广东省梅州市平远县实验中学2024-2025学年高三上学期第二次段考（8月）数学试卷

这是一份广东省梅州市平远县实验中学2024-2025学年高三上学期第二次段考（8月）数学试卷，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2．在复平面内，复数z=3+i1−i对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限
3．在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．的值等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6.已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上､下底面边长分别为，高为3，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
8．在中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则为（ ）
A．等腰三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．锐角三角形
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知二项式，则（ ）
A．展开式中的系数为45 B．展开式中二项式系数最大的项是第5项
C．展开式中各项系数之和为1 D．展开式中系数最大的项是第5项或第7项
10.已知函数，则（ ）
A. B.
C.在上为增函数 D.函数在上有且只有2个零点
11.如图，棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．存在点P，使得平面
C．若点P到直线BB1与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分
D．若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在∆ABC中，，则∆ABC的面积是 ．
13．有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为 .（用数字作答）
14．在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知向量，函数的最大值为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.
16.（15分）已知公差d不为0的等差数列an的前n项和为.
(1)求an的通项公式；
(2)令，记为数列bn的前n项和，若，求n的最小值.
17.（15分）三角形∆ABC三内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若∆ABC的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长.
18.（17分）如图，在圆柱中，分别为圆柱的母线和下底面的直径，为底面圆周上一点.
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)若，圆柱的体积为，求二面角的正弦值.
19.（17分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
2024-2025学年度平远县实验中学高三级第一学期八月初考 参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．B 2．D 3．A 4．B
5．A【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误；
对于B：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，
故若，，则，故B正确；对于C：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，
故若，，则，故C正确；对于D：根据面面垂直的判断定理可知，若，，则，故D正确；故选：A.
B解：正四棱台的对角面的外接圆为其外接球的大圆（如下图），对角面为等腰梯形，其上下底边长分别为2，4，高为3，由正四棱台的对称性可知，球的球心在梯形上下底的中点连线所在直线上，设，则，球半径为，由，可得，
解得，所以所求的球的表面积为.
7．答案：C解：因为，且，则，
由题意可得：，解得，又因为直线为函数图象的一条对称轴，则，解得，可知，即，所以.
8．B【详解】取的中点，的中点，连接（如图所示），则
，同理，
因为，所以，即，所以对于边上任意一点都有，因此，又，为中点，为中点，
所以，所以，即，所以，即△为钝角三角形，故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.AD【详解】，当时，，系数为，故A正确；
由组合数性质可知，中间项系数最大，展开式中二项式系数最大的项是第6项，故B错误；令，得展开式中各项系数之和为，故C错误；当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数，当或时，系数最大，正确.故选：AD.
10.ABD 【解析】由题意得函数的最小正周期为，所以成立，A项正确；因为，所以是的最小值，所以直线是图像的一条对称轴，所以成立，B项正确；当时，，当时，为减函数，C项错误；由题意知在有两个不等实根，设，由函数的图像，易知与直线有两个不同的交点，D项正确.故选ABD项.
11.AC 解：对于A，连接，，分别是棱，的中点，则，
且，又，则，且，
因此过，，三点的平面截正方体所得截面为梯形，A正确；
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设点，其中，，，
设平面的法向量为，则，取，得，对于B, ，若存在点，使得平面，则，
于是，即，无解，因此不存在点，使得平面，B错误；
对于C，平面平面，则，若点到直线与到直线的距离相等，则，平方整理得，则点的轨迹为抛物线的一部分，C正确；对D，依题意，平面，因此点的轨迹是过点与平面平行的平面交正方形所得线段，而，则，令，得；令，得，线段的中点，于是P点轨迹为线段，
所以点的轨迹长度为，D错误.故选：AC.
三､填空题
12．【详解】在中，由余弦定理，
得，而，解得，又,
所以的面积.故答案为：
13．60【详解】当人中有三人被录取，则不同的录取情况数为，当4人全部被录取，则不同的录取情况数为，综上不同的录取情况数共有种.
14.【详解】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作，
该四棱台的高，在上下底面由勾股定理可知，.
在梯形中，，
所以该四棱台的体积为，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，，.
取，的中点，，连接，，显然有，由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面.显然，在直角梯形中，，
因此在等腰梯形中，，同理在等腰梯形中，，在等腰梯形中，设，，则，
，所以梯形的面积为.
15.【详解】：（Ⅰ）（4分）
因为的最大值为，所以（6分）
（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，得到（8分）再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到（10分）因为所以（11分）
的最小值为最大值为（12分）
所以在上的值域为（13分）
16.【详解】（1）由题设，（3分）
所以，（5分）而，（6分）
所以（7分）
（2）由题设，（8分）
则，（11分）
所以，又在上单调递增，（12分）
当时，，（13分）
当时，，（14分）
所以，求n的最小值6．（15分）
17.【详解】（1）在中，由正弦定理得，.（1分）
因为,，（2分）所以，（3分）
所以，（4分）即，（5分）
又B∈0,π，，（6分）则，所以.（7分）
（2）由（1）得，所以，（8分）
在中，由余弦定理可得：
，（11分）
当且仅当，即，时，等号成立，（12分）
此时，（14分）故.（15分）
18.解：（1）取中点，连结，（1分）如图，由分别为的中点，得，（2分）由圆柱上下底面平行，且与平面交于和，得，且，（4分）则且，因此四边形为平行四边形，，（5分）又平面平面，（6分）所以平面.（7分）
（2）由为底面直径，得，（8分）由圆柱的体积，得，（9分）
过作平面，则，又，（10分）
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，（11分）
则，，（12分）
设平面的法向量为，则，令，得，（13分）
设平面的法向量为，则，令，得，（14分）设二面角的大小为，则，（15分）于是，（16分）所以二面角的正弦值为.（17分）
19.(17分）解：（1）由题可知，（1分），且在定义域上单调递增，（2分）当时，恒成立，此时在上单调递减，（3分）当时，令，则，（4分）所以时，，此时单调递减；时，，此时单调递增，（5分）当，即时，
此时在恒成立，单调递增，（6分）综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增.（7分）
（2）因为，所以，
又，所以，即，（8分）
故时，恒成立，令，，则，（9分）
当时，，为增函数，当时，，为减函数，
所以，从而．（10分）将两边同时取以为底的对数可得 （11分）
整理可得．（12分）
令，则，且在上单调递增，（13分）
因为且，所以在上恒成立，（14分）
所以恒成立，令，则，（15分）
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，所以，（16分）又因为，所以．（17分）