沪科版九年级数学下册第24章圆单元复习题

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沪科版九年级数学下册第24章圆单元复习题一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A． B．C． D．2．已知⊙O的直径为4，点O到直线m的距离为2，则直线m与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断3．下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D．4．如图，A，B，C是⊙O上的三点，已知∠O＝60°，则∠C＝ （　　） A．20° B．25° C．30° D．45°5．如图，C是⊙O上一点，O是圆心．若∠AOB=80°，则∠ACB的度数为（　　）A．80° B．100° C．160° D．40°6．水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1 m．若管道中积水最深处为0.4 m，则水面宽度为（　　） A．0.8 m B．1.2 m C．1.6 m D．1.8 m7． ，过 、 两点画半径为 的圆，能画的圆的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个8．如图，点A，B，C在 上， ， ，则 的度数为 A． B． C． D．9．如图，原有一大长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若原来该大长方形的周长是120，则分割后不用测量就能知道周长的图形标号为（　　）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③10．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是（　　） A．120° B．135° C．150° D．165°二、填空题11．已知圆锥的高为 ，它的底面直径为 ，则这个圆锥的母线长为　 　 .12．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件 　 　．13．如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为　 　 cm.14．如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，E为⊙O上一点，连结CE，过C作CD⊥CE，交BE于点D，已知tanA＝ ，AB＝2 ，DE＝5，则tan∠ACE＝　 　． 三、解答题15．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠A=22.5°，CD=8cm，求⊙O的半径． 16．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上的一点距离水面的最大距离），求该圆的半径．17．如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．18．如图， 接 ，且AB为 的直径， ，与AC交于点E，与过点C的 切线交于点D.若 ， ，求OE的长. 19．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足为D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠ACD=30°，AD=4，求图中阴影部分的面积． 20．如图，点A、P、B、C是上的四个点，且．（1）证明：是正三角形．（2）若的半径是6，求正的边长．21．已知a、b是正实数，那么， 是恒成立的． （1）由 恒成立，说明 恒成立； （2）已知a、b、c是正实数，由 恒成立，猜测： 也恒成立； （3）如图，已知AB是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，PC⊥AB，垂足为C，AC=a，BC=b，由此图说明 恒成立． 22．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC= AB；（3）点M是 的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3．取BO的中点D，连接CD、MD和OC．（1）求证：CD是⊙M的切线；（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S△QAM= S△PDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形是中心对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意；C、是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；D、不是轴对称图形是中心对称图形，故不符合题意；故答案为：C.【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐一判断即可.2．【答案】B【解析】【解答】解： ⊙O的直径为4，点O到直线m的距离为2， 的半径 点O到直线m的距离 与直线m相切，故答案为：B.【分析】根据圆心到直线的距离和半径的大小关系来确定圆与直线的位置关系.3．【答案】C【解析】【解答】A、是轴对称图形，错误；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，正确；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误；故答案为：C.【分析】根据轴对称和中心对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，中心对称图形绕其中心点旋转180°后图形仍和原来图形重合.4．