湖南省2024年普通高中学业水平合格性模拟考试高考数学仿真卷七教师版

这是一份湖南省2024年普通高中学业水平合格性模拟考试高考数学仿真卷七教师版，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：90分钟满分：100分
一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则的虚部为（）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数虚部的定义进行求解即可.
【详解】因为复数，所以的虚部为.
故选：D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知直接求两集合的交集和并集即可.
【详解】解：∵，
∴，
故选：D.
【点睛】此题考查集合的交集、并集运算，属于基础题.
3. 已知，，平面向量坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量的坐标运算求解．
【详解】由已知，
故选：D．
4. 若，则下列各式一定正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质以及反例即可求解.
【详解】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，
所以，故A正确；
对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个小于的整式，不等号方向改变，
所以，故B错误；
对于C，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，
所以，故C错误；
对于D，若，，此时，故D错误.
故选：A.
5. 与为相等函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的定义求解.
【详解】A.，定义域为，函数的定义域为R，两函数定义域不同，不是相等函数；
B.，定义域为R，函数的定义域为R，两函数定义域相同，对应关系也相同，是相等函数；
C.，定义域为，函数的定义域为R，两函数的定义域不同，不是相等函数；
D.函数，定义域为R，的定义域为R，两函数的对应关系不同，不是相等函数．
故选：B．
6. 已知是第二象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据角度范围确定，再根据同角三角函数关系计算得到答案.
【详解】是第二象限角，所以.
由同角函数关系式知.
故选：A.
7. 小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二分法的计算方法即可判断.
【详解】因为，，，则根应该落在区间内，
根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即.
故选：D
8. 函数大致图像是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的特点即可求解.
【详解】根据幂函数的特点知选项A的图象为函数的大致图像.
故选：A.
9. 已知正实数满足，则的最小值是（）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】正实数满足，
由基本不等式得，，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C
10. 下列函数在区间上单调递减的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据各选项中的函数解析式，直接判断单调性作答.
【详解】对于A，一次函数在R上单调递增，A不是；
对于B，反比例函数在上单调递减，B；
对于C，指数函数在R上单调递增，C不是；
对于D，对数函数在上单调递增，D不是.
故选：B
11. 化简，得（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逆用余弦函数的和差公式即可得解.
【详解】.
故选：C.
12. 在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率0.6，乙去参观市博物馆的概率为0.3，且甲乙两人各自行动，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（）
A. 0.28B. 0.36C. 0.54D. 0.72
【答案】D
【解析】
【分析】先计算出甲乙都不去参观博物馆的概率后用减去即可.
【详解】依题意，在这段时间内，甲乙都不去参观博物馆的概率为，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是．
故选：D.
13. 已知向量与且则一定共线的三点是（）
A. A，C，D三点B. A，B，C三点
C. A，B，D三点D. B，C，D三点
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的线性运算及共线定理即可求解.
【详解】对于A，因为，
所以，
所以,所以A，C，D三点不共线，故A错误；
对于B，因为，
所以,所以A，B，C三点不共线，故B错误；
对于C，因为
所以，
所以，又是与的公共点，
所以A，B，D三点共线，故C正确；
对于D，因为，
所以,所以B，C，D三点不共线，故D错误.
故选：C.
14. 下列区间中，函数单调递增的区间是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦型函数的图象与性质，求得的单调递增区间，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，函数，令，
解得，
当，可得；当，可得，
即函数在，单调递增，
结合选项，可得只有A项符合题意.
故选：A.
15. 如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角.
【详解】
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，，，
，，，
设异面直线与所成的角为,，
则,所以.
故选：C
16. 从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出基本事件的总数以及所取两数均为偶数包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.
【详解】从中抽取两个数基本事件有：
共种，
所取的两个数均为偶数的有，共种，
所以所取两数均为偶数的概率为，
故选：A.
17. 已知，，，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用诱导公式及指数函数和对数函数的单调性、中间数比较法进行比较大小即可.
【详解】因为，
因为在上单调递增，故，
因为，且在时单调递减，
故，所以，
所以.
故选：B
18. 已知函数则下列说法正确的是（）
A. 是上的增函数
B. 的值域为
C. “”是“”的充要条件
D. 若关于的方程恰有一个实根，则
【答案】D
【解析】
【分析】作出分段函数的图象，利用数形结合思想，就可以作出判断.
【详解】A:因为和都是增函数，但是当时，,,可知,故A是错误的；
B:由,故B是错误的；
C:因为时，,解得：，则反向必要性不成立，故C是错误的；
D:方程可化为：,构造函数与,由数形结合可得：
当时，它们有两个交点，所以当,它们只有一个交点，故D是符合题意的；
故选：D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
19. 某班有50名学生，按男、女生分层随机抽样，从男、女生中各取样6人和9人，则这个班男生人数是班级总人数的__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，结合分层抽样的概念可得这个班男生人数是班级总人数的，进而计算即可．
【详解】依题意可得这个班男生人数是班级总人数的．
故答案为：．
20. 长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为2，1，1，那么这个球的表面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出长方体对角线的长度，即得外接球的直径，再求球的表面积即可.
【详解】由题意，长方体的对角线的长度即外接球的直径，为，
故这个球的表面积是.
故答案为：
21. 已知是偶函数，当时，，且，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据偶函数的性质可知，
【详解】因为是偶函数，所以，解得.
故答案为：2
22. 在中，内角所对的边分别为，则的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦定理可得，由题意得，结合三角形的面积公式计算即可求解.
【详解】因为，由余弦定理得，
因为，所以，得，
故.
故答案为：
三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 如图，在正方体中，E是的中点.
（1）求证：平面；
（2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面；
（2）利用等体积法，求三棱锥的体积.
【小问1详解】
证明：因为在正方体中，，，
所以四边形平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以，
三角形ABC的面积，
三棱锥的体积.
24. 已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的图象过，求的单调区间．
【答案】（1）
（2）增区间为，减区间为.
【解析】
【分析】（1）根据解析式有意义解不等式可得；
（2）根据图象过点求a，然后由复合函数单调性求解即可.
【小问1详解】
由题可知，即，
解得，所以函数的定义域.
【小问2详解】
由函数的图像过，有，解得，
令，则，
因为为增函数，在上单调递增，在上单调递减，
所以，由复合函数单调性可知，函数在的增区间为，减区间为.
25. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
【答案】（1），63
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意先求出，进一步结合平均数公式、百分位数的定义即可列式求解；
（2）首先算出抽样比，再根据加权平均公式以及方差的性质即可列式求解.
【小问1详解】
由题意可知：，解得，
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数为，
因为，
设第25百分位数为，则，则，
解得，故第25百分位数为63．
【小问2详解】
设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，
且两组频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差
．
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．