2023-2024学年内蒙古包头市东河区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年内蒙古包头市东河区八年级（上）期末数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A．﹣2B．C．D．3.1415926
2．（3分）若点P（﹣3，a）在x轴上，则点Q（a﹣3，a+1）所在象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）甲、乙、丙、丁四名运动员进行百米测试，每人8次测试成绩的平均数都是13.4秒，方差分别为S甲2＝0.73，S乙2＝0.75，S丙2＝0.69，S丁2＝0.68，则这四名运动员百米成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝2x+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（ ）
A．3B．6C．﹣1D．﹣2
6．（3分）我校举办“新时代好少年，强国有我”的读书节活动，推动全校读书风潮，七年级（1）班借此开展借书共享活动，甲对乙说：“若你的藏书给我一本，我的藏书数量是你藏书数量的2倍”，乙对甲说：“若你的藏书给我一本，你我藏书的数量就相同了”，设甲藏书x本，乙藏书y本，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2+CF2等于（ ）
A．166B．186C．196D．256
8．（3分）如图，一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA＝AB＝10米，点P到AD的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米．
A．20B．C．24D．
二、填空题
9．（3分）若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为 ．
10．（3分）若点A（a，b）与点B（﹣4，3）关于y轴对称，则a+b＝ ．
11．（3分）若，则的值为 ．
12．（3分）一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于如图点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
13．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，则∠DBC＝ °．
14．（3分）已知点，在一次函数y＝﹣2x﹣b的图象上，则y1 y2.（填“＞”或“＝”或“＜”）
15．（3分）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．则原路线AC＝ 千米．
16．（3分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
①该汽车的蓄电池充满电时，电量是60千瓦时；
②蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米；
③当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时；
④25千瓦时的电量，汽车能行驶150km．
说法错误的是
三、解答题
17．（8分）化简：
（1）；
（2）．
18．（4分）解方程组：．
19．（6分）停课期间某校对直播软件功能进行筛选，学校选定了“钉钉”和“QQ直播”两款软件进行试用，并抽取部分师生对这两款软件打分．20名同学打分情况如表1，学生打分的平均数、众数、中位数如表2：
表1：
表2：
抽取的10位教师对“钉钉”和“QQ直播”这两款软件打分的平均分分别为3.9分和4分．请根据以上信息解答下列问题：
（1）将上面表格填写完整；
（2）你认为学生对这两款软件评价较高的是 （填“钉钉”或“QQ直播”）；
（3）学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，其中综合平均分中教师打分占60%，学生打分占40%，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学．
20．（7分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1，3）点B坐标为（2，1），并直接写出点C'的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，在y轴上找一点F，使△OBF的面积等于△ABC的面积，直接写出点F的坐标．
21．（8分）问题引入：
（1）如图1，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝40°，则∠BOC＝
若∠A＝α，则∠BOC＝ （用α表示）；
（2）如图2，，∠BCO＝，若∠A＝α，则∠BOC＝ （用α表示），填空并说明理由；
22．（9分）近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元．
（1）A，B两种花的单价各为多少元？
（2）学校若购买A，B两种花共1000盆，
①设购买的B种花m盆，总费用为W元，请你写出W与m的函数关系式；
②若500≤m≤700，求当m为何值时，学校购买花总花费最少，并求出最少费用为多少元？
23．（10分）如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB＝15，对角线AC所在直线解析式为y＝﹣x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．
（1）求点A的坐标；
（2）求EA的长度；
（3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2023-2024学年内蒙古包头市东河区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A．﹣2B．C．D．3.1415926
【考点】无理数；算术平方根．
【答案】C
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、﹣2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、3.1415926是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（3分）若点P（﹣3，a）在x轴上，则点Q（a﹣3，a+1）所在象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】点的坐标．
【答案】B
【分析】先根据P的位置确定a的值，再求出Q的坐标，进行求解．
【解答】解：由题意得：a＝0，
∴a﹣3＝﹣3，a+1＝1，
∴Q（﹣3，1）在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，掌握点与坐标的关系是解题的关键．
3．（3分）甲、乙、丙、丁四名运动员进行百米测试，每人8次测试成绩的平均数都是13.4秒，方差分别为S甲2＝0.73，S乙2＝0.75，S丙2＝0.69，S丁2＝0.68，则这四名运动员百米成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【考点】方差；算术平均数．
【答案】D
【分析】比较甲乙丙丁四个人成绩的方差，方差小的成绩稳定，即可求解．
【解答】解：∵S甲2＝0.73，S乙2＝0.75，S丙2＝0.69，S丁2＝0.68，
∴，
则四名运动员百米成绩最稳定的是丁．
故选：D．
【点评】本题考查了方差，掌握方差的意义，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是关键．
4．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝2x+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】正比例函数的性质；一次函数的图象；一次函数的性质．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y＝2x+k的图象经过第一、三、四象限．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y＝2x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三、四象限，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
