2023-2024学年河北省保定市八年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年河北省保定市八年级（上）期末数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）第19届杭州亚运会，中国代表团共获得201枚金牌，这是中国代表团连续11次领跑亚运会金牌榜．下面四张图分别是四届亚运会会徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．x≠﹣1C．x＝﹣1D．x≤﹣1
3．（3分）用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ）
A．1cm、2cm、3cmB．4cm、4cm、8cm
C．2cm、6cm、5cmD．3cm、5cm、9cm
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+3a＝4a2B．a3•a2＝a6
C．（2a）4＝16a4D．a10÷a2＝a5
5．（3分）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3
C．x2•5x＝5x3D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
6．（3分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，阴影部分的面积为2，则△ABC的面积是（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．（2分）细菌、病毒、支原体感染都会引起呼吸系统感染，支原体是比细菌小，比病毒大的微生物，直径在150nm～300nm（1nm＝10﹣9m），数据300nm用科学记数法表示为（ ）
A．3×10﹣7mB．3×10﹣6mC．300×10﹣9mD．3×10﹣8m
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（ ）
A．30B．15C．20D．27
9．（2分）如图，把△ABC沿EF折叠，折叠后的图形如图所示，∠A＝50°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
10．（2分）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为10cm，∠D′＝30°，则四边形的面积减少了（ ）
A．50cm2B．C．100cm2D．
11．（2分）已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（ ）
A．2B．6C．4D．8
12．（2分）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若△ADE的周长为15，AC＝7，则AB的长为（ ）
A．4B．8C．9D．10
13．（2分）若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜1B．m＞1C．m＜1且m≠﹣2D．m＞1且m≠3
14．（2分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ）
A．快马的速度B．慢马的速度
C．规定的时间D．以上都不对
15．（2分）如图，∠A＝∠EGF，F为BE，CG的中点，DB＝5，DE＝8，则AD的长为（ ）
A．1.5B．2C．3D．5.5
16．（2分）如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为x°，内圈的夹角为y°，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是n＝3或4，乙的结果是n＝5或6，则（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙两人的结果合在一起才正确
D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．（2分）分解因式：3x2﹣12＝ ．
18．（4分）规定一种新运算，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为23＝8，所以2※8＝3．根据上述运算填空：
（1）＝ ．
（2）＝ ．
19．（4分）（1）如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，线段BE和CD之间的数量关系为 ．
（2）如图2，AO⊥MN，垂足为O，AO＝6，B为直线MN上一动点，以AB为边向右作等边△ABC，则线段OC的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）老师在黑板上写了一道例题及部分解答过程，随后用手遮住了括号内的二项式，如下：
n（）﹣（n+2）（n﹣2）
＝n2﹣8n﹣（n2﹣4）
＝____．
（1）被遮住的二项式为 ．
（2）将该例题的解答过程书写完整．
21．（9分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（3，5），C（4，3）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请在网格中画出△A1B1C1，并写出△A1B1C1的顶点坐标：A1 ，B1 ，C1 ．
（2）△ABC的面积为 ．（直接写出结果）
（3）若P为y轴上一点，当PA+PB的值最小时，此时点P的坐标是 ．
22．（9分）下面是学习了分式混合运算后，甲、乙两名同学解答一道题目中第一步的做法．
（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ．（填序号）
①等式的基本性质；
②分式的基本性质；
③乘法分配律；
④乘法交换律．
（2）请选择其中一名同学的做法，完成解答过程．
我选择 同学．
