福建省厦门市金尚教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份福建省厦门市金尚教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）以下是四类垃圾分类的标志图案，则四幅标志图案中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）关于x一元二次方程3x2﹣2x+5＝0的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，﹣2B．3，2C．3，5D．5，2
3．（4分）对于二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上
B．图象的对称轴是直线x＝1
C．图象的顶点坐标是（﹣1，3）
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
4．（4分）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设（ ）
A．一个三角形中有两个角是直角
B．一个三角形中有两个角是钝角
C．一个三角形中有两个角是锐角
D．一个三角形中有一个角是直角
5．（4分）电影《孤注一掷》于2023年8月8日在中国大陆上映，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达13亿元，若把每天的平均增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝13
B．3（1+x）2＝13
C．3+3（1+x）2＝13
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝13
6．（4分）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1．当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，⊙O为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在⊙O上，直线l过点O，且l⊥AB于点D，交⊙O于点C．若AB＝8cm，CD＝2cm，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为（ ） cm．
A．5B．5C．5D．
7．（4分）若点（m，n）在抛物线y＝ax2（a＞0）上，其中m＞0，则不等式a（x﹣2）2＞n的解为（ ）
A．x＜﹣m+2或x＞m+2B．﹣m+2＜x＜m+2
C．x＜﹣m﹣2或x＞m﹣2D．﹣m﹣2＜x＜m﹣2
8．（4分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，AC＝8，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分.）
9．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）与点B（1，b）关于原点对称，则b＝ ．
10．（4分）设x1，x2是方程x2+5x+2024＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝ ．
11．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点A（3，0），则与x轴的另一个交点坐标是 ．
12．（4分）厦门市准备在如图所示的圆形场馆内举办一场运动会，在⊙O的边缘点A处有一台监视器，它的监控角度是70°，为了全面记录运动会的精彩瞬间，现需要监控整个圆形场馆，则最少需要在圆形边缘上共安装 台这样的监视器．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，将△ABC绕点A按逆时针旋转到△AB′C′的位置，连接CC′，此时CC′∥AB，则旋转角∠BAB′的度数为 ．
14．（4分）如图，点A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，AB＝AD，∠BCD＝110°，点E在上，则∠AED＝ °
15．（4分）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则AE的长为 ．
16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n上任意两点，若对于0＜x1＜2，2＜x2＜4，都有y1＜y2，则m的取值范围为 ．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17．（8分）解方程：
（ 1）x2+2x﹣3＝0；
（2）2x2﹣4x﹣5＝0．
18．（8分）如图，⊙O是△ACD的外接圆，CD是⊙O的直径，点B为圆外一点，且∠BAD＝∠C．求证：AB是⊙O的切线．
19．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．
20．（8分）学校打算组织学生们去嘉庚体育馆观看表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便人员进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．那么围成的这个长方形边长BC是多少米呢？
21．（8分）实数m，n满足m﹣n＝mn+1．
（1）验证m＝﹣2，n＝3是否满足上述等式；
（2）若m＝2，n＝a2+2a，佳佳认为一定存在两个不同的a的值使得m﹣n＝mn+1成立，你认为佳佳的说法正确吗？请说明理由．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（α≤60°），D是BC边上的一点，将AD绕点D顺时针旋转α得到DE．
（1）请在图中作出旋转后的线段DE（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接CE，若α＝60°，求∠DCE 的度数．
（3）直接写出∠DCE 与α的数量关系．
23．（10分）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
24．（12分）如图，直角坐标系中，以M（6，0）为圆心的⊙M交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C、D．
（1）若C点坐标为（0，8），求点A坐标．
（2）在（1）的条件下，在⊙M上，是否存在点P，使∠CPM＝45°，若存在，
求出满足条件的点P．
（3）过C作⊙M的切线CE，过A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，当⊙M的半径大小发生变化时．AN的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．
25．（14分）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A，B的伴A融合点，例如：A（﹣1，1），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝﹣3，y＝＝﹣1时，则点T（﹣3，﹣1）是点A，B的伴A融合点．
（1）已知点D（﹣1，5），E（﹣1，3），F（2，10）．请说明其中一个点是另外两个点的伴哪个点的融合点；
（2）如图，点Q是直线y＝2x上且在第三象限的一动点，点P是抛物线y＝x2上一动点，点T（x，y）是点Q，P的伴Q融合点．
①所有的点T（x，y）中是否存在最高点？若存在，求出最高点坐标，如不存在，请说明理由．
②若当点Q运动到某个位置时，在点P的运动过程中恰好有两个点T（x，y）（T1（x1，y1），T2（x2，y2））落在抛物线y＝x2上，则记|x1﹣x2|为点T1，T2的水平宽度．若1＜|x1﹣x2|＜2，求点Q运动的范围（可用点Q的横坐标的范围表示）．
2024-2025学年福建省厦门市金尚教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分。每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．【分析】根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2．【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．
