北京市海淀区中关村中学2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份北京市海淀区中关村中学2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．中国移动B．中国电信
C．中国网通D．中国联通
2．（3分）平面直角坐标系中，点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（4，2）B．（4，﹣2）C．（﹣4，2）D．（﹣4，﹣2）
3．（3分）下列每对数值中，是方程x﹣3y＝1的解的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a8B．（2ab）4＝2a4b4
C．（a4）2＝a8D．a8÷a2＝a4
6．（3分）已知一个等腰三角形两边长分别为3，7，那么它的周长是（ ）
A．17B．13C．13或17D．10或13
7．（3分）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DBB．∠ACB＝∠DBCC．∠ABC＝∠DCBD．∠A＝∠D＝90°
8．（3分）如图，Rt△ABC≌Rt△DEF，∠E＝55°，则∠A的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
9．（3分）点P在∠MON的平分线上（不与点O重合），PA⊥OM于点A，B是ON边上任意一点，连接PB．若PA＝4，则下列关于线段PB的说法一定正确的是（ ）
A．PB＝PO
B．PB＜4
C．PB≥4
D．存在无数个点D使得 PB＝PA
10．（3分）已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有（ ）
①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长
②长方形ABCD的长宽之比可能为2
③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形
④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．
A．①②B．①③C．②③④D．①③④
二、填空题（本大题共16分，每小题2分）
11．（2分）如果关于x的方程3x﹣m＝4的解为负数，那么m的取值范围是 ．
12．（2分）如果一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是 ．
13．（2分）计算：＝ ．
14．（2分）等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 ．
15．（2分）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝10，BC＝6，则△BEC的周长是 ．
16．（2分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝8，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E．若EC＝3，则DB的长为 ．
17．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（3，0）．若△ABC是等腰直角三角形（点C在第一象限），且AB＝BC，则点C的坐标是 ．
18．（2分）已知三角形三边为a，b，c（其中三边均不相等且a为最长边，c为最短边），若a，b，c满足a﹣b＞b﹣c，则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为7，10，5，因为10＞7＞5，且10﹣7＞7﹣5，所以这个三角形为“不均衡三角形”．若“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 ．
三、解答题（本大题共54分，第19～25题每题5分，第26～27题6分，第28题7分）
19．（5分）计算：5xy2•（﹣xy2）3．
20．（5分）解方程组：．
21．（5分）解不等式组：，并写出所有整数解．
22．（5分）化简求值：当x2﹣2x﹣3＝0时，求代数式（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）的值．
23．（5分）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB，求证：AC＝EB．
24．（5分）下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．
作法：如图，
①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ ＝BA， ＝CA，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）．
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
25．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边中线，CE平分∠ACB，交AD于点O．若∠CAB＝40°，求∠AOE的度数．
26．（6分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．
（1）图1是2024年11月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：5×19﹣4×20＝ （请完成填空），2×16﹣1×17＝ ，不难发现，结果都等于 ；
（2）设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
（3）如图2，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为105，那么中间位置上的数a＝ .