23．（10分）数学活动课上，老师利用平分角的仪器的工作原理引入了角的平分线的尺规作图的课程．小明受此问题启发，利用轴对称性又发现了一种作角平分线的方法（如图）．请仔细阅读并完成相应任务．
【作法】
①以点M为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于点A，B；
②再以点M为圆心，另一个半径长画弧，交角的两边于点C，D；
③连接BC，AD交于点E；
④作射线ME．
射线ME即为∠AMB的平分线．
【任务】
（1）由尺规作图可直接得到线段相等的有：MA＝MB和 ．
（2）由（1）中的条件，可证△MAD≌△MBC，依据是 ．（填判定方法）
（3）如果把（2）中已得的△MAD≌△MBC作为条件，求证：ED＝EC．
24．（10分）学校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让嘉嘉和淇淇到超市购买笔记本和笔作为奖品．二人与老师的对话信息如下：
嘉嘉说：每本笔记本比每支笔贵2元．
淇淇说：用100元购买笔记本的数量与用80元购买笔的数量相同．
（1）分别求笔记本和笔的单价．
（2）本次活动需要两种奖品共20个，总费用不超过180元，问最多可购买笔记本多少本？
25．（12分）“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：人教版八年级上册的数学教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
（1）观察图2，请直接写出一个多项式进行因式分解的等式： ．
（2）如图3，这是2002年北京世界数学家大会的会标，会标是用边长分别为a，b，c的四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，利用这一图形可以推导出一个关于a，b，c的结论．请写出该结论，并写出推导过程．
（3）有两个大小不同的正方形A和B，现将A，B并列放置后构造新的正方形得到图4，其阴影部分的面积为22；将B放在A的内部得到图5，其阴影部分（正方形）的面积为9．则正方形A，B的面积之和为 ．
26．（13分）【论证】
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE．
【尝试】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（2，0），点C在第二象限，∠BAC＝90°，AB＝AC．请直接写出点C的坐标： ．
【拓展】
（3）在（2）的条件下，点M在第一象限，且△MAB为等腰直角三角形．请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
2023-2024学年河北省保定市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）第19届杭州亚运会，中国代表团共获得201枚金牌，这是中国代表团连续11次领跑亚运会金牌榜．下面四张图分别是四届亚运会会徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．x≠﹣1C．x＝﹣1D．x≤﹣1
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：根据题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
3．（3分）用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ）
A．1cm、2cm、3cmB．4cm、4cm、8cm
C．2cm、6cm、5cmD．3cm、5cm、9cm
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、1+2＝3，长度是1cm、2cm、3cm的三根木棒不能做成三角形框架，故A不符合题意；
B、4+4＝8，长度是4cm、4cm、8cm的三根木棒不能做成三角形框架，故B不符合题意；
C、2+5＞6，长度是5cm、2cm、6cm的三根木棒能做成三角形框架，故C符合题意；
D、3+5＜9，长度是3cm、5cm、9cm的三根木棒不能做成三角形框架，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+3a＝4a2B．a3•a2＝a6
C．（2a）4＝16a4D．a10÷a2＝a5
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a+3a＝4a，故此选项不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故此选项不符合题意；
C、（2a）4＝16a4，故此选项不符合题意；
D、a10÷a2＝a8，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5．（3分）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3
C．x2•5x＝5x3D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
【解答】解：A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．x2•5x＝5x3，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，阴影部分的面积为2，则△ABC的面积是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形得S△EBD＝S△ECD＝S△ABE＝S△ACE，据此可得△ABC的面积．
【解答】解：∵阴影部分的面积为2，
∴S△EBD+S△ACE＝2，
在△ABC中，D是BC的中点，
∴AD为△ABC的中线，ED为△EBC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，S△EBD＝S△ECD，
∴S△ABD﹣S△EBD＝S△ACD﹣S△ECD，
