广东省揭阳市惠来县第一中学、一中新城学校2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题

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数学科试题
注意事项：
1.答题前请先填写好自己的姓名，班级，考生号等信息；
2.请将答案正确填写在答题卡上；选择题用2B铅笔将对应选项空格涂满涂黑；填空题和解答题作答在答题卡相应位置，超出答题区域或者答错题号不给分.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.
详解】解：，，
故选：C.
2. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，定义法得到不为奇函数；B选项，不满足在定义域上单调；C选项，为非奇非偶函数；D选项，满足在定义域上为单调函数，又是奇函数，D正确.
【详解】A选项，定义域为R，且，
故不是奇函数，A错误；
B选项，的定义域为，而在上单调递减，
故不在定义域上单调，B错误；
C选项，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，C错误；
D选项，的定义域为R，且，
故为奇函数，且当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递增，
又，故在定义域上单调递增，为单调函数，D正确.
故选：D
3. 已知函数，则 （ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数解析式代入计算可得.
【详解】，
，
.
故选：B.
4. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系
【详解】因为是幂函数且在上是减函数，
故，故，
故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件，
故选：B.
5. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂的运算法则化简计算即得.
【详解】
.
故选：C.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】时，是增函数，由此得解.
【详解】时，是增函数（增函数+增函数=增函数）.只有选项C满足.
故选：C.
7. 黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低
B. 当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低
C. 无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低
D. 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，分别计算出方案一与方案二的平均购买成本，然后作差比较大小，即可判断.
【详解】方案一：设每次购入的黄金数量为，则平均购买成本；
方案二：设每次购入的黄金金额为，则平均购买成本为
，
所以，
且，则，即，
无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低.
故选：D
8. 已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，将问题转化为不等式的解集是的子集，然后分类讨论，代入计算，即可得到结果.
【详解】由可得，解得，
因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式，
则不等式的解集是的子集，
由可得，
当时，即，不等式解集为，满足；
当时，不等式解集为，则，无解；
当时，不等式解集为，则可得，
解得，所以；
综上所述，实数的取值范围为.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，都有”的否定是“，使得”
B. 当时，的最小值为
C. 若不等式的解集为，则
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；B选项，变形后利用基本不等式求出最小值；C选项，根据不等式的解集得到，求出，得到答案；D选项，由，但得到答案.
【详解】A选项，“，都有”的否定是“，使得”，A错误；
B选项，当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，的最小值为，B正确；
C选项，由题意得为的两个根，
，解得，则，C正确；
D选项，，但，比如满足，但不满足，
故“”是“”的充分不必要条件，D正确.
故选：BCD
10. 已知函数在上具有单调性，则可取的值有（ ）
A. 30B. 80C. 120D. 160
【答案】AD
【解析】
【分析】由二次函数对称轴与区间的关系即可判断.
【详解】由题意二次函数对称轴为：，
因为函数在上具有单调性，
所以或，
解得：或，
故选：AD
11. 已知连续函数对任意实数恒有，当时，，则以下说法中正确的是（ ）
A.
B. 是R上的奇函数
C. 在上的最大值是8
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数对任意实数恒有，令，可得，判断奇偶性和单调性，即可判断选项.
【详解】对于A，函数对任意实数恒有，
令，可得，A正确；
对于B，令，可得，所以，
所以是奇函数；B正确；
对于C，令，则，
因为当时，，
所以，即，
所以在均递减，
因为，所以在上递减；
，可得；
令，
可得
，
；
，
在上的最大值是6，C错误；
对于D，由不等式的可得，
即，
，
，
则，
，
解得：或；D对；
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式、根式以及零次方的意义列式求解即可.
【详解】令，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
13. 某校学生积极参加社团活动，高一年级共有名学生，其中参加合唱社团的学生有名，参加科技社团的学生有名（并非每个学生必须参加某个社团）.在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有_______名学生，最少有__________名学生.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设同时参加合唱社团和科技社团的学生人数为根据题中可得出关于的不等式，求出的取值范围，即可得解.
【详解】设同时参加合唱社团和科技社团的学生人数为，则，
由题意可得，解得，故，
故同时参加合唱社团和科技社团的最多有个学生，最少有个学生，
故答案为：；.
