北京市海淀区教师进修学校附属实验学校 2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份北京市海淀区教师进修学校附属实验学校 2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是（ ）
A．1B．1.5C．2D．4
2．（2分）下列图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6B．x2x3＝x6C．（x2）3＝x6D．x6÷x3＝x2
4．（2分）如图∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1＝72°，∠2＝108°，则∠A+∠C＝（ ）
A．160°B．170°C．180°D．190°
5．（2分）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（ ）的交点．
A．三条角平分线B．三条中线
C．三条高的交点D．三条垂直平分线
6．（2分）如图，AD是△ABC的中线，点E，F分别在AD和AD的延长线上，且DE＝DF，连接BF，CE，则下列说法错误的是（ ）
A．△BDF≌△CDEB．△ABD和△ACD周长相等
C．BF∥CED．△ABD和△ACD面积相等
7．（2分）已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为（ ）
A．9B．39C．12D．108
8．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，将△ABC沿直线l折叠，使点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．80°D．60°
9．（2分）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复地轴对称变换，若原来点C的坐标是（3，1），则经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，﹣1）
二、填空题：（每题3分，共18分）
11．（3分）如图，当自行车停车时，两个轮子和一个支撑脚着地，自行车就不会倒，其中蕴含的数学原理是 ．
12．（3分）已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于 ．
13．（3分）若点P（m，3）与点Q（1，n）关于y轴对称，则m＝ ；n＝ ．
14．（3分）若x﹣m与2x+3的乘积中不含一次项，则m的值为 ．
15．（3分）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D，△ACD的面积为8，则△ABC的面积为 ．
16．（3分）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝100°，则∠BCA的度数为 ．
三、解答题：（共62分）
17．（10分）计算：
（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2；
（2）[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m．
18．（5分）已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．
19．（6分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有 个；
（3）求△ABC的面积．
（4）在直线l上找到一点Q，使QB+QC的值最小．
20．（5分）如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，它们相交于点F，∠BAC＝58°，∠C＝72°，求∠DAC和∠AFB的度数．
21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF＝∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F．
（1）求证：∠BED＝∠FDC；
（2）若DE＝DF，求证：BE＝CD．
22．（7分）（1）填空： ＝+ ；
（2）若，则＝ ；
（3）若a2﹣3a+1＝0．求的值．
23．（6分）在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；
②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝1，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．
24．（6分）如图，在长方形纸片ABCD中，点P在边BC上，将长方形纸片沿AP折叠后，点B的对应点为点B′，PB′交AD于点Q．
（1）判断∠DAP和∠APQ的大小关系，并说明理由；
（2）连结PD，若PD平分∠QPC，∠PDA＝55°，求∠APB的度数．
25．（7分）在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．
（1）如图1，若∠C＝32°，则∠AOB＝ ；
（2）如图2，连结OC，求证：OC平分∠ACB；
（3）如图3，若∠ABC＝2∠ACB，AB＝4，AC＝7，求OB的长．
26．（5分）（1）【问题提出】如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE，已知∠ACD＝∠B＝∠E＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在一条直线上，AB＝5，DE＝6.5，则BE的长度为 ．
（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．
（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流BD的周边规划一个四边形ABCD巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，AC＝BC，△ACD面积为12km2，且CD的长为6km，则河流另一边森林公园△BCD的面积为 km2．
2024-2025学年北京市海淀区教师进修学校附属实验学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题2分，共20分）
1．（2分）一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是（ ）
A．1B．1.5C．2D．4
【考点】三角形三边关系．
【答案】D
【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．
【解答】解：设三角形第三边的长为x，则：
5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
只有选项D符合题意．
故选：D．
2．（2分）下列图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】轴对称图形．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6B．x2x3＝x6C．（x2）3＝x6D．x6÷x3＝x2
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【答案】C
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝2x3，错误；
B、原式＝x5，错误；
C、原式＝x6，正确；
D、原式＝x3，错误．
故选：C．
4．（2分）如图∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1＝72°，∠2＝108°，则∠A+∠C＝（ ）
A．160°B．170°C．180°D．190°
【考点】多边形内角与外角．
【答案】C