∴S△ABE＝S△ACE，
∵点E为AD的中点，
∴CE是△ACD的中线，
∴S△ACE＝S△ECD，
∴S△EBD＝S△ECD＝S△ABE＝S△ACE，
∴S△ABC＝2（S△EBD+S△ACE）＝2×2＝4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形是解决问题的关键．
7．（2分）细菌、病毒、支原体感染都会引起呼吸系统感染，支原体是比细菌小，比病毒大的微生物，直径在150nm～300nm（1nm＝10﹣9m），数据300nm用科学记数法表示为（ ）
A．3×10﹣7mB．3×10﹣6mC．300×10﹣9mD．3×10﹣8m
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：300nm＝300×10﹣9m＝3×10﹣7m．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（ ）
A．30B．15C．20D．27
【分析】过D作DH⊥AB于H，由角平分线的性质推出DH＝DC＝3，而AB＝10，即可求出△ABD的面积＝AB•DH＝15．
【解答】解：过D作DH⊥AB于H，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DH＝DC＝3，
∵AB＝10，
∴△ABD的面积＝AB•DH×10×3＝15．
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到DH＝DC＝3．
9．（2分）如图，把△ABC沿EF折叠，折叠后的图形如图所示，∠A＝50°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
【分析】先根据三角形内角和定理得出∠AEF+∠AFE的度数，故可得出∠BEF+∠CFE的度数，由翻折变换的性质得出∠B′EF+C′FE＝∠BEF+∠CFE，据此得出结论．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣50°＝130°，
∴∠BEF+∠CFE＝360°﹣130°＝230°，
∵四边形B′EFC′由四边形BEFC翻折而成，
∴∠B′EF+C′FE＝∠BEF+∠CFE＝230°，
∴∠1+∠2＝（∠B′EF+C′FE）﹣（∠AEF+∠AFE）＝230°﹣130°＝100°．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及翻折变换，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．
10．（2分）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为10cm，∠D′＝30°，则四边形的面积减少了（ ）
A．50cm2B．C．100cm2D．
【分析】过点A′H⊥BC于H，由题意得四边形A′BCD′是菱形，根据含30度直角三角形的性质求出A′H，分别求出正方形ABCD的面积和菱形A′BCD′的面积，即可得的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝10cm，
∴正方形ABCD的面积＝100cm2，AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，
由题意知A′B＝BC＝CD′＝A′D′＝10cm，
∴四边形A′BCD′是菱形，
∴∠A′BC＝∠D′＝30°，
过点A′H⊥BC于H，
∴∠A′HB＝90°，
∴A′H＝A′B＝5cm，
∴菱形A′BCD′的面积＝BC•A′H＝10×5＝50（cm2），
∵正方形ABCD的面积﹣菱形A′BCD′的面积＝50cm2，
∴四边形的面积减少了50cm2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，证得四边形A′BCD′是菱形是解决问题的关键．
11．（2分）已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（ ）
A．2B．6C．4D．8
【分析】先把原式进行因式分解，再把m+n＝2代入进行计算即可．
【解答】解：∵m+n＝2，
∴原式＝（m+n）（m﹣n）+4n
＝2（m﹣n）+4n
＝2m﹣2n+4n
＝2（m+n）
＝2×2
＝4．
故选：C．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，解答此题的关键是利用因式分解的方法把原式化为已知条件的形式，再把m+n＝2代入进行计算．
12．（2分）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若△ADE的周长为15，AC＝7，则AB的长为（ ）
A．4B．8C．9D．10
【分析】利用基本作图得到AD＝AC＝7，MN垂直平分BD，则根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，然后利用等线段代换，根据△ADE的周长为15可计算出AB的长．
【解答】解：由作法得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∵△ADE的周长为15，
∴AE+DE+AD＝15，
∴AE+BE+7＝15，
即AB+7＝15，
解得AB＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
13．（2分）若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜1B．m＞1C．m＜1且m≠﹣2D．m＞1且m≠3
【分析】先解分式方程为x＝m﹣1，再由方程的解是正实数，可得m﹣1＞0且m﹣1≠2，求出m的范围即可．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：m﹣3＝x﹣2，
解得x＝m﹣1，
∵分式方程的解为正实数，
∴m﹣1＞0且m﹣1≠2，
解得m＞1且m≠3．
故选：D．
