河南省南阳市2024-2025学年高二上学期11月期中质量评估数学试题

这是一份河南省南阳市2024-2025学年高二上学期11月期中质量评估数学试题，共9页。试卷主要包含了保持卷面清洁，不折叠、不破损，以下四个命题为真命题的是，已知，直线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A.B.C.D.
2.下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ）
A.B.C.D.
3.已知点与关于直线对称，则a，b的值分别为（ ）
A.1，3B.，C.-2,0D.，
4.已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为（ ）
A.B.C.D.
5.双曲线C：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点M在双曲线C上，且，则（ ）
A.7B.1或9C.9D.3或7
6.椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（ ）
A.B.C.D.
7.已知P为抛物线上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值是（ ）
A.B.C.D.
8.已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为P，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.2
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.以下四个命题为真命题的是（ ）
A.若、、三点共线，则m的值为2
B.直线的倾斜角的范围是
C.已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是
D.直线与直线平行，则
10.已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（ ）
A.B.点M的轨迹方程是
C.的最大值是25D.的最大值为
11.曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于3的点P的轨迹，则下列结论正确的是（ ）
A.曲线C关于坐标轴对称B.点P到原点距离的最大值为2
C.周长的最小值为D.点P到y轴距离的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________.
13.已知，，，若平面内满足到直线：的距离为1的点P恰有3个，则________.
14.已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.（13分）
已知抛物线C：，焦点为F.
（1）求F的坐标及抛物线C的准线方程；
（2）已知点P是抛物线C上的一个动点，定点，则当P点在抛物线C上移动时，求的最小值.
16.（15分）
已知点P是直线：与直线：的交点.
（1）求过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
（2）设Q为圆E：上的一个动点，求中点M的轨迹方程.
17.（15分）
已知椭圆C：的左焦点为F，若C的焦距为且经过点，过点F的直线交椭圆于P，Q两点.
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
18.（17分）
已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，A，B分别是C的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率之积为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知过点的直线：，交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B）.
①求m的取值范围；
②若，其中O为坐标原点，求直线的方程.
19.（17分）
通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P.
（1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标.
（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C.
①求斜椭圆C的离心率；
②过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由.
2024年秋期高中二年级期中质量评估数学试题
参考答案
一、单选题1-5.ADBBC 6-8.ABD
二、多选题9.BCD 11.AB 10.ABC
三、填空题12. 13.±5 14.
四、解答题
15.【解析】（1）将抛物线：化为标准方程得，，
其焦点坐标为，准线方程为.
（2）由抛物线的定义知，点P到焦点F的距离即为点P到准线的距离，
为点P到定点的距离与点P到准线的距离之和，
要使得最小，
则点P，A在一条垂直于准线的直线上，
故最小值即为点到准线的距离为3，
所以，的最小值为3.
16.【解析】联立方程组，解得，
所以点P的坐标为.
（1）若直线的截距为0，即直线经过原点，则直线方程为，即；
若直线的截距不为0，设直线方程为，
将点代入，得，此时直线方程为，
所以，过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或.
（2）设点，点，由点M是线段的中点可得，
，解得，
由于点在圆：上，
所以，
化简得，，
所以点M的轨迹方程为.
17.【解析】（1）由题意，，
则①；
又点在椭圆C上，故②，
联立①②解方程组得，，，
所以椭圆C的方程为.
（2）假设存在点，使得恒成立，
易知点，设点，，
设直线的方程为：，
联立方程组得，，
则由根与系数的关系得，，，（*）
若满足，则，即，
整理得，，
又，，代入上式得，，
整理得，，
将（*）式代入得，，
又，解得，
故存在点使得恒成立.
18.【解析】（1）设双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，即，
根据题意，，双曲线的方程为.
设点，则，于是，
由，得，，
根据题意，，
解得，
所以双曲线C的方程为.
（2）（i）设点，，联立方程组得，
，
易知恒成立，
由根与系数的关系，，.
因为直线与双曲线左右两支相交，所以m需满足
，解得或.
（ii）易知，，
则
，
所以，解得或，
由（i）知，得，直线的方程为，
即或.
19.【解析】（1）由已知可得，则，
设，则，
所以，，即点P的坐标为；
（2）（i）由与交点为和，
则，，
由与交点为和，
则，所以，
；
（ⅱ）设直线：，、，
与斜椭圆联立：，
有，
∵，，
∴
，
设直线：，代入斜椭圆，有，
∴，，
∴，
故.