5．（3分）若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（ ）
A．3B．6C．﹣1D．﹣2
【考点】二元一次方程的解．
【答案】B
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m﹣2n＝3，把所求式子因式分解后代入计算即可．
【解答】解：将代入方程mx+ny＝3得：m﹣2n＝3，
∴2m﹣4n＝2（m﹣2n）＝2×3＝6．
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6．（3分）我校举办“新时代好少年，强国有我”的读书节活动，推动全校读书风潮，七年级（1）班借此开展借书共享活动，甲对乙说：“若你的藏书给我一本，我的藏书数量是你藏书数量的2倍”，乙对甲说：“若你的藏书给我一本，你我藏书的数量就相同了”，设甲藏书x本，乙藏书y本，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】B
【分析】设甲藏书x本，乙藏书y本，根据甲对乙说的话得到方程“x+1＝2（y﹣1）”，根据乙对甲说的话得到方程“x﹣1＝y+1”，联立方程组即可．
【解答】解：由题意得，
，
故选：B．
【点评】本题考查根据实际问题抽象出二元一次方程组，解决问题的关键是确定满足条件的等量关系，列出相应的方程组．
7．（3分）如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2+CF2等于（ ）
A．166B．186C．196D．256
【考点】勾股定理；平行线的性质；角平分线的性质．
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义、平角的定义得到∠ECF＝90°，根据平行线的性质、等腰三角形的判定分别求出EM、FM，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB，∠ACF＝∠DCF＝∠ACD，
∴∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，即∠ECF＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠MEC＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠MEC，
∴EM＝CM＝7，
同理可得：FM＝CM＝7，
∴EF＝14，
∴CE2+CF2＝EF2＝142＝196，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
8．（3分）如图，一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA＝AB＝10米，点P到AD的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米．
A．20B．C．24D．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【答案】D
【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，
∵AG＝8（米），AP＝AB＝10（米），
∴PG＝＝6（米），
∴BG＝8+10＝18（米），
∴PB＝＝＝6（米），
∴这只蚂蚁的最短行程应该是6米，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
二、填空题
9．（3分）若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为 4 ．
【考点】众数；中位数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据众数的意义求出x的值，再根据中位数的意义，从小到大排序后，找出处在第3位的数即可．
【解答】解：数据3，4，x，6，7的众数是3，因此x＝3，
将数据3，4，3，6，7排序后处在第3位的数是4，因此中位数是4．
故答案为：4．
【点评】本题考查众数、中位数的意义和求法，众数指在一组数据中出现次数最多的数，而中位数是将一组数据排序后处在中间位置的一个数或两个数的平均数，理解众数、中位数的意义是正确解答的前提．
10．（3分）若点A（a，b）与点B（﹣4，3）关于y轴对称，则a+b＝ 7 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【答案】7．
【分析】根据平面直角坐标系内关于y轴对称的点的坐标特征即可得到正确结果．
【解答】解：∵点A（a，b）与点B（﹣4，3）关于y轴对称，
∴a＝4，b＝3，
∴a+b＝4+3＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了平面直角坐标系内关于y轴对称的点的坐标特征，熟记平面直角坐标系内关于对称轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
11．（3分）若，则的值为 ﹣5 ．
【考点】立方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
【答案】﹣5．
【分析】根据算术平方根及绝对值的非负性求得x，y的值，然后利用立方根的定义即可求得答案．
【解答】解：∵+|y+25|＝0，
∴x﹣5＝0，y+25＝0，
∴x＝5，y＝﹣25，
∴＝＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查算术平方根及绝对值的非负性，立方根，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．
12．（3分）一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于如图点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【答案】．
【分析】先利用y＝x+2确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【解答】解：把P（m，4）代入y＝x+2得，
m+2＝4，
解得m＝2，
所以P点坐标为（2，4），
所以关于x、y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
13．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，则∠DBC＝ 15 °．
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质；三角形内角和定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线的性质求出∠ACM，根据平角求出∠BCD，根据三角形外角性质求出∠BDC，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵AB∥CF，∠A＝60°，
∴∠ACM＝∠A＝60°，
∵∠BCA＝30°，
∴∠BCD＝30°，
∵∠EFD＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDC＝∠E+∠EFD＝135°，
∴∠DBC＝180°﹣30°﹣135°＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，三角形外角性质等知识点，能求出∠BDC和∠BCD的度数是解此题的关键．
14．（3分）已知点，在一次函数y＝﹣2x﹣b的图象上，则y1 ＞ y2.（填“＞”或“＝”或“＜”）
【考点】一次函数的性质．
【答案】＞．
【分析】由k＝﹣2＜0，可得出y随x的增大而减小，结合＜，即可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（，y1），B（，y2）在一次函数y＝﹣2x﹣b的图象上，且＜，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
15．（3分）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．则原路线AC＝ 千米．
【考点】勾股定理的应用．
【答案】．