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠O与∠C是同弧所对的圆心角与圆周角，∠O=60°，∴∠C= ∠O= ×60°=30°.故答案为：C.【分析】同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，据此求解.5．【答案】D【解析】【解答】同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数的2倍.故答案为：D【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角一半可求解。6．【答案】C【解析】【解答】解：作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OB，如图所示：则AB=2BC，∠OCB=90°，OB=OD=1m，CD=0.4m，∴OC=OD-CD=0.6m，∴BC= = =0.8（m），∴AB=2AC=1.6m，∴排水管道截面的水面宽度为1.6m，故答案为：C．【分析】作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OB，再利用垂径定理和勾股定理求解即可。7．【答案】B【解析】【解答】解：这样的圆能画1个.如图：作 的垂直平分线 ，交 于 点，然后以 为圆心，以 为半径作圆，则 为所求；故答案为：B.【分析】作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以6cm为半径作圆，则○O为所求，据此解答.8．【答案】B【解析】【解答】解：∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=25°，∵ACA∥OB，∴∠BAC=∠ABO=25°，∵∠BAC和∠BOC所对的弧都是BC弧，则∠BOC=2∠BAC=50° 。故答案为：B【分析】∠BAC和∠BOC所对的弧都是BC弧，所以只要求出∠BAC的度数，问题就能解决。由半径相等得∠BAO=∠ABO=25°， 再由两直线平行内错角相等得∠BAC=∠ABO=25°。则∠BOC的度数可求。9．【答案】A【解析】【解答】解：如图，设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，∵原来该大长方形的周长是120，∴2（a+2b+c）=120．根据图示，可得 a=b+d①b=c+d② ，①﹣②，可得：a﹣b=b﹣c，∴2b=a+c，∴120=2（a+2b+c）=2×2（a+c）=4（a+c），或120=2（a+2b+c）=2×4b=8b，∴2（a+c）=60，4b=60，∵图形①的周长是2（a+c），图形②的周长是4b，∴图形①②的周长是定值，不用测量就能知道，图形③的周长不用测量无法知道．∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②．故选：A．【分析】首先设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，由于原来该大长方形的周长是120，得出2（a+2b+c）=120，a=b+d，b=c+d；然后分别判断出图形①、图形②的周长都等于原来大长方形的周长的 ，所以它们的周长不用测量就能知道，而图形③的周长不用测量无法知道，据此解答即可．10．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO= BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，故 的度数是150°．故选：C．【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．此题主要考查了翻折变换的性质以及弧度与圆心角的关系，正确得出∠BOD的度数是解题关键．11．【答案】13【解析】【解答】解：根据题意，底面的半径为： ，∴这个圆锥的母线长为： cm；故答案为：13.【分析】根据圆锥的高、母线长及底面圆的半径构成一个直角三角形，进而直接由勾股定理，即可求出母线的长度.12．【答案】5m+2n≠9【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（1，2），B（3，﹣3），∴解得：k=，b=，∴直线AB的解析式为y=+​，∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，∴点C不在直线AB上，∴5m+2n≠9，故答案为：5m+2n≠9．【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．13．【答案】2【解析】【解答】连接AD，∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠DEC=∠B，又等腰△ABC，BC为底边，∴AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∴BD=CD=BC，又BC=4cm，∴DE=2cm．故答案为：2【分析】连接AD，由AB为圆O的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即AD与BC垂直，又三角形ABC为等腰三角形，根据三线合一得到D为BC的 中点，又∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得∠DEC=∠B，再根据等边对等角及等量代换可得 ∠DEC=∠C，利用等角对等边可得DE与DC相等都为BC的一半，即可求出DE的长．14．