2025厦门、泉州五校高二上学期11月期中联考试题数学含解析

这是一份2025厦门、泉州五校高二上学期11月期中联考试题数学含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高玉华 审核人：黄文根 ）
试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题，共58分）
一、单选题:（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2. 椭圆上一点P到左焦点距离为6，则P到右焦点的距离为（ ）
A. 5B. 6C. 4D. 12
3. “”是“直线与圆：相切”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分条件也不必要条件
4. 下列命题中，不正确的命题是（ ）
A. 空间中任意两个向量一定共面
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底
5. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ）
A. B. C. 3D.
6. 在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（ ）
A. B. 2C. D. 4
7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）
A. B. 点关于平面对称点的坐标为
C. 若，则D. 若，，则
10. 如图，在棱长为2正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（ ）
A. 直线与所成角的余弦值为B. 点F到直线的距离为1
C. 平面D. 点到平面的距离为
11. 已知椭圆，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A. 存在P使得B. 椭圆C的弦MN被点平分，则
C. ，则的面积为9D. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为_______．
13. 已知F为椭圆的一个焦点，点M在C上，O为坐标原点，若，则的面积为________．
14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______．
四、解答题:(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求顶点的坐标.
16. 已知空间三点，，．
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）求的面积.
17. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程．
18. 已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣，0），点在椭圆上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程.
19. 已知为坐标原点，圆：，直线：（），如图，直线与圆相交于（在轴的上方），两点，圆与轴交于两点（在的左侧），将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）若．
（ⅰ）求三棱锥体积；
（ⅱ）求二面角的余弦值．
（2）是否存在，使得折叠后长度与折叠前的长度之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
厦泉五校2024-2025学年高二年级第一学期期中联考
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高玉华 审核人：黄文根 ）
试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题，共58分）
一、单选题:（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求值即可.
【详解】因为.
故选：B
2. 椭圆上一点P到左焦点的距离为6，则P到右焦点的距离为（ ）
A. 5B. 6C. 4D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的定义求解即得.
【详解】由，则，所以，
根据椭圆的定义，点到右焦点的距离为.
故选：C.
3. “”是“直线与圆：相切”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分条件也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据相切关系可得或，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】圆：的圆心为，半径为，
若直线与圆相切，则，解得或，
且是的真子集，
所以“”是“直线与圆：相切”的充分不必要条件．
故选：A.
4. 下列命题中，不正确的命题是（ ）
A. 空间中任意两个向量一定共面
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底
【答案】B
【解析】
【分析】根据共面向量、向量平行、四点共面、基底等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，空间中任意两个向量可以通过平移的方法平移到同一个平面，
所以空间中任意两个向量一定共面，A选项正确.
B选项，若，可能是非零向量，是零向量，
此时不存在，使，所以B选项错误.
C选项，对于，有，所以四点共面，
所以C选项正确.
D选项，若是空间的一个基底，，
假设，，
则共面，与已知矛盾，所以不共面，
所以是基底，所以D选项正确.
故选：B
5. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平方即可求解.
【详解】由题意可知：，
则
，
所以.
故选：A.
6. 在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先求出直线过定点，由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，求解即可.
【详解】直线：过定点，
圆：，圆心，半径
因为点在圆内，由圆的几何性质可知，当直线时，
弦长最短为，
故选：C

7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率.
【详解】由椭圆定义得：，又因为，
所以解得：，
再由于，，结合勾股定理可得：
，解得，所以椭圆的离心率为，
故选：C.
8. 如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在原正方体中建立空间直角坐标系，由空间向量求解
【详解】由题意得该几何体有6个面为边长为的正方形，8个面为边长为的等边三角形，
在原正方体中建立如图所示空间直角坐标系，原正方体边长为2，
则，，，设，
，，
则直线DE与直线AF所成角的余弦值，
而，故，，

故选： C.
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）
A. B. 点关于平面对称的点的坐标为
C. 若，则D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算计算判断A．由对称点的性质判断B，由向量的数量积是否为0判断C，由向量平行的坐标表示求参判断D，
【详解】由题意，A正确；
关于平面对称的点的坐标坐标相同，坐标相反，因此点关于平面对称的点的坐标为，B错，
若，则，所以，C正确；
若且，则，解得，D正确，
故选：ACD．
10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（ ）
A. 直线与所成角的余弦值为B. 点F到直线的距离为1
C. 平面D. 点到平面的距离为
【答案】BC
【解析】
【分析】建系，利用空间向量求异面直线夹角、点到线的距离、判断线面垂直以及点到面的距离.
【详解】如图，以坐标原点建立空间直角坐标系，

则，
且E，F，G分别为棱，，的中点，可知，
可得，
对于选项A：因，
所以直线与所成角的余弦值为，故A错误；
对于选项B：因为在方向上的投影向量的模长为，且，
点F到直线的距离为，故B正确；
对于选项C：因为，可得，
且，平面，所以平面，故C正确；
对于选项D：因为平面的法向量可以为，
点到平面的距离为，故D错误；
故选：BC.
11. 已知椭圆，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A. 存在P使得B. 椭圆C的弦MN被点平分，则
C. ，则的面积为9D. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据余弦定理结合余弦定理求出范围判断A；根据点差法求中点弦的斜率判定B；根据勾股定理和面积公式求解判断C；根据斜率公式及点P在椭圆上求解斜率之积判断D.
【详解】对于A.由余弦定理知
，
当且仅当时，等号成立，
因为在上递减，所以此时为钝角最大，
所以存在P使得，所以A正确；
对于B.当直线MN的斜率不存在，即直线时，，
不是线段MN的中点，所以直线MN的斜率存在.
设，则，两式相减并化简得，所以，所以B正确；
对于C.，，
因为，所以，
因为，解得.
因为，所以，所以C正确；
对于D.，设，则，整理得，
可得直线PA，PB的斜率分别为，
所以，所以D错误.
故选：ABC.