27．（6分）在△ABC中，AB＞AC，点D在△ABC的内部，∠ABD＝∠ACD，BD＝AC．
（1）如图1，延长线段CD的交AB于点E，且CE⊥AB．
①求∠DAE的度数；
②用等式表示线段AB，CD，DE之间的数量关系，直接写出结果；
（2）如图2，点F在线段DC的延长线上，连接BF交射线AD于点H，若H为BF的中点．求证：DF＝AB．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在线段OM，ON上，如果存在点P使得PA＝PB，且∠APB＝∠MON（点P，A，B逆时针排列），则称点P是线段AB的“完美点”．
如图1，点P是线段AB的“完美点”．
（1）已知点M（0，5），N（7，0）．
①在P1（3，3），P2（3，4），P3（5，2），P4（2，2）中，其中是线段AB的“完美点”的是 ；
②如图2，若点A（0，3），点B与点N重合，则线段AB的“完美点”P的坐标是 ．
（2）如图3，已知OM＝ON＝5，∠MON＝60°，当点A与点M重合，点B在线段ON上运动时（点B不与点O重合），若点P是线段AB的“完美点”，连接PN．求证：PN∥OA．
2024-2025学年北京市海淀区中关村中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共30分，每小题3分）
1．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【分析】利用关于y轴对称点的坐标特点可得答案．
【解答】解：点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣4，2），
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
3．【分析】把解分别代入方程的左右两边，逐一代入验证．
【解答】解：把x＝2代入方程，得2﹣3y＝1，解得y＝，故A，B都错误．
把x＝﹣2代入方程，得﹣2﹣3y＝1，解得y＝﹣1，故D是正确的．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的解的概念，理解概念是解题的关键．
4．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+5＞2，得：x＞﹣3，
解不等式3﹣x≥1，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．【分析】直接利用合并同类项运算法则以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．a2+a4，无法合并，故此选项不合题意；
B．（2ab）4＝16a4b4，故此选项不合题意；
C．（a4）2＝a8，故此选项符合题意；
D．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于3+3＜7，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7+7+3＝17．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
7．【分析】从图中读取公共边BC＝CB的条件，结合每个选项给出的条件，只要能够判定两个三角形全等的都排除，从而找到不能判定两个三角形全等的选项B．
【解答】解：由题知，AB＝DC，BC＝CB，
当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SSS），故选项A能判定两个三角形全等，所以不选A；
当∠ACB＝∠DBC，不能判定，△ABC≌△DCB，故选B；
当∠ABC＝∠DCB，△ABC≌△DCB（SAS），故选项C能判定两个三角形全等，所以不选C；
当∠A＝∠D＝90°，Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），故选项D能判定两个三角形全等，所以不选D．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，注意一般三角形的“边边角”不能判定两个三角形全等，以及直角三角形的“HL”可以判定两个三角形全等．
8．【分析】根据三角形内角和定理求出∠EDF，根据全等三角形的性质解答．
【解答】解：∵∠EFD＝90°，∠E＝55°，
∴∠EDF＝90°﹣55°＝35°，
∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∠A＝∠EDF＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
9．【分析】过点P作PB⊥ON于P，根据角平分线的性质得到PB＝PA＝4，再由垂线段最短解答即可．
【解答】解：如图，过点P作PB⊥ON于P，
∵点P在∠MON的平分线上，PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PB＝PA＝4，
由垂线段最短可知：PB≥4，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
10．【分析】根据正方形定义和长方形的周长公式判断①③，假设长方形的长宽比是2，推导出与已知的矛盾，排除②，根据长方形的周长为60，推导出该长方形的面积大于100，从而说明④错误．
【解答】解：①四边形AEFG、FHKM、SKWC的周长之和等于长方形ABCD的周长；
②长方形的长为a+2b，宽为2a+b，若该长方形的长宽之比为2，则a+2b＝2（2a+b）
解得a＝0．这与题意不符，故②的说法不正确；
③当长方形ABCD为正方形时，2a+b＝a+2b
所以a＝b，所以九部分都为正方形，故③的说法正确；
④当长方形ABCD的周长为60时，即2（2a+b+a+2b）＝60
整理，得a+b＝10
所以四边形GHWD的面积为100．
故当长方形ABCD的周长为60时，它的面积不可能为100，故④的说法不正确．
综上正确的是①③．
故选：B．
【点评】本题考查了长方形、正方形的周长和面积即等式的性质等知识点．掌握正方形的判定、长方形的周长公式和正方形的面积公式是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共16分，每小题2分）
11．【分析】先解关于x的方程3x﹣m＝4，得，再根据该方程的解为负数，得，然后再解这个不等式即可得出m的取值范围．
【解答】解：对于关于x的方程3x﹣m＝4，
移项，得：3x＝m+4，
未知数的系数化为1，得：，
∵该方程的解为负数，
∴，
去分母，得：m+4＜0，
移项，得：m＜﹣4，
