广东省深圳市宝安区七校联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省深圳市宝安区七校联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.衢州莹白瓷以瓷质细腻、釉面柔和、透亮皎洁，似象牙又似羊脂白玉而名闻遐迩，被誉为瓷中珍品.如图是衢州莹白瓷的直口杯，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.若是方程的一个解，则m的值为( )
A. 1B. 2C. D.
3.如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点A、B、C都在横线上，如果线段AB的长为4，那么AC的长是( )
A. 2
B. 3
C. 6
D. 8
5.不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有( )
A. 12个B. 15个C. 18个D. 20个
6.如图，∽，OA：：2，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，有一张长12cm，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面图中阴影部分面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意，可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.如图矩形ABCD中，，，分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于G，H两点，作直线GH交CD于点E，连接AE，点D关于AE的对称点为点M，作射线AM交BC于点N，则CN的长为( )
A.
B. 4
C.
D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.如果，且，那么______.
10.用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______.
11.如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上.已知直角三角纸板中，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是______
12.大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点，如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是______.
13.如图，菱形ABCD的边长为4，，过点B作交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，连接CF，CF交BE于点G，则GF的长为______.
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题6分
解方程：
15.本小题7分
数学社团开展“讲数学家故事”的活动.下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事.
小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______；
小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率.
16.本小题8分
【基础解答】如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，某一时刻AB在阳光下的投影，DE在阳光下的投影长为根据题中信息，求立柱DE的长.
【拓展拔高】如图，古树AB在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1m，同一时刻，竖直于地面上的1m长的竹竿，影长为2m，求这棵古树AB的高.
17.本小题9分
如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，
下列条件：
①点E是CD的中点；
②BE平分；
③点A与点F关于直线BE对称.
请从中选择一个能证明四边形ABFE是菱形的条件，并写出证明过程.
若，，，求EF的长.
18.本小题9分
“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱.某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元.调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元.
当一斤荔枝降价6元时，每天销量可达______千克，每天共盈利______元；
若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？
19.本小题10分
【了解概念】
定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
【理解运用】
如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB、BC的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形ABCD，要求：点D在格点上；
如图2，在等邻边四边形ABCD中，，，，，求CD的长；
【拓展提升】
如图3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知，，D是OA的中点.在矩形OABC内或边上，是否存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形OCED的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.
20.本小题12分
【问题初探】
数学课上，老师提出如下问题：
如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，CD的中点，AF与BE相交于点G，求的值.
经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路：
小明：可以过中点作平行线，过点E作交AF于点H，如图2所示，或者过点F作交AB于点K，交BE于点Q，如图3所示…
小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长BE交CD的延长线于点P…
请根据上述两位同学的思路，直接写出的值：______.
【类比分析】
老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形ABCD改成菱形ABCD，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由.
【学以致用】
如图6，已知正方形ABCD中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形EFGH的中心与点B重合，连接CE，设CE的中点为M，将正方形EFGH绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出OM的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：该直口杯的左视图为：
故选：
根据视图的意义，从左边看所得到的图形即可．
本题考查简单几何体的三视图．
2.【答案】D
【解析】解：是方程的一个解，
，解得，
故选：
将方程的解代入方程中求解即可．
本题考查一元二次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键．
3.【答案】A
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，，
又是正三角形，
，，
是等腰三角形，，
故选
由四边形ABCD是正方形，是正三角形可得，利用正方形和正三角形的内角性质即可得答案．
本题主要考查了正方形和等边三角形的性质，同时也利用了三角形的内角和，首先利用正方形和等边三角形的性质证明等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题．
4.【答案】C
【解析】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交点A所在直线的邻近平行线于点D，
根据题意，，
五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
，
解得
故选：
如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交点A所在直线的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：设口袋中白球大约有x个，
摸到白色球的频率稳定在左右，
，
解得：，
经检验是原方程的解，
估计口袋中白球大约有15个，
故选：
设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
本题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
