解得n=12
故选B．
6.【答案】A
【解析】解：设x人参加这次活动，则每个人需握手：(x−1)次；
依题意，可列方程为：x(x−1)2=10．
故选：A．
如果有x人参加了活动，则每个人需要握手(x−1)次，x人共需握手xx−1次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：x(x−1)2次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．
7.【答案】B
【解析】解：S扇形=60π×12360=π6，
故选：B．
利用扇形面积公式可得．
此题主要考查了扇形的面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=(x+2)2−1，
∴开口向上，对称轴为直线x=−2，
∴B(−2,y2)是顶点，y2最小，
∵A(−1,y1)到对称轴的距离小于C(3,y3)到对称轴的距离，
∴y1y1>y2．
故选：D．
根据二次函数的对称性，利用对称性，找出点A，B，C到对称轴的距离，即可解答．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：连接OA、OB，
∵∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠ACB=140°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，
∴∠P=360°−∠OAP−∠OBP−∠AOB=360°−90°−90°−140°=40°，
故选：D．
连接OA、OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到∠OAP=90°，∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，四边形内角和定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：A、观察图象可知：抛物线的对称轴是直线x=−b2a=1，
∴a=−12b，故选项A不符合题意；
B、由函数图象知，抛物线交y轴的负半轴，
∴c