14. 已知符号表示不超过x的最大整数，若函数（），给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据新定义分析得到的图象，即可判断①②③；将方程有且仅有3个根转化为与的图象有3个交点，然后结合图象即可判断④.
【详解】因为符号x表示不超过x的最大整数，若函数，
所以当x∈0,1时，，则；
当时，，则；
当时，，则，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以函数的图象如图所示：

对于①，由上面的图象可知，①是正确的，
对于②，由上面的图象可知，②是错误的，
对于③，由上面的图象可知，③是正确的，
对于④，由上面的图象可知，，，，
因为方程有且仅有3个根，等价于与的图象有个交点，
结合图象可知，当或.
故答案为：①③④.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，，.
（1）求，，；
（2）若，求实数取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由集合的交并补运算即可得解；
（2）根据题意得，从而列出不等式求解即可.
【小问1详解】
因为集合，，
所以，，.
【小问2详解】
当且仅当，当且仅当，解得，
所以实数的取值范围为.
16. 已知幂函数的图象经过点.
（1）求的解析式.
（2）设函数.
①判断的奇偶性；
②判断在上的单调性，并用定义加以证明.
【答案】（1）
（2）①为奇函数；②在上单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用幂函数的定义，结合待定系数法即可得解；
（2）①由（1）得，利用函数奇偶性的定义即可判断；②利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证.
【小问1详解】
依题意，设幂函数，
则，解得，
所以.
【小问2详解】
①为奇函数，理由如下：
由（1）得，，
则其定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为奇函数；
②上单调递减，证明如下：
任取，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在上单调递减.
17. 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入(单位：元)关于月产量(单位：台)满足函数.
（1）将利润(单位：元)表示为月产量的函数；(利润总收入总成本)
（2）若称为月平均单件利润(单位：元)，当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？
【答案】（1）；（2）当月产量为时，月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为元.
【解析】
【分析】
（1）本题可分为、两种情况，然后根据“利润总收入总成本”即可得出结果；
（2）本题首先可根据得出，然后分为、两种情况进行讨论，依次求出最值，即可得出结果.
【详解】（1）当时，利润；
当时，利润，
故.
（2）因为，所以，
当时，
因为，当且仅当时取等号，
所以，当时，取最大值；
当时，，为单调递减函数，
此时，
综上所述，当月产量为时，月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为元.
【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数在实际生活中的应用，能否根据题意确定每一段区间内对应的函数解析式是解决本题的关键，考查基本不等式求最值，是中档题.
18. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，fx=x2−2x.
（1）求函数的解析式并画出其图象；
（2）求函数的单调区间；
（3）设函数在上的最大值为，求.
【答案】（1），图象见解析
（2）递增区间为；递减区间为
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数性质求区间上的解析式；
（2）由图象写出函数的单调区间；
（3）结合图象可知，最大值为或，又，则分类讨论与大小，确定最大值.
【小问1详解】
由是定义在R上的奇函数，可得f−x=−fx，
设，则，
因为当时，fx=x2−2x，
所以
函数的解析式为，图象如下.
【小问2详解】
函数的单调递增区间为，单调递减区间为−1,1；
【小问3详解】
由图象可知：
当时，在上单调递增，；
时，令，解得；
当时，；
当时，.
所以.
19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数在上单调递增；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，列出方程组，即可求解；
（2）根据函数单调性的定义与判定方法，即可求解；
（3）根据题意，转化为函数的值域为值域的子集，由（2）求得的值域为，转化为，分、和，三种情况讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：设函数的图象的对称中心为，则，
即，
整理得，
可得，解得，
所以的对称中心为.
【小问2详解】
解：函数在上单调递增；
证明如下：
任取且，
则，
因为且，可得且，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
【小问3详解】
解：由对任意，总存在，使得，
可得函数的值域为值域的子集，
由（2）知在上单调递增，故的值域为，
所以原问题转化为在上的值域，
当时，即时，在单调递增，
又由，即函数的图象恒过对称中心，
可知在上亦单调递增，故在上单调递增，
又因为，，故，
因为，所以，，解得，
当时，即时，在单调递减，在单调递增，
因为过对称中心，故在递增，在单调递减，
故此时，
欲使，
只需且，
解不等式，可得，又因为，此时；
当时，即时，在递减，在上亦递减，
由对称性知在上递减，所以，
因为，所以，解得，
综上可得：实数的取值范围是.