【分析】根据∠ABC＝180°﹣∠1，∠ADC＝180°﹣∠2，∠A+∠C＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC，计算求解即可．
【解答】解：由题意知，∠ABC＝180°﹣∠1＝108°，∠ADC＝180°﹣∠2＝72°，
∴∠A+∠C＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC＝180°，
故选：C．
5．（2分）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（ ）的交点．
A．三条角平分线B．三条中线
C．三条高的交点D．三条垂直平分线
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质进行判断．
【解答】解：∵探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，
∴探照灯位置是△ABC三条角平分线的交点．
故选：A．
6．（2分）如图，AD是△ABC的中线，点E，F分别在AD和AD的延长线上，且DE＝DF，连接BF，CE，则下列说法错误的是（ ）
A．△BDF≌△CDEB．△ABD和△ACD周长相等
C．BF∥CED．△ABD和△ACD面积相等
【考点】全等三角形的判定；三角形的面积．
【答案】B
【分析】本题先证明△BDF≌△CDE可判断A，由全等三角形的性质可得∠DBF＝∠DCE，可判断C，由AD为三角形的中线可判断B，D，从而可得答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，
∴△BDF≌△CDE，故A不符合题意．
∴∠DBF＝∠DCE，
∴BF∥CE，故C不符合题意；
∵AB≠AC，BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长不相等，△ABD和△ACD面积相等，故B符合题意，D不符合题意，
故选：B．
7．（2分）已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为（ ）
A．9B．39C．12D．108
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【答案】C
【分析】先将x2m﹣n变形为（xm）2÷xn，然后将xm＝6，xn＝3代入求解即可．
【解答】解：∵xm＝6，xn＝3，
∴x2m﹣n
＝（xm）2÷xn
＝62÷3
＝12．
故选：C．
8．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，将△ABC沿直线l折叠，使点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．80°D．60°
【考点】轴对称的性质；三角形的外角性质．
【答案】D
【分析】由轴对称的性质得出∠C＝∠D，再由∠1＝∠C+∠3，∠3＝∠2+∠D，即可得到∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C，从而求出答案．
【解答】解：由题意得：∠C＝∠D，
∵∠1＝∠C+∠3，∠3＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C，
∴∠1﹣∠2＝2∠C＝60°．
故选：D．
9．（2分）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BMN+∠BNM，根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MP，NC＝NP，根据等腰三角形的性质得到∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP，计算即可．
【解答】解：∵∠ABC＝80°，
∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣80°＝100°，
∵M、N分别在PA、PC的中垂线上，
∴MA＝MP，NC＝NP，
∴∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP，
∴∠MPA+∠NPC＝（∠BMN+∠BNM）＝50°，
∴∠APC＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复地轴对称变换，若原来点C的坐标是（3，1），则经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，﹣1）
【考点】坐标与图形变化﹣对称；规律型：点的坐标．
【答案】A
【分析】由题意知，每经过4次变换后点C回到原来的位置，且经过第2024次变换与经过第4次变换后点C的对应点相同，进而可得答案．
【解答】解：由题意知，每经过4次变换后点C回到原来的位置，坐标是（3，1）．
∵2024＝4×506，
∴经过第2024次变换与经过第4次变换后点C的对应点相同，
∴经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为（3，1）．
故选：A．
二、填空题：（每题3分，共18分）
11．（3分）如图，当自行车停车时，两个轮子和一个支撑脚着地，自行车就不会倒，其中蕴含的数学原理是 三角形具有稳定性 ．
【考点】三角形的稳定性．
【答案】三角形具有稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：蕴含的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
12．（3分）已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于 64 ．
【考点】完全平方式．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．
【解答】解：∵x2+16x+k是完全平方式，
∴k＝64．
故答案为：64
13．（3分）若点P（m，3）与点Q（1，n）关于y轴对称，则m＝ ﹣1 ；n＝ 3 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（m，3）与点Q（1，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣1，n＝3，
故答案为：﹣1，3．
14．（3分）若x﹣m与2x+3的乘积中不含一次项，则m的值为 ．
【考点】多项式乘多项式；合并同类项．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意列出相应的式子，利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据不含一次项，则一次项的系数为0，即可求m的值．
【解答】解：由题意得：（x﹣m）（2x+3）
＝2x2+3x﹣2mx﹣3m
＝2x2+（3﹣2m）x﹣3m，
∵式子不含一次项，
∴3﹣2m＝0，
解得：m＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D，△ACD的面积为8，则△ABC的面积为 16 ．
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【答案】16．
【分析】如图所示，延长BD交AC于E，利用ASA证明△ADB≌△ADE，得到BD＝DE，进而推出S△ADB＝S△ADE，S△EDC＝S△BDC，即可得到答案．
【解答】解：如图所示，延长BD交AC于E，
∵AD为∠BAC的角平分线，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE＝90°，
又∵AD＝AD，
∴△ADB≌△ADE（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ADB＝S△ADE，S△EDC＝S△BDC，
∵S△ABC＝S△ADB+S△ADE+S△EDC+S△BDC，
∴，
即S△ABC＝2S△ACD＝16，
故答案为：16．