根据相似三角形的性质判断即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
【解答】
解：∽，OA：：2，
，A正确；
，B错误；
，C错误；
：：2，D错误；
故选：
7.【答案】D
【解析】【分析】
设剪去的小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为，宽为，根据纸盒的底面图中阴影部分面积是，得出关于x的一元二次方程，从而得到答案．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【解答】
解：设剪去的小正方形的边长是x cm，则纸盒底面的长为，宽为，
纸盒的底面图中阴影部分面积是，
，
故选：
8.【答案】C
【解析】解：如图，延长AE交BC的延长线于点
四边形ABCD是矩形，
，，
，
由作图可知，
在和中，
，
≌，
，
，M关于AT对称，
，
，
，
在中，，
，
，
故选：
如图，延长AE交BC的延长线于点利用全等三角形的性质证明，再证明，利用勾股定理，可得结论．
本题考查作图-基本作图，矩形的性质，轴对称变换，线段的垂直平分线等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】
【解析】解：，且，
故答案为：
把代入要求的式子，然后进行计算，即可得出答案．
此题考查了比例的性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．
10.【答案】5
【解析】解：，
，
，
，
，，
，
故答案为：
根据配方法的步骤：①把常数项移到等号的右边；②等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数项，由此可得出a，b的值，即可得出答案．
本题考查解一元二次方程-配方法，能够将一元二次方程正确配方是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：在和中，
，，
∽，
，
即，
解得，
，
，
即“步云阁”的高度为，
故答案为：
先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，判定出和相似是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题知，
因为点P是AB的黄金分割点，且，
所以，
又因为，
所以
故答案为：
根据黄金分割的定义及黄金比即可解决问题．
本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义及黄金比是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图，取BE的中点H，连接FH，
菱形ABCD的边长为4，，
，，，
为AE的中点，H为BE的中点，
，FH是的中位线，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：
取BE的中点H，连接FH，由菱形的性质得，，，再由三角形中位线定理得，，然后证≌，得，进而由勾股定理即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
14.【答案】解：，
，
或，
，
【解析】利用因式分解法解方程即可．
本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程．
15.【答案】
【解析】解：共有4张卡片，
小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是，
故答案为：
根据题意，画树状图如图，
由图可得，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的有6种，
抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为
直接根据概率公式求解即可；
根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查的是概率公式求概率，用画树状图法求概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
16.【答案】解：连接AC，过点D作，交直线BE于F，
如图所示，EF就是DE的投影．
太阳光线是平行的，
，
，
，
∽，
，
，，，
，
，
故立柱DE的长为9m；
如图，过点C作交AB于点E，
则，∽，
：：BC，
即1：：4，
，
，
答：这棵树高
【解析】根据已知连接AC，过点D作，即可得出EF就是DE的投影；利用∽得出比例式，求出DE即可．
因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的BE，则BC是BE的影子，然后加上CD加上树高即可．
本题考查了相似三角形的应用，平行投影，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：选择条件②：
平分，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，，
四边形ABFE是平行四边形，
，
平行四边形ABFE是菱形；
选择条件③：
点A与点F关于直线BE对称，
，
平行四边形ABFE是菱形；
四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
四边形ABFE是平行四边形，
，
【解析】选择条件②：先证明四边形ABFE是平行四边形，再利用菱形的判定方法即可证得结论；选择条件③：由轴对称性质可得，再利用菱形的判定方法即可证得结论；
先证明，运用勾股定理可得，再运用平行四边形的性质即可求得答案．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】44 176
【解析】解：由题意得：销售数量为千克；
利润为元；
故答案为：44；176；
由题意得：，
解得：，，
让顾客得到实惠，
，
答：销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，每千克应降价5元．
由题意，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克．即可得出结论；
由题意：超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.【答案】解：由题意知，四边形ABCD是等邻边四边形，
作图如下：答案不唯一
连接BD，过点D作于点E，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
在矩形OABC内或边上，存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，
理由如下：
如图，当时，四边形OCED为“等邻边四边形”，当CE取最大值时，四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，
四边形OABC是矩形，，，D为OA的中点，
，，，，
设点E的坐标为，则，
，
，
，
解得，
，点E的坐标为，
，
存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，此时四边形OCED的面积最大值为，点E的坐标为
【解析】根据“等邻边四边形”的定义作图即可；
连接BD，根据是等边三角形得出，过点D作于点E，求出DE，BE的长度，根据BC的长度求出CE的长度，最后利用勾股定理求出CD即可；
先确定存在点E，设点E的坐标为，则，根据，列方程求出m的值，然后确定点E的坐标和四边形OCED的面积最大值即可．
本题主要考查四边形的综合题，正确理解“等邻边四边形”的定义是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：；
理由：如图4，延长BE角CD的延长线于点P，
矩形ABCD，
，，
，，
点E为AD的中点，
，
≌，
，
，
，
为CD的中点，
，
；
不变，
理由如下：设AF的中点为O，连接OE，如解图1 所示，
是AD的中点，
是的中位线．
，，
∽，
，
，
，
或
理由：连接AC，AE，如解图7，8所示．
，M分别是AC，EC的中点，
是的中位线，，
由题意可得点E的运动路径是以点B为圆心，以BE的长为半径的圆，
当A，E，F三点共线时，分以下两种情况进行讨论，
①当点E在线段AF上时，连接 BE，过点B作于点N，如解图7所示，
，
，
，
在中，，
，
，
；
②当点F在线段AE 上时，连接BE，过点B作，如解图8所示，
，
，
，
在中，，
，
综上所述，OM的长为或
选用图4说明，由矩形ABCD，及点E为AD的中点可知≌，得，且，问题可解；
比值不变，理由：设AF的中点为O，连接OE，可得EO是的中位线．则，且，根据∽，可得，再由，可得；
或理由：连接AC，AE，则OM是的中位线，可得，由题意可得点E的运动路径是以点B为圆心，以BE的长为半径的圆，当A，E，F三点共线时，分以下两种情况进行讨论，
①当点E在线段AF上时，连接BE，过点B作于点N，如解图7所示，可得，根据勾股定理可得，则，可得；
②当点F在线段AE上时，连接BE，过点B作，如解图8所示，可得，根据勾股定理可得，则，故
本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形、菱形、正方形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．