【点评】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
14．（2分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ）
A．快马的速度B．慢马的速度
C．规定的时间D．以上都不对
【分析】由快、慢马速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出x表示规定的时间．
【解答】解：∵快马的速度是慢马的2倍，所列方程为，
∴表示慢马的速度，表示快马的速度；
∵把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，
∴x表示规定的时间．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出x的含义是解题的关键．
15．（2分）如图，∠A＝∠EGF，F为BE，CG的中点，DB＝5，DE＝8，则AD的长为（ ）
A．1.5B．2C．3D．5.5
【分析】由F为BE，CG的中点，得EF＝BF，GF＝CF，而∠EFG＝∠BFC，即可根据“SAS”证明△EFG≌△BFC，得GE＝CB，∠EGF＝∠C，因为∠A＝∠EGF，∠AGD＝∠EGF，所以∠A＝∠AGD＝∠C，则AD＝GD，AB＝CB＝GE，所以DE＝GD+GE＝2AD+DB，则2AD+5＝8，求得AD＝1.5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵F为BE，CG的中点，
∴EF＝BF，GF＝CF，
在△EFG和△BFC中，
，
∴△EFG≌△BFC（SAS），
∴GE＝CB，∠EGF＝∠C，
∵∠A＝∠EGF，∠AGD＝∠EGF，
∴∠A＝∠AGD＝∠C，
∴AD＝GD，AB＝CB，
∴GE＝AB，
∴DE＝GD+GE＝AD+AB＝AD+AD+DB＝2AD+DB，
∵DB＝5，DE＝8，
∴2AD+5＝8，
解得AD＝1.5，
故选：A．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，证明△EFG≌△BFC是解题的关键．
16．（2分）如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为x°，内圈的夹角为y°，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是n＝3或4，乙的结果是n＝5或6，则（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙两人的结果合在一起才正确
D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确
【分析】正六边形的一个内角为120°，根据周角的定义有，x+y＝360°﹣2×120°＝120°，得y＝，再讨论即可得n的值．
【解答】解：∵正六边形的一个内角为＝120°，
∴x+y＝360°﹣2×120°＝120°，
∵y°为正n边形的一个内角为度数，
∴y＝，
当n＝3时，y＝60°，则x＝60°，
当n＝4时，y＝90°，则x＝30°，
当n＝5时，y＝108°，则x＝12°，
当n＝6时，y＝120°，x＝0°，
则n的值为3或4或5或6．
即甲、乙两人的结果合在一起才正确，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角．注意求正多边形的内角常常转化到求外角来计算．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．（2分）分解因式：3x2﹣12＝ 3（x﹣2）（x+2） ．
【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣4）
＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．
18．（4分）规定一种新运算，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为23＝8，所以2※8＝3．根据上述运算填空：
（1）＝ ﹣2 ．
（2）＝ 1 ．
【分析】（1）根据题目中的定义，可以计算出所求式子的值；
（2）根据题目中的定义，可以计算出所求式子的值．
【解答】解：（1）∵2﹣2＝，
∴＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）∵2﹣2＝，43＝64，
∴
＝﹣2+3
＝1，
故答案为：1
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
19．（4分）（1）如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，线段BE和CD之间的数量关系为 BE＝CD ．
（2）如图2，AO⊥MN，垂足为O，AO＝6，B为直线MN上一动点，以AB为边向右作等边△ABC，则线段OC的最小值为 3 ．
【分析】（1）根据SAS证明△DAC≌△BAE，即可得出线段BE和CD之间的数量关系；
（2）以AO为一边在AO的左边作等边△AOE，作ED⊥MN于点D，连接BE，根据SAS证明△EAB≌△OAC即可得出，求出OE的最小值即可．
【解答】解：（1）∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB．AE＝AC．∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD．
故答案为：BE＝CD；
（2）以AO为一边在AO的左边作等边△AOE，作ED⊥MN于点D，连接BE，
∵△ABC，△AEO都是等边三角形，
∴AO＝EO＝6，AB＝AC，∠BAC＝∠OAE＝60°，
∴∠EAB＝∠OAC．
∴△EAB≌△OAC（SAS），
∴BE＝OC，
∴点B与点D重合时，线段OC取得最小值：
∵∠AOB＝90°，∠AOE＝60°，
∴∠EOD＝30°，
∴DE＝EO＝3，