【解答】解：方程3x2﹣2x+5＝0中，二次项系数为3，一次项系数为﹣2，
故选A．
【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c．
3．【分析】根据二次函数的性质和图象上点的坐标特征进行解答．
【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2﹣3，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣3），
当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
故A，B，C选项错误，D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意把二次函数化为顶点式的形式是解答此题的关键．
4．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设一个三角形中有两个角是直角，
故选：A．
【点评】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5．【分析】若把每天的平均增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达13亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若把每天的平均增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝13．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．【分析】根据l⊥AB可BD＝DA＝AB，再根据勾股定理构建关于半径r的等式求解即可．
【解答】解：∵l⊥AB，AB＝8cm，
∴BD＝DA＝AB＝4cm，
∵CD＝2cm，
∴OD＝（r﹣2）cm，
∴r2﹣42＝（r﹣2）2，
解得：r＝5，
∴紫砂壶的壶口半径r的长为5cm，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是理解垂径定理构建关于半径r的等式．
7．【分析】先由点（m，n）在抛物线y＝ax2（a＞0）上得n＝am2，再将其代入不等式a（x﹣2）2＞n，再根据a＞0，m＞0得出解集即可．
【解答】解：∵点（m，n）在抛物线y＝ax2（a＞0）上，
∴n＝am2，
∴a（x﹣2）2＞am2，
∵a＞0，
∴（x﹣2）2＞m2，
又∵m＞0，
∴x＜﹣m+2或x＞m+2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，熟练掌握以上知识点是关键．
8．【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，如图所示，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，由Rt△ADB为等腰直角三角形，则，即此时圆的直径为，再根据圆周角定理可得到∠EOH＝60°，则在Rt△EOH中，利用锐角三角函数可计算出，然后根据垂径定理即可得到．
【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，如图所示：
在Rt△ADC中，∠ACB＝45°，AC＝8，
∴，即此时点D在圆上，圆的直径为，
∵∠EOF＝2∠BAC＝120°，而∠EOH＝∠FOH，
∴∠EOH＝60°，
在Rt△EOH中，，
∵OH⊥EF，
∴EH＝FH，
∴，即线段EF长度的最小值为，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了垂线段最短和解直角三角形．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分.）
9．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【解答】解：∵点A（﹣1，﹣2）与点B（1，b）关于原点对称，
∴b＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称，关键是掌握点的坐标变化规律．
10．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算x1（1+x2）+x2的值．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣5，x1x2＝2024，
所以x1+x2﹣x1x2＝﹣5﹣2024＝﹣2029．
故答案为：﹣2029．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
11．【分析】利用抛物线的对称性即可求得抛物线与x轴的另一个交点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点A（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求解是解题的关键．
12．【分析】根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再用360°÷140°＝2.57，即可得出结果．
【解答】解：如图，连接BO，CO，
∵∠BAC＝70°，
∴∠BOC＝140°，
∵360°÷140°＝2.57，
∴最少需要在圆形边缘上共安装3台这样的监视器．
故答案为：3．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
13．【分析】由平行线的性质可求得∠C′CA的度数，然后由旋转的性质得到AC＝AC′，然后依据等腰三角形的性质可知∠AC′C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC′的度数，从而得到∠BAB′的度数．
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，
∵由旋转的性质可知，AC＝AC′，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝75°，
∴∠CAC′＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠BAB′＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质，证出∠C′CA＝70°以及AC＝AC′是解题的关键．
14．【分析】连接BD，根据圆内接四边形的性质求出∠BAD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABD，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝110°，
∴∠BAD＝70°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣70°）＝55°，
∵四边形ABDE为⊙O内接四边形，
∴∠ABD+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣55°＝125°，
故答案为：125．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15．【分析】连接CE，CD，AC，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定可得△ACD是等腰直角三角形，再根据圆周角定理和弧长的计算公式进行求解即可．
【解答】解：如图，连接CE，CD，AC，
∵AD＝＝，AC＝＝，CD＝＝，
∴CD2+AC2＝AD2，AC＝CD，
∴∠ACD＝90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵∠ABC＝90°，
∴AC是圆的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、圆周角定理等，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
16．【分析】根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出A（x1，y1），B（x2，y2）的中点在对称轴左侧，再根据对称性求解即可，