16．（3分）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝100°，则∠BCA的度数为 30° ．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】由角平分线的定义得∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝DCO，边角边证明△BCO≌△DCO，其性质求得∠CBO＝∠D；等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理求得∠BCA的度数为30°．
【解答】解：∵AO、BO、CO是△ABC三个内角的平分线，
∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO，
在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO＝∠D，
又∵∠BAC＝100°，
∴∠CAO＝＝，
又∵AD＝AO，
∴∠D＝∠AOD，
又∵∠CAO＝∠D+∠AOD，
∴∠D＝＝＝25°，
∴∠CBO＝25°，
∴∠CBA＝50°，
又∵∠BAC+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝180°﹣100°﹣50°＝30°，
故答案为30°．
三、解答题：（共62分）
17．（10分）计算：
（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2；
（2）[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m．
【考点】整式的混合运算．
【答案】（1）﹣2x8；
（2）﹣m+n．
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；
（2）先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2
＝x8﹣4x8+x8
＝﹣2x8；
（2）[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m
＝（m2﹣n2+m2﹣2mn+n2﹣4m2+4mn）÷2m
＝（﹣2m2+2mn）÷2m
＝﹣m+n．
18．（5分）已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用多项式乘以多项式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．
【解答】解：原式＝4x2﹣25+2x2﹣2x＝6x2﹣2x﹣25，
∵3x2﹣x﹣1＝0，
∴3x2﹣x＝1．
∴原式＝2（3x2﹣x）﹣25＝2×1﹣25＝﹣23．
19．（6分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有 4 个；
（3）求△ABC的面积．
（4）在直线l上找到一点Q，使QB+QC的值最小．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【答案】（1）见解答；
（2）4；
（3）5；
（6）见解答．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）利用网格，作线段AB的垂直平分线，所经过的格点即为满足条件的点P的位置；
（3）根据割补法即可求得三角形的面积；
（4）连接CB1，交直线l于点Q，连接BQ，此时QB+QC的值最小．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）由图可知，P1，P2，P3，P4满足到点A，B的距离相等，
∴网格中满足条件的点P有4个．
故答案为：4；
（3）S＝5；
（4）如图，点Q即为所求．
20．（5分）如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，它们相交于点F，∠BAC＝58°，∠C＝72°，求∠DAC和∠AFB的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】由高线可得∠ADC＝90°，由三角形的内角和可求得∠ABC＝50°，∠DAC＝18°，从而可求得∠BAD＝40°，再利用角平分线的定义可得∠ABF＝25°，再次利用三角形的内角和即可求∠AFB的度数．
【解答】解：∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝58°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，
∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝18°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝40°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠ABC＝25°，
∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAD＝115°．
21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF＝∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F．
（1）求证：∠BED＝∠FDC；
（2）若DE＝DF，求证：BE＝CD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论；
（2）根据全等三角形 的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE，∠FDC＝180°﹣∠EDF﹣∠BDE，∠EDF＝∠B，
∴∠BED＝∠FDC；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE与△CFD中，
，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴BE＝CD．
22．（7分）（1）填空： 2 ＝+ 2 ；
（2）若，则＝ 23 ；
（3）若a2﹣3a+1＝0．求的值．
【考点】分式的化简求值；完全平方公式．
【答案】（1）2，2；
（2）23；
（3）7．
【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）根据（1）中结论计算，得到答案；
（3）根据等式的性质得到a+＝3，计算即可．
【解答】解：（1）∵（x+）2＝x2+2+，（x﹣）2＝x2﹣2+，
∴x2+＝（x+）2﹣2＝（x﹣）2+2，
故答案为：2，2；
（2）∵a+＝5，
∴（a+）2＝25，
∴a2+＝（a+）2﹣2＝23，
故答案为：23；
（3）∵a2﹣3a+1＝0，
∴a2+1＝3a，
∴a+＝3，
∴（a+）2＝9，
∴a2+＝（a+）2﹣2＝7．
23．（6分）在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；
②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝1，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值；完全平方公式的几何背景；完全平方式．
【答案】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy；
（2）①13；
②2．
【分析】（1）利用面积法进行计算，即可解答；
（2）①利用（1）的结论可得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，然后进行计算即可解答；
②设2021﹣c＝a，c﹣2019＝b，则a+b＝2，ab＝1，然后利用（1）的结论进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：阴影部分的面积＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