第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线的方向向量与直线斜率之间的关系分析求解即可.
【详解】由题意可知，直线的斜率为.
故答案为：.
13. 已知F为椭圆的一个焦点，点M在C上，O为坐标原点，若，则的面积为________．
【答案】##
【解析】
【分析】法一：直接设出坐标为，利用在椭圆上以及得到关于的方程组，从而解出，进而求出的面积.
法二：利用，推导出与两焦点构成的三角形为直角三角形，再求出该直角三角形面积，从而利用几何关系得出的面积.
【详解】法一：设椭圆上，则，又，联立解得，，
则．
法二：设椭圆的另一焦点，，则焦点为直角三角形，
设，，则，，解得，
所以.
则．
故答案为：12
14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】设Px,y，根据求出点的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.
【详解】设Px,y，因为点，，，
所以，即，
所以，可得圆心，半径，
由圆可得圆心，半径，
因为在圆上存在点满足，
所以圆与圆有公共点，
所以，整理可得：，
解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：.
四、解答题:(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求顶点的坐标.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用垂直关系求出直线的斜率，进而求出其方程.
（2）求出直线的交点坐标即可.
【小问1详解】
由边上的高所在直线的斜率为1，得直线的斜率为，
又直线过，所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
由直线的方程为，而顶点为直线与直线的交点，
由，解得，
所以点.
16. 已知空间三点，，．
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量数量积与模长的坐标表示可得向量夹角余弦值；
（2）根据夹角余弦值可得正弦值，进而可得三角形面积.
【小问1详解】
由，，，
则，，，，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，
则，
所以.
17. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆的方程为，由题意，列出方程组，求解得的值，即可写出圆的方程；
（2）分直线的斜率是否存在进行讨论，斜率不存在时，联立方程求出点的坐标，计算弦长验证，斜率存在时，设的方程为，由圆心到直线的距离等于半径求出的值即得.
【小问1详解】
设圆方程为，
由已知得，
解得，，，
所以圆的方程为，即；
【小问2详解】
① 若直线有斜率，可设的方程为，即，
由已知，则圆心到直线的距离
解得，
此时，直线的方程为，即；
② 若直线没有斜率，则的方程为，
将其代入，可得或，
即得，，满足条件，
综上所述，直线的方程为或．
18. 已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣，0），点在椭圆上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程.
【答案】（1）+y2=1；（2）x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0.
【解析】
【分析】（1）由已知可得椭圆的左、右焦点坐标，而点在椭圆上，所以|MF1|+|MF2|=2a，从而可求出的值，再由可求出，从而可求得椭圆C的标准方程；
（2）设，由题可设直线AB的方程为x=my+1，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x，利用根与系数的关系，从而可表示出△AOB的面积，列方程可求出的值，进而可得直线AB的方程.
【详解】解：（1）根据题意，设椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），
因为椭圆的左焦点为F1（﹣，0），设椭圆的右焦点为F2（，0），
由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2，
所以，
所以椭圆C的方程为 +y2=1，
（2）设，
由题可设直线AB的方程为x=my+1.
联立直线与椭圆的方程，，消去x得（4+m2）y2+2my﹣3=0，
则有，
所以
又由S=，即
解得m2=1，即m=±1.
故直线AB的方程为x=±y+1，即x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0
19. 已知为坐标原点，圆：，直线：（），如图，直线与圆相交于（在轴的上方），两点，圆与轴交于两点（在的左侧），将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）若．
（ⅰ）求三棱锥的体积；
（ⅱ）求二面角的余弦值．
（2）是否存在，使得折叠后的长度与折叠前的长度之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）由已知，可得，，即可求得求三棱锥的体积；
（ⅱ）求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，
利用向量的坐标运算即可求得二面角的余弦值．
（2）分别求出折叠前的长度与折叠后的长度，比为时，求得，可得答案.
【小问1详解】
（ⅰ）若，折叠前直线的方程为，
联立，解得或，可得，，
圆：，与轴交于两点，则，
折叠后三棱锥的体积为．
（ⅱ）由（ⅰ）及已知，则，，，，
，．
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，所以．
易知为平面的一个法向量，
设二面角的大小为，由题可知为锐角，
所以
故二面角的余弦值为．
【小问2详解】
设折叠前Ax1,y1，Bx2,y2，圆心到直线的距离，
则，
直线与圆方程联立得，
即，．
设，在新图形中的对应点分别为，
，，
．
若折叠后的长度与折叠前的长度之比为，
则，解得，
故当时，折叠后的长度与折叠前的长度之比为．
【点睛】关键点点睛：（2）由几何法求出折叠前的长度，直曲联立，消元后得韦达定理，利用弦长公式求得折叠后的长度，令它们之比为时，求得，可得答案.