内蒙古名校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第三章第二节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解．
【详解】“，”的否定为，.
故选：C
2. 集合的子集个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合，再由子集定义求其个数即得.
【详解】由题意得，则集合的子集个数为.
故选：B.
3. 若，则（ ）
A. B.
C. D. 的大小关系无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用作差法，即可比较大小.
【详解】因为，所以.
故选：B
4 已知函数若，则（ ）
A. 2B. 或2C. 0或2D. 或0或2
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论求分段函数对应函数值的自变量值即可.
【详解】若，则，解得；
若，则，解得或（舍去）．
综上所述，或.
故选：B.
5 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：利用整体代换法可求函数解析式.
方法二：利用换元法可求函数解析式.
【详解】方法一：由，得.
方法二：令，则，所以，即.
故选：A.
6. 若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，由此可得出实数的取值范围.
【详解】由题意得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
7. 若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数奇偶性，以及，结合函数的图象以及选项中的解析式，逐项分析，即可判断和选择.
【详解】对A：由图可知，为偶函数，若，其定义域为，为奇函数，故错误；
对B：由图可知，，若，，故B错误；
对C：由图可知，时，的图象不是射线；若，
当时，的图象是一条射线，故C错误；
对D：若，定义域为，，其为偶函数；
又，满足图象特点，故D正确；
故选：D.
8. 已知函数，若对任意，恒成立，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知，函数在R上单调递减，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】不妨假设，由，得，则在R上单调递减，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数中，两个函数为同一函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】两函数定义域和对应法则均一致，才是同一函数，对四个选项一一判断，得到答案.
【详解】A选项，的定义域和对应法则均一致，A正确；
B选项，的定义域为的定义域为，
两函数的定义域不同，不是同一函数，B错误；
C选项，，故两函数的定义域和对应法则均一致，C正确；
D选项，的对应法则不一致，D错误.
故选：AC
10. 定义集合A与的运算：且．已知集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由题干中所定义集合运算，结合题意可得答案.
【详解】因为，，，
所以，，
，.
故选：AD．
11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.
B.
C. 关于的不等式的解集为
D. 若，则的最大值为1
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用题中信息得到三个参数之间的关系，然后计算即可.
【详解】因为关于的不等式的解集为，所以
整理得则，故选项A错误,选项B正确；
，解得，故选项C正确；
，解得或，则或，故选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由根式有意义列不等式组求解即可.
【详解】由题意得，解得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
13. 已知，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用计算判断即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即，又因为，
所以当，时，取得最小值.
故答案：.
14. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用偶函数的性质可得，结合已知可得，求解即可.
【详解】由，得，
因为是定义在上的偶函数，所以，
又因为在上单调递减，所以，
即，整理得，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出全集，再根据补集、交集的定义求解即可；
（2）易得，由得，，结合集合元素的互异性求解.
【小问1详解】
由题意得，则，
所以.
【小问2详解】
由题意得，
因为，所以.
由，得且，
所以，解得（舍去）.
16. 如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩形花室．
（1）若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值；
（2）若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值．
【答案】（1）600平方米
（2）60米
【解析】
【分析】（1）由题意得面积表达式结合表达式性质以及二次函数性质即可得解；
（2）由基本不等式即可得解.
【小问1详解】
设每间花室与墙体垂直的围墙的边长为米，与墙体平行的围墙的边长为米．
因为栅栏的总长为120米，所以，
其中，，则.
每间花室面积.
因为，
当且仅当，时，等号成立，
所以每间花室面积的最大值为600平方米．
【小问2详解】
因为每间花室的面积为150平方米，所以，则．
栅栏的总长，
当且仅当，时，等号成立，
故栅栏总长的最小值为60米．
17. 已知函数满足.
（1）求的解析式；
（2）若是奇函数，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用建立方程组法即可求得函数解析式；
（2）先根据（1）的结论，求出的解析式，再利用奇函数的定义可求参数的值.
【小问1详解】
因为①，
所以②.
①+2×②得:，
则.
【小问2详解】
（2）由（1）可知，.
因为是奇函数，所以，
即对于定义域内的任意值恒成立，
故需使，解得.
18. 已知函数.
（1）若恒成立，求的最大值；
（2）若在上单调，求的取值范围；
（3）求在上的最小值为，求.
【答案】（1）
（2）
（3）或5
【解析】
【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得；
（2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得；
（3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得.
【小问1详解】
由题意得恒成立，则,
解得，
所以a的最大值为.
【小问2详解】
由题意得图象的对称轴为直线，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为在上单调，所以或，
解得或，即a的取值范围为.
【小问3详解】
当，即时，在上单调递减，，
解得，舍去；
当，即时，在上单调递增，，
解得，符合题意；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得或0（，舍去）.
故或5.
19. 定义：为函数在上的平均变化率．
（1）若函数在上的平均变化率为3，证明：．
（2）设，a，，且．
①证明：．
②求的取值范围．
参考公式：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；②．
【解析】
【分析】（1）利用在上的平均变化率的定义求解；
（2）①根据，得到，再利用证明；②先利用函数单调性定义得到在0,1上单调递减，再由，得到的范围求解.
【小问1详解】
证明：因为在上的平均变化率为3，
所以．
由，得，
从而，则．
【小问2详解】
①证明：因为，
所以，
又，所以，
则，从而．
，
因为a，，所以，，则，即．
又，所以，即．
②解：任取，
则，
即，所以在0,1上单调递减，
由，得．
因为，所以，解得，
则，
则，
故的取值范围为．