即x2+y2＝（x+y）2﹣2xy；
（2）①由（1）可得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∵a2+b2＝10，a+b＝6，
∴10＝36﹣2ab，解得：ab＝13；
②设2021﹣c＝a，c﹣2019＝b，
∴a+b＝2021﹣c+c﹣2019＝2，
∵（2021﹣c）（c﹣2019）＝1，
∴ab＝1，
∵（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝4﹣2×1
＝4﹣2
＝2．
24．（6分）如图，在长方形纸片ABCD中，点P在边BC上，将长方形纸片沿AP折叠后，点B的对应点为点B′，PB′交AD于点Q．
（1）判断∠DAP和∠APQ的大小关系，并说明理由；
（2）连结PD，若PD平分∠QPC，∠PDA＝55°，求∠APB的度数．
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用折叠的性质可得∠APB＝∠APQ，然后利用长方形的性质可得AD∥BC，从而可得∠APB＝∠DAP，进而可得∠DAP＝∠APQ，即可解答；
（2）先利用角平分线的性质可得∠DPC＝∠DPQ，然后利用平行线的性质可得∠DPC＝∠PDA＝55°，从而可得∠DPQ＝∠DPC＝55°，再利用平角定义可得∠BPQ＝70°，从而可得∠APB＝35°，即可解答．
【解答】解：（1）∠DAP＝∠APQ，
理由：∵长方形纸片ABCD沿AP折叠，
∴∠APB＝∠APQ，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠APB＝∠DAP，
∴∠DAP＝∠APQ；
（2）∵PD平分∠QPC，
∴∠DPC＝∠DPQ，
∵AD∥BC，
∴∠DPC＝∠PDA＝55°，
∴∠DPQ＝∠DPC＝55°，
∴∠BPQ＝180°﹣∠DPC﹣∠DPQ＝70°，
∵∠APB＝∠QPA，
∴．
25．（7分）在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．
（1）如图1，若∠C＝32°，则∠AOB＝ 106° ；
（2）如图2，连结OC，求证：OC平分∠ACB；
（3）如图3，若∠ABC＝2∠ACB，AB＝4，AC＝7，求OB的长．
【考点】三角形综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠C＝148°，根据角平分线的定义得到∠BAO+∠ABO＝（∠BAC+∠ABC）＝，根据三角形 的内角和定理得到∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）＝180°﹣74°＝106°；
（2）如图2，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G，根据角平分线的性质和角平分线的定义即可得到结论；
（3）解：在AC上截取AM＝AB，连接OM，根据角平分线的定义得到∠BAO＝∠MAO，根据全等三角形的性质得到OM＝OB，∠AMO＝∠ABO，根据等腰三角形 的判定和性质即可得到结论．
【解答】（1）解：∵∠C＝32°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠C＝148°，
∵AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAO＝BAC，∠ABO＝ABC，
∴∠BAO+∠ABO＝（∠BAC+∠ABC）＝，
∴∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）＝180°﹣74°＝106°，
故答案为：106°；
（2）证明：如图2，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G，
∵AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC，
∴OE＝OF，OE＝OG，
∴OF＝OG，
∴OC平分∠ACB；
（3）解：在AC上截取AM＝AB，连接OM，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠MAO，
∵AO＝AO，
∴△BAO≌△MAO（SAS），
∴OM＝OB，∠AMO＝∠ABO，
∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABO＝ABC，∠ACO＝ACB，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠ABO＝2∠ACO，
∴∠AMO＝∠MOC+∠MCO＝2∠ACO，
∴∠MOC＝∠MCO，
∴OM＝CM＝AC﹣AM＝AC﹣AB＝3，
∴OB＝3．
26．（5分）（1）【问题提出】如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE，已知∠ACD＝∠B＝∠E＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在一条直线上，AB＝5，DE＝6.5，则BE的长度为 11.5 ．
（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．
（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流BD的周边规划一个四边形ABCD巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，AC＝BC，△ACD面积为12km2，且CD的长为6km，则河流另一边森林公园△BCD的面积为 6 km2．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）11.5；
（2）8；
（3）6．
【分析】（1）证明△ABC≌△CED（AAS），得AB＝CE＝5，BC＝ED＝6.5，进而可以解决问题；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，证明△ABC≌△CED（AAS），得BC＝ED＝4，进而可以求△BCD的面积；
（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，根据△ACD面积为12km2，且CD的长为6km，得AE＝4km，证明△ADE是等腰直角三角形，再根据∠ABC＝∠CAB＝45°，可得∠ACB＝90°，AC＝BC，证明△ACE≌△CBF（AAS），可得BF＝CE＝2km，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠B＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE＝5，CB＝DE＝6.5，
∴BE＝CB+CE＝11.5；
故答案为：11.5；
（2）如图，过D作DE⊥BC交BC延长线于E，
∵CD⊥AC，
∴∠E＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝ED＝4，
∴S△BCD＝BC•DE＝8；
（3）如图，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，
∵△ACD面积为12km2，且CD的长为6km，
∴6•AE＝12，
∴AE＝4km，
∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝4km，
∴CE＝CD﹣DE＝2km，
∵∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴BF＝CE＝2km，
∴S△BCD＝CD•BF＝6×2＝6（km2）．
∴河流另一边森林公园△BCD的面积为6km2．
故答案为：6．
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