【分析】由勾股定理的逆定理得△HBC是直角三角形，∠CHB＝90°，设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，然后在Rt△ACH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：在△CHB中，BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．
∴CH2+BH2＝BC2，
∴△HBC是直角三角形，∠CHB＝90°，
∴CH⊥AB，
设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，
即x2＝（x﹣3）2+42，
解得：x＝，
即原路线AC的长为千米，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
16．（3分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
①该汽车的蓄电池充满电时，电量是60千瓦时；
②蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米；
③当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时；
④25千瓦时的电量，汽车能行驶150km．
说法错误的是 ④
【考点】一次函数的应用．
【答案】④．
【分析】由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x＝180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量即可得到结论．
【解答】解：由图象可知：
该汽车的蓄电池充满电时，电量是60千瓦时，故①说法正确；
蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，故②说法正确；
C、当150≤x≤200时，设y关于x的函数表达式y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，
得，
∴，
∴y＝﹣0.5x+110，
即当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，
当x＝180时，y＝﹣0.5×180+110＝20，
即当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．故③说法正确；
当y＝25时，则25＝﹣0.5x+110，
解得：x＝170，
即25千瓦时的电量，汽车已行驶了170km，故④说法错误．
∴说法错误的是④．
故答案为：④．
【点评】本题考查了一次函数的应用，正确的理解函数图象中的信息是解题的关键．
三、解答题
17．（8分）化简：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【答案】（1）3﹣；
（2）4+4．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和除法法则运算；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝××﹣÷2
＝3﹣×
＝3﹣；
（2）原式＝2+2+6﹣（7﹣3）
＝2+4+6﹣4
＝4+4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
18．（4分）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×4+②得：11x＝22，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：4﹣y＝5，
解得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．（6分）停课期间某校对直播软件功能进行筛选，学校选定了“钉钉”和“QQ直播”两款软件进行试用，并抽取部分师生对这两款软件打分．20名同学打分情况如表1，学生打分的平均数、众数、中位数如表2：
表1：
表2：
抽取的10位教师对“钉钉”和“QQ直播”这两款软件打分的平均分分别为3.9分和4分．请根据以上信息解答下列问题：
（1）将上面表格填写完整；
（2）你认为学生对这两款软件评价较高的是 钉钉 （填“钉钉”或“QQ直播”）；
（3）学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，其中综合平均分中教师打分占60%，学生打分占40%，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学．
【考点】众数；加权平均数；中位数．
【答案】（1）见解析；
（2）钉钉；
（3）学校会采用QQ直播进行教学，计算见解析．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解即可；
（2）根据学生对钉钉打分的中位数和平均数都比对QQ直播打分的中位数和平均数高即可得到答案；
（3）分别计算出两款软件的得分即可得到答案．
【解答】解：（1）由表格中的数据可知QQ直播得分为（3分）出现了6次，出现次数最多，
∴QQ直播的众数为（3分），
∵钉钉直播打分的一共有20人，分数处在第10和第11的分别是（4分），（4分），
∴钉钉直播的中位数为（4分），
∴补全表格如下：
（2）学生对这两款软件评价较高的是钉钉，理由如下：
∵学生对钉钉打分的中位数和平均数都比对QQ直播打分的中位数和平均数高，
∴学生对这两款软件评价较高的是钉钉，
故答案为：钉钉；
（3）应该是 钉钉软件的得分为：3.4×40%+3.9×60%＝3.7，
QQ直播的得分为：3.35×40%+4×60%＝3.74，
∵3.74＞3.7，
∴学校会采用QQ直播进行教学．
【点评】本题主要考查了中位数，众数和加权平均数，熟知三者的定义是解题的关键．
20．（7分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1，3）点B坐标为（2，1），并直接写出点C'的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，在y轴上找一点F，使△OBF的面积等于△ABC的面积，直接写出点F的坐标．
【考点】作图—复杂作图；坐标与图形性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【答案】（1）见解析，C（5，5）；
（2）直角三角形，见解析；
（3）F（0，5）或（0，﹣5）．
【分析】（1）根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系即可；
（2）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可；
（3）设F（0，m），构建方程求解．
【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示，C（5，5）；
（2）△ABC是直角三角形．
理由：∵AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）设F（0，m）．
由题意×|m|×2＝××2，
∴m＝±5，
∴F（0，5）或（0，﹣5）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）问题引入：
（1）如图1，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝40°，则∠BOC＝ 110°
若∠A＝α，则∠BOC＝ 90°+α （用α表示）；
（2）如图2，，∠BCO＝，若∠A＝α，则∠BOC＝ 120°+α （用α表示），填空并说明理由；
【考点】三角形内角和定理．
【答案】（1）110°，90°+α；
（2）120°+α．
【分析】（1）求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论；同理可得∠A＝α时∠BOC的度数；
（2）根据三角形内角和定理用α表示出∠OBC+∠OCB的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣70°＝110°；
同理，当∠A＝α时，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣α，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α；
故答案为：110°，90°+α；
（2）∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∵，∠BCO＝，