【答案】【解析】【解答】解：连接AE， ∵tan∠BAC＝ ，∴设AC＝2m，BC＝m，∴AB＝ m＝2 ，∴m＝2 ，∴AC＝4 ，BC＝2 ，∵∠BEC＝∠BAC，∴tan∠BEC＝ ，∵DE＝5，同理求得CE＝ ，CE＝2 ，∵∠CED+∠EDC＝∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠EDC＝∠ABC，∵∠EDC+∠BDC＝∠ABC+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝∠BDC，∵∠DBC＝∠EAC，∴△AEC∽△BDC，∴ ＝2，∴设BD＝x，AE＝2x，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE2+BE2＝AB2，∴（2x）2+（5+x）2＝（2 ）2，∴x＝1（负值舍去），∴AE＝2，BE＝6，∴tan∠ACE＝tan∠ABE＝ ＝ ＝ ．故答案为： ． 【分析】在Rt△ACB中，根据三边比例可得AC、BC的长，因为同弧所对的圆周角相等，故∠A=∠DEC，∠DBC＝∠EAC，在Rt△DEC中同理可得EC、CD的长；由同角的余角相等得到 ∠EDC＝∠ABC，由圆周角定理可得∠EDC+∠BDC＝∠ABC+∠AEC＝180°，由等角的补角相等得到∠AEC＝∠BDC，根据两角分别相等的两个三角形相似得到 △AEC∽△BDC，从而，得到AE与BD的比例关系，在Rt△AEB中根据勾股定理可计算出AE、BE的值，从而得到tantan∠ACE＝tan∠ABE＝ . 15．【答案】解：连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE= CD=4cm，∵∠A=22.5°，∴∠COE=2∠A=45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴OC= CE=4 cm，即⊙O的半径为4 cm．【解析】【分析】连接OC，由圆周角定理得出∠COE=45°，根据垂径定理可得CE=DE=4cm，证出△COE为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案． 16．【答案】解：∵OD⊥AB，∴米，设圆的半径为r米，∵AE2+OE2＝OA2，∴32+（r-1）2＝r2，∴9+r2-2r+1＝r2，解得r＝5，∴该圆的半径为5米．【解析】【分析】如图，作 OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，设圆的半径为r米，根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解。17．【答案】解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：连结OD，BD，则∠ABD=∠ACD=45°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴△ADB为等腰直角三角形，∵点O为AB的中点，∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵BE∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴DE=AB=8cm，∴S阴影部分=S梯形BODE﹣S扇形OBD=（4+8）×4﹣=（24﹣4π）cm2．【解析】【分析】（1）连结OD，根据圆周角定理得∠ABD=∠ACD=45°，∠ADB=90°，可判断△ADB为等腰直角三角形，所以OD⊥AB，而DE∥AB，则有OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；（2）先由BE∥AD，DE∥AB得到四边形ABED为平行四边形，则DE=AB=8cm，然后根据梯形的面积公式和扇形的面积公式利用S阴影部分=S梯形BODE﹣S扇形OBD进行计算即可．18．【答案】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得： ∴∵OD⊥AB，∴∠AOE=∠ACB=90°，由∵∠A=∠A，∴△AOE∽△ACB，∴ ，即 ，解得： 【解析】【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得到AB的长，从而得到半径AO .再由△AOE∽△ACB，得到OE的长.19．【答案】（1）证明：连接OC． ∵OA=OC．∴∠OAC=∠OCA，∵∠MAC=∠OAC，∴∠MAC=∠OCA，∴OC∥AM，∵CD⊥AM，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线（2）解：在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=4，∠ADC=90°， ∴AC=2AD=8，CD= AD=4 ，∵∠MAC=∠OAC=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴S阴=S△ACD﹣（S扇形OAC﹣S△AOC）= ×4×4 ﹣（ ﹣ ×82）=24 ﹣ π【解析】【分析】（1）先证明OC∥AM，由CD⊥AM，推出OC⊥CD即可解决问题．（2）根据S阴=S△ACD﹣（S扇形OAC﹣S△AOC）计算即可． 20．【答案】（1）证明：∵，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴∠ACB=180°－∠ABC－∠BAC=60°，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB，∴△ABC是正三角形；（2）解：连接OB、OC，过O作OH⊥BC与H，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OBE=30°，BE=CE，∴在Rt△OBE中，OE= OB=3，BE= = ，∴BC= ，即正△ABC的边长为．【解析】【分析】（1）利用圆周角的性质及角的运算求出∠ABC=∠BAC=∠ACB，即可得到△ABC是正三角形；（2）先求出∠OBE=30°，BE=CE，再求出OE和BE的长，最后求出BC的长即可得到答案。21．