∴线段OC的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）老师在黑板上写了一道例题及部分解答过程，随后用手遮住了括号内的二项式，如下：
n（）﹣（n+2）（n﹣2）
＝n2﹣8n﹣（n2﹣4）
＝____．
（1）被遮住的二项式为 n﹣8 ．
（2）将该例题的解答过程书写完整．
【分析】（1）根据n乘二项式的结果，用除法求出答案；
（2）把（1）的结果填写整式的例题中，再按照整式加减的计算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）（n2﹣8n）÷n＝n﹣8．
故答案为：n﹣8．
（2）n（n﹣8）﹣（n+2）（n﹣2）
＝n2﹣8n﹣n2+4
＝﹣8n+4．
【点评】本题考查了整式的加减，解题的关键是根据乘法之间各部分的关系求出二项式．
21．（9分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（3，5），C（4，3）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请在网格中画出△A1B1C1，并写出△A1B1C1的顶点坐标：A1 （1，﹣1） ，B1 （3，﹣5） ，C1 （4，﹣3） ．
（2）△ABC的面积为 4 ．（直接写出结果）
（3）若P为y轴上一点，当PA+PB的值最小时，此时点P的坐标是 （0，2） ．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）作A点关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P点，如图，则PA′＝PA，所以PA+PB＝BA′，利用两点之间线段最短可判断此时P点满足条件，然后写出P点坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求．A1（1，﹣1），B1（3，﹣5），C1（4，﹣3）；
故答案为：（1，﹣1），（3，﹣5），（4，﹣3）；
（2）△ABC的面积＝3×4﹣×1×2﹣×2×3﹣×4×2＝4；
故答案为：4；
（3）作A点关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P点，如图，
P（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形面积公式和最短路径问题．
22．（9分）下面是学习了分式混合运算后，甲、乙两名同学解答一道题目中第一步的做法．
（1）甲同学解法的依据是 ③ ，乙同学解法的依据是 ② ．（填序号）
①等式的基本性质；
②分式的基本性质；
③乘法分配律；
④乘法交换律．
（2）请选择其中一名同学的做法，完成解答过程．
我选择 甲（或乙） 同学．
【分析】（1）观察甲，乙解法可得答案；
（2）分甲，乙把解答补充完整即可．
【解答】解：（1）甲同学解法的依据是乘法分配律，乙同学解法的依据是分式的基本性质；
故答案为：③；②；
（2）选择甲：
原式＝
＝
＝1；
选择乙：
原式＝
＝
＝•
＝1．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
23．（10分）数学活动课上，老师利用平分角的仪器的工作原理引入了角的平分线的尺规作图的课程．小明受此问题启发，利用轴对称性又发现了一种作角平分线的方法（如图）．请仔细阅读并完成相应任务．
【作法】
①以点M为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于点A，B；
②再以点M为圆心，另一个半径长画弧，交角的两边于点C，D；
③连接BC，AD交于点E；
④作射线ME．
射线ME即为∠AMB的平分线．
【任务】
（1）由尺规作图可直接得到线段相等的有：MA＝MB和 MC＝MD ．
（2）由（1）中的条件，可证△MAD≌△MBC，依据是 SAS（或边角边） ．（填判定方法）
（3）如果把（2）中已得的△MAD≌△MBC作为条件，求证：ED＝EC．
【分析】（1）根据作图过程即可求解；
（2）由（1）知，在△MAD和△MBC中，由MA＝MB，∠DMA＝∠CMB，MC＝MD，得到△MAD≌△MBC（SAS），即可求解；
（3）证明MD﹣MB＝MC﹣MA，即BD＝AC，用AAS证明△DBE≌△CAE，即可求解．
【解答】（1）解：根据作图过程知，MC＝MD，
故答案为：MC＝MD；
（2）解：由（1）知，在△MAD和△MBC中，
∵MA＝MB，∠DMA＝∠CMB，MC＝MD，
∴△MAD≌△MBC（SAS），
故答案为：SAS（或边角边）；
（3）证明：∵△MAD≌△MBC，
∴∠MDA＝∠MCB，MA＝MB，MC＝MD，
∴MD﹣MB＝MC﹣MA，即BD＝AC．
在△DBE和△CAE中，
，
∴△DBE≌△CAE（AAS），
∴ED＝EC．
【点评】本题为几何变换综合题，涉及到三角形全等，图象作图等，有一定的综合性，难度适中．
24．（10分）学校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让嘉嘉和淇淇到超市购买笔记本和笔作为奖品．二人与老师的对话信息如下：
嘉嘉说：每本笔记本比每支笔贵2元．
淇淇说：用100元购买笔记本的数量与用80元购买笔的数量相同．
（1）分别求笔记本和笔的单价．
（2）本次活动需要两种奖品共20个，总费用不超过180元，问最多可购买笔记本多少本？
【分析】（1）设笔的单价为x元，则笔记本的单价为（x+2）元，根据用100元购买笔记本的数量与用80元购买笔的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买笔记本m本，则购买笔（20﹣m）支，根据总费用不超过180元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设笔的单价为x元，则笔记本的单价为（x+2）元，
根据题意得：，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是分式方程的解，且符合题意，
∴x+2＝8+2＝10，
答；笔记本的单价为10元，笔的单价为8元；