∴关于x的方程3x﹣m＝4的解为负数，那么m的取值范围是m＜﹣4，
故答案为：m＜﹣4．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式，理解一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程和解一元一次不等式的方法和步骤是解决问题的关键．
12．【分析】根据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
【解答】解：360°÷60°＝6．
故这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
13．【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
故答案为：80°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
15．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BEC的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+AC＝6+10＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．【分析】根据△ABC是等边三角形得出∠C＝60°，由DE⊥AC得出∠DEC＝90°，从而可以求出∠CDE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出DC即可得DB的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，BC＝AB＝8，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴EC＝DC，
∴CD＝2EC，
∵EC＝3，
∴CD＝2×3＝6，
∴DB＝BC﹣CD＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，能求出∠CDE＝30°是解此题的关键．
17．【分析】根据已知条件得到OA＝2，OB＝3，过C作CD⊥x轴于D，根据全等三角形的性质得到CD＝OB＝3，BD＝OA＝2，求得C（5，3）．
【解答】解：如图，∵点A（0，2），B（3，0），
∴OA＝2，OB＝3，
过C作CD⊥x轴于D，
∵△ABC是等腰直角三角形（点C在第一象限），且AB＝BC，
∴∠AOB＝∠ABC＝∠BDC＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝∠ABO+∠CBD＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△ABO与△BCD中，
，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD＝OB＝3，BD＝OA＝2，
∴C（5，3），
故答案为：（5，3）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
18．【分析】因为不能确定最长和最短边，分三种情况讨论：①2x+2＞16＞2x﹣6；②16＞2x+2＞2x﹣6；③2x﹣6＞16；然后根据计算结果可得答案．
【解答】解：共分3种情况讨论：
①2x+2＞16＞2x﹣6，
解得：7＜x＜11，
2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6），
解得：x＞9，
∴9＜x＜11，
∵x为整数，
∴x＝10，
当x＝10时，2x+2＝22，2x﹣6＝14，
∵16+14＞22，
∴能构成三角形；
②16＞2x+2＞2x﹣6，
16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2z﹣6），
解得：x＜3（不合题意舍去）；
③2x﹣6＞16时，
解得：x＞11，
2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16，
解得：x＜15，
∴11＜x＜15，
∵x为整数，
∴x＝12或13或14，
当x＝12时，2x+2＝26，2x﹣6＝18，
∵18+16＞26，
∴能构成三角形；
当x＝13时，2x+2＝28，2x﹣6＝20，
∵20+16＞28，
∴能构成三角形；
当x＝14时，2x+2＝30，2x﹣6＝22，
∵22+16＞30，
∴能构成三角形，
综上可知：x的整数值为10或12或13或14，
故答案为：10或12或13或14．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是理解已知条件中的新定义的含义．
三、解答题（本大题共54分，第19～25题每题5分，第26～27题6分，第28题7分）
19．【分析】根据（an）m＝amn先进行乘方运算得到原式＝5xy2•（﹣x3y6），然后根据am•an＝am+n进行乘法运算即可．
【解答】解：原式＝5xy2•（﹣x3y6）
＝﹣5x4y8．
【点评】本题考查了整式的混合运算：幂的运算方法am•an＝am+n；（an）m＝amn；am÷an＝am﹣n，a≥0，m、n为正整数．
20．【分析】方程组变形后，利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：
由①得：x＝2+3y③，
把③代入②得：3（2+3y）+2y＝17，
解得：y＝1，
把y＝1代入③得：x＝2+3＝5，
所以这个方程组的解是．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜3，
解不等式②，得x＞﹣1，
∴原不等式组的解集是﹣1＜x＜3，
∴所有整数解为0，1，2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式、合并同类项把原式化简，整体代入计算得到答案．
【解答】解：（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）
＝x2﹣2x+1+x2﹣4x+x2﹣4
＝3x2﹣6x﹣3，
∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
则原式＝3（x2﹣2x）﹣3＝6．
【点评】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