【答案】（1）解：∵（ ）2≥0， ∴a﹣2 +b≥0，∴a+b≥2 ，∴ ≥ （2）解： ； 理由：a3+b3+c3﹣3abc =（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac） = （a+b+c）（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac） = （a+b+c）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]∵a、b、c是正实数，∴a3+b3+c3﹣3abc≥0，∴a3+b3+c3≥3abc，同理： 也恒成立；故答案为： （3）解：如图，连接OP， ∵AB是直径，∴∠APB=90°，又∵PC⊥AB，∴∠ACP=∠APB=90°，∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°，∴∠APC=∠B，∴Rt△APC∽Rt△PBC，∴ ，∴PC2=AC•CB=ab，∴PC= ，又∵PO= ，∵PO≥PC，∴ ．【解析】【分析】（1）由（ ）2≥0，利用完全平方公式，即可证得 恒成立；（2）由a3+b3+c3﹣3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）= （a+b+c）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，可证得a3+b3+c3≥3abc，即可得 也恒成立；（3）首先证得Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的对应边成比例，可求得PC的值，又由OP是半径，可求得OP= ，然后由点到线的距离垂线段最短，即可证得 恒成立． 22．【答案】（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°．∴∠PCB+∠OCB=90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径．∴PC是⊙O的切线．（2）证明：∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC．∴BC= AB．；证明：∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC．∴BC= AB．；证明：∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC．∴BC= AB．（3）解：连接MA，MB，∵点M是 的中点，∴ ，∴∠ACM=∠BCM．∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM．∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴ ．∴BM2=MN•MC．又∵AB是⊙O的直径， ，∴∠AMB=90°，AM=BM．∵AB=4，∴BM= ．∴MN•MC=BM2=8．【解析】【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC；代入数据可得MN•MC=BM2=8．23．【答案】（1）证明：连接CM， ∵AO是直径，M是圆心，∴CM=OM，∠ACO=90°，∴∠MOC=∠MCO．∵D为OB的中点，∴CD=OD，∴∠DOC=∠DCO．∵∠DOC+∠MOC=90°，∴∠DCO+∠MCO=90°，即∠MCD=90°，∴CD是⊙M的切线（2）解：方法一：∵∠ACO=∠AOB=90°，∠OAB=∠OAB，∴△ACO∽△AOB，∴ ，∴ ，∴AB= ．在Rt△AOB中，由勾股定理，得BO= ，∵D为OB的中点，∴OD= OB= ，∴D（0， ）．∵OM=AM= OA= ，∴M（ ，0）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣ ）（x﹣5），由题意，得 =a（0﹣ ）（0﹣5），解得：a= ，∴抛物线的解析式为：y= （x﹣ ）（x﹣5），= （x﹣ ）2﹣ ．连接AD交对称轴于P，设直线AD的解析式为y=kx+b，由题意，得103=b0=5k+b ，解得： ，∴直线AD的解析式为：y=﹣ x+ ，当x= 时，y= ，∴P（ ， ）；方法二：∵OA=5，AC=3，∠ACO=90°，∴OC=4，tan∠CAO= ，∴OB= ，∵D为BO的中点，∴D（0， ），M（ ，0），A（5，0），∴设抛物线的解析式为：y=a（x﹣ ）（x﹣5），把D（0， ）代入得a= ，∴抛物线的解析式为：y= （x﹣ ）2﹣ ，∵P为对称轴上一点，∴PM=PA，∴△PDM的周长最小时，D，P，A三点共线，∵D（0， ），A（5，0），∴lAD：y=﹣ x+ ，当x= 时，y= ，∴P（ ， ）．（3）解：存在．∵S△PDM=S△ADM﹣S△APM，∴S△PDM= × × ﹣ × × ，= ，∴S△QAM= = ．设Q的纵坐标为m，由题意，得 ，∴|m|= ，∴m=± ，当m= 时， = （x﹣ ）2﹣ ．x1= ，x2= ，当m=﹣ 时，﹣ = （x﹣ ）2﹣ ．x= ．∴Q（ ， ），（ ， ），（ ，﹣ ）．【解析】【分析】本题是一道二次函数与几何的综合题.解答此题的关键是求出抛物线的解析式.（1）连接CM，由题意易得CM=OM，从而得到∠MOC=∠MCO，由OA为直径，根据圆周角的推论可得∠ACO=90°，易证CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90°就可得∠DCO+∠MCO=90°，从而可得结论；（2）根据已知条件可得△ACO∽△AOB求得AC：AO=AO：AB，从而求出AB，在Rt△AOB中由勾股定理求出OB的长，根据D是OB的中点可求得D的坐标，由待定系数法就可求得抛物线的解析式，从而求出其对称轴，连接AD交对称轴于P，先求出AD的解析式就可得点P的坐标；（3）根据S△PDM=S△ADM-S△APM，可求得△PDM的面积，从而表示出△QAM面积的大小，设Q的纵坐标为m，根据三角形的面积可求出Q的横坐标，即可得