（2）设购买笔记本m本，则购买笔（20﹣m）支，
根据题意得：10m+8（20﹣m）≤180，
解得：m≤10，
答：最多可以购买10本笔记本．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25．（12分）“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：人教版八年级上册的数学教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
（1）观察图2，请直接写出一个多项式进行因式分解的等式： x2+5x+6＝（x+2）（x+3） ．
（2）如图3，这是2002年北京世界数学家大会的会标，会标是用边长分别为a，b，c的四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，利用这一图形可以推导出一个关于a，b，c的结论．请写出该结论，并写出推导过程．
（3）有两个大小不同的正方形A和B，现将A，B并列放置后构造新的正方形得到图4，其阴影部分的面积为22；将B放在A的内部得到图5，其阴影部分（正方形）的面积为9．则正方形A，B的面积之和为 31 ．
【分析】（1）观察图形可得：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；
（2）由图可知，c2＝4×ab+（b﹣a）2，即可得：a2+b2＝c2；
（3）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图4中的阴影部分的面积为22得（a+b）2﹣a2﹣b2＝22，求出ab＝11，由图5中阴影部分的面积为9得（a﹣b）2＝9，即可得a2+b2＝9+2ab＝31．
【解答】解：（1）观察图形可得：x2+5x+6＝（x+2）（x+3），
故答案为：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；
（2）结论：a2+b2＝c2，
由图可知，S大正方形＝c2，S大正方形＝4S三角形+S小正方形＝4×ab+（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（b﹣a）2，
整理得：a2+b2＝c2；
（3）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图4中的阴影部分的面积为22可得：（a+b）2﹣a2﹣b2＝22，
∴ab＝11，
由图5中阴影部分的面积为9得：（a﹣b）2＝9，
∴a2﹣2ab+b2＝9，
∴a2+b2＝9+2ab＝9+2×11＝31，
∴正方形A．B的面积之和为31．
故答案为：31．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是用两种方法表示同一个图形的面积．
26．（13分）【论证】
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE．
【尝试】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（2，0），点C在第二象限，∠BAC＝90°，AB＝AC．请直接写出点C的坐标： （﹣6，4） ．
【拓展】
（3）在（2）的条件下，点M在第一象限，且△MAB为等腰直角三角形．请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△CAE；
（2）过点C作CD⊥y轴，垂足为D，如图，证明△AOB≌△CDA（ASA），由全等三角形的性质得出CD＝OA＝6，AD＝OB＝2，则可得出答案；
（3）分三种情况，由全等三角形的性质得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD．
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
（2）解：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，如图，
∵A（0，6），B（2，0），
∴OA＝6，OB＝2，
∵CD⊥y轴，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠CAD+∠BAO＝∠BAC＝90°，
∴∠BAO＝∠ACD，
∵AB＝AC，∠AOB＝∠ADC＝90°，
∴△AOB≌△CDA（ASA），
∴CD＝OA＝6，AD＝OB＝2，
∴OD＝OA﹣AD＝4，
∵点C在第二象限内，
∴C（﹣6，4）．
故答案为：（﹣6，4）；
（3）解：分三种情况：①如图1，当AM＝AB时，作MH⊥y轴，垂足为H，
∴∠AHM+∠AMH＝90°，
∵∠BAM＝90°，
∴∠MAH+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠AMH，
∴∠AOB＝∠AHM＝90°，AM＝AB，
∴△AOB≌△MHA（AAS），
∴MH＝OA＝6，AH＝OB＝2，
∴OH＝OA+AH＝6+2＝8，
∵点M在第一象限，
∴M（6，8）；
②如图2，当BA＝BM时，作MH⊥x轴，垂足为H，
同理可证△AOB≌△BHM（AAS），
∴BH＝OA＝6，MH＝OB＝2，
∴OH＝OB+BH＝8，
∵点M在第一象限，
∴M（8，2）；
③如图3，当MA＝MB时，MD⊥x轴，垂足为D，作AE⊥y轴，交直线DM于E，
同理可证△AEM≌△MDB，
∴BD＝ME，DM＝EA．
设BD＝ME＝a，DM＝EA＝b，
∵MD⊥x，AE⊥y，
∴∠BDE＝∠OAE＝∠AOB＝∠AHM，
∴四边形AODE为矩形，
∴OD＝AE，OA＝DE，
即2+a＝b，a+b＝6，
解得 a＝2，b＝4，
∴OD＝4，DM＝4，
∵点M在第一象限，
∴M（4.4）．
综上，满足条件的点M的坐标为（6，8）或（8，2）或（4，4）．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．计算：．
甲同学
解：原式＝
乙同学
解：原式＝
计算：．
甲同学
解：原式＝
乙同学
解：原式＝