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n，
∴对称轴为直线x＝m，
∵0＜x1＜2，2＜x2＜4，
∴，
∵y1＜y2，a＜0，
∴B（x2，y2）离对称轴更近，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）的中点在对称轴左侧，
∴，
∴m≥3，
故答案为：m≥3．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17．【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程．
【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1；
（2）2x2﹣4x﹣5＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查解一元二次方程＝因式分解法，配方法等知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．
18．【分析】先由直径所对的圆周角是直角推出∠C+∠D＝90°，再由等边对等角得到∠OAD＝∠D，结合已知条件证明∠OAB＝90°，即可证明AB是⊙O的切线．
【解答】证明：如图，连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠C+∠D＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠D，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠D+∠C＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
【点评】本题主要考查了切线的判定，三角形内角和定理，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
19．【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（1+）÷
＝•
＝•
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．【分析】设BC＝x米，则AB＝米，根据围成的长方形等候区的面积为300平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设BC＝x米，则AB＝米，
根据题意得：x•＝300，
整理得：x2﹣50x+600＝0，
解得：x1＝20，x2＝30（不符合题意，舍去）．
答：围成的这个长方形边长BC是20米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．【分析】（1）把m、n的值代入已知式子的左右两边计算即得结论；
（2）把m＝2，n＝a2+2a代入原等式可得关于a的方程，然后计算此方程判别式即可进行判断．
【解答】解：（1）当m＝﹣2，n＝3时，
∵m﹣n＝﹣2﹣3＝﹣5，mn+1＝﹣2×3+1＝﹣5，
∴m﹣n＝mn+1；
即m＝﹣2，n＝3满足上述等式；
（2）当m＝2，n＝a2+2a时，
原式即为：2﹣（a2+2a）＝2（a2+2a）+1，
整理得：3a2﹣6a﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣1）＝48＞0，
∴上述关于a的方程有两个不相等的实数根，
即一定存在两个不同的a的值使得m﹣n＝mn+1成立，
∴佳佳的说法正确．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式，正确理解题意、熟练掌握根的判别式是解题关键．
22．【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明△BAD≌△CAE（SAS），推出∠B＝∠ACE＝60°，可得结论；
（3）证明△BAD≌△CAE（SAS），推出∠B＝∠ACE，由∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，推出∠ACE+∠ACB+α＝180°，可得结论．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝120°；
（3）∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ACE+∠ACB+α＝180°，
∴∠DCE+α＝180°．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23．【分析】（1）由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
（3）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
（3）∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1．
【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
24．【分析】（1）连接CM，根据点M和点C的坐标可得出⊙M的半径，即MA的长，利用M的坐标即可得出A的坐标；
（2）假设存在这样的点P，根据题意，可知△CMP为等腰直角三角形，且CM＝MP＝10．根据圆的方程和两点的距离公式列出方程组，解之即可得出点P的坐标；
（3）作MH⊥AN于H，则AH＝NH，易证△AMH≌△MCO（AAS），故AH＝MO．从而可证AH为一定值．
【解答】解：（1）连接CM，
∵M（6，0），C（0，8），
∴OM＝6，OC＝8，
故CM＝＝＝10，即⊙M的半径为10；
∴MA＝10，
∴AO＝4，
即得A（﹣4，0）；
（2）假设存在这样的点P（x，y），结合题意，
可得△CMP为等腰直角三角形，且CM＝PM＝10，
故CP＝10；
结合题意有，
解之得：
或，
即存在两个这样的点P；
P1（14，6），P2（﹣2，﹣6）；
（3）AN的长不变为12．
证明：如图2，连接CM，作MH⊥AN于H，
则AH＝HN，
∵EC切⊙M，
∴∠ECM＝90°，
∴四边形HMCF是矩形，
∴∠CMH＝90°，
在△AMH和△MCO中，
，
∴△AMH≌△MCO（AAS），
∴AH＝MO＝6，
即AN＝HN+AH＝6+6＝12．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查的是垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质，方程组的解法，综合性强，能够熟练掌握垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系是解题的关键．
25．【分析】（1）根据融合点的定义计算即可；
（2）①设Q（m，﹣m），P（x1，），由点T（x，y）是点Q，P的伴Q融合点，可用含m和x1的式子表示出x和y，整理后得到y关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
②方程＝x2有两个不相等的实数根x1，x2，根据一元二次方程根与系数关系化简计算（x1﹣x2）2，运用不等式性质求解即可．
【解答】解：（1）∵＝﹣1，＝3，
∴点E（﹣1，3）是点D（﹣1，5），F（2，10）的伴D融合点；
（2）①存在，理由是：
由题意设Q（m，2m），P（x1，），
∵点T（x，y）是点Q，P的伴Q融合点，
∴x＝，y＝，
∴x1＝mx﹣m，
∴y＝＝，
∵m＜0，
∴存在最高点T（1，1）；
②∵方程＝x2有两个不相等的实数根x1，x2，
化简得：（m﹣2）x2﹣2mx+m+2＝0，
∴Δ＝4m2﹣4（m+2）（m﹣2）＝16＞0，恒成立，
∴m＜0，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝﹣4×＝，
∵1＜|x1﹣x2|＜2．
∴1＜（x1﹣x2）2＜4，
∴1＜＜4，
∴4＜（m﹣2）2＜16，
∵m﹣2＜0，
∴﹣4＜m﹣2＜﹣2，
∴﹣2＜m＜0．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了新定义、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，理解题中的定义并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．