∴∠CBO+∠BCO＝（∠ABC+∠ACB）＝60°﹣α，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣60°+α＝120°+α．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．
22．（9分）近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元．
（1）A，B两种花的单价各为多少元？
（2）学校若购买A，B两种花共1000盆，
①设购买的B种花m盆，总费用为W元，请你写出W与m的函数关系式；
②若500≤m≤700，求当m为何值时，学校购买花总花费最少，并求出最少费用为多少元？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【答案】（1）A种花的单价为4元，B种花的单价为5元；（2）①W＝5m+4（1000﹣m）＝m+4000，②当m为500时，学校购买花总花费最少，最少费用为4500元．
【分析】（1）设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元，依题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）①根据（1）的结论，由单价乘以数量得到总价，即可列出关系式；
②根据自变量的范围结合一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元，
依题意得，
解得，
答：A种花的单价为4元，B种花的单价为5元；
（2）①由题意可得，W＝5m+4（1000﹣m）＝m+4000，
②∵1＞0，
∴W随m的增大而增大，
∵500≤m≤700，
∴当m＝500时，W取得最小值，
此时W＝4500，
即当m为500时，学校购买花总花费最少，最少费用为4500元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组以及函数关系式是解题的关键．
23．（10分）如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB＝15，对角线AC所在直线解析式为y＝﹣x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．
（1）求点A的坐标；
（2）求EA的长度；
（3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【答案】（1）A（9，0）；
（2）EA＝5；
（3）存在点P使得△PBE的周长最小；P（0，）．
【分析】（1）根据点C的坐标确定b的值，利用待定系数法求出点A坐标即可解决问题；
（2）在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，KD CD＝＝12，TC OD＝15﹣12＝3，设DE＝AE＝x，在Rt△DEO中，根据DE2＝OD2+OE2，构建方程即可解决问题；
（3）如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．利用待定系数法求出直线BE′的解析式即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB＝15，四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB＝15，
∴C（0，15），代入y＝﹣x+b得到b＝15，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+15，
令y＝0，得到x＝9，
∴A（9，0）；
（2）在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，
∴CD＝＝12，
∴OD＝15﹣12＝3，
设DE＝AE＝x，
在Rt△DEO中，DE2＝OD2+OE2，
∴x2＝32+（9﹣x）2，
∴x＝5，
∴EA＝5；
（3）存在点P使得△PBE的周长最小；理由如下：
如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．
∵E（4，0），
∴E′（﹣4，0），
设直线BE′的解析式为y＝kx+b，代入得：
，
解得，
∴直线BE′的解析式为y＝x+，
∴P（0，）．
【点评】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．
考点卡片
1．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
4．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
5．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
6．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
7．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
8．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
9．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
10．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
11．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
12．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
13．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
14．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
15．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
16．正比例函数的性质
单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
17．一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
18．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
19．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
20．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
21．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
22．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
23．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
24．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
25．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
26．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
27．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
28．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
29．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
30．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
31．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
32．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
33．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
34．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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