23．【分析】直接利用平行线的性质结合全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】证明：∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠BDE．
在△ABC与△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴AC＝EB．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
24．【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）根据线段的垂直平分线的判定即可解决问题；
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）理由：连接BE，EC．
∵AB＝BE，EC＝CA，
∴点B，点C分别在线段AE的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∴直线BC垂直平分线段AE，
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
故答案为：BE，EC，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．【分析】先根据等腰三角形的性质得∠ACB＝70°，AD平分∠CAB，进而得∠OAC＝20°，再根据CE平分∠ACB得∠OCA＝35°，然后根据∠AOE＝∠OAC+∠OCA可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣∠CAB）＝70°，
∵AD是BC边的中线，
∴AD平分∠CAB，
∴∠OAC＝∠CAB＝20°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠OCA＝∠ACB＝35°，
∴∠AOE＝∠OAC+∠OCA＝55°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的高，三角形的角平分线，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的高，三角形的角平分线是解决问题的关键．
26．【分析】（1）两式计算得到结果，归纳总结即可得到结果；
（2）设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则A，B，D，E四个数依次为x﹣8，x﹣7，x+7，x+8，根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，即可证明；
（3）中间位置上的数为a，则最小的数为a﹣8，最大的数为a+8，根据题意列出关系式，即可求解．
【解答】（1）解：5×19﹣4×20＝15，2×16﹣1×17＝15，不难发现，结果都是：15；
故答案为：15，15，15；
（2）证明：设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则A，B，D，E四个数依次为x﹣8，x﹣7，x+7，x+8，
由题意得，
（x﹣7）（x+7）﹣（x﹣8）（x+8）
＝（x2﹣49）﹣（x2﹣64）
＝x2﹣49﹣x2+64
＝15；
（3）解：中间位置上的数为a，则最小的数为a﹣8，最大的数为a+8，
由题意得，
（a﹣8）（a+8）＝105，
a2﹣64＝105，
a2＝69，
a＝13或﹣13（负值舍去），
∴a＝13，
故答案为：13．
【点评】此题考查了列代数式，整式的混合运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
27．【分析】（1）①证明△ACE≌△DBE（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝DE，则可得出答案；
②由全等三角形的性质得出BE＝CE，AE＝DE，则可得出结论；
（2）过点F作FG⊥AH，交AH的延长线于点G，过点B作BM⊥AH于点M，过点A作AN⊥CD，交CD的延长线于点N，过点D作DK⊥AB于点K，证明△ACN≌△DBK（AAS），得出AN＝DK，证明Rt△ADN≌Rt△DAK（HL），得出∠ADN＝∠DAK，证明△BHM≌△FHG（AAS），由全等三角形的性质得出CM＝FG，证明△ACM≌△DFG（AAS），由全等三角形的性质得出AB＝DF．
【解答】（1）解：①∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠DEB＝90°，
∵∠DCA＝∠DBA，AB＝BD，
∴△ACE≌△DBE（AAS），
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝45°；
②AB＝2DE+CD，
理由：∵△ACE≌△DBE，
∴BE＝CE，AE＝DE，
∴AB＝AE+BE＝DE+DE+CD＝2DE+CD；
（2）证明：过点F作FG⊥AH，交AH的延长线于点G，过点B作BM⊥AH于点M，过点A作AN⊥CD，交CD的延长线于点N，过点D作DK⊥AB于点K，
∵∠ABD＝∠DCA，∠DKB＝∠ANC＝90°，AC＝BD，
∴△ACN≌△DBK（AAS），
∴AN＝DK，
又∵AD＝DA，
∴Rt△ADN≌Rt△DAK（HL），
∴∠ADN＝∠DAK，
∵∠ADN＝∠FDG，
∴∠FDG＝∠DAK，
∵H为BF的中点，
∴BH＝FM，
∵∠B＝∠FHG，∠BMH＝∠FGH，
∴△BHM≌△FHG（AAS），
∴BM＝FG，
∵∠AMB＝∠G＝90°，
∴△ABM≌△DFG（AAS），
∴AB＝DF．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
28．【分析】解：（1）①作P1A⊥y轴于点A，作P1B⊥x轴于点B，∠AP1B＝∠MON＝90°，P1A＝P1B＝3，故P1是线段AB的“完美点”，作P3F⊥x轴于F，作P3E⊥y轴于点E，作∠CP3D＝90°，可证得△EP3C与△FP3D不全等，从而CP3≠DP3，进一步得出结果；
②作PF⊥y轴于点F，作BE⊥PF于点E，△APF≌△PBE，PE＝AF，BE＝PF，进一步得出结果；
（3）在x轴上截取BC＝OA，连接PC，可证得△OAB≌△BCP，从而得出∠PCB＝∠AOB＝60°，PC＝OB，BC＝OA，进而证得△PNC是等边三角形，进一步得出结论．
【解答】（1）解：①如图1，
作P1A⊥y轴于点A，作P1B⊥x轴于点B，
∠AP1B＝∠MON＝90°，P1A＝P1B＝3，
故P1是线段AB的“完美点”，
同理P4是线段AB的“完美点”，
作P3F⊥x轴于F，作P3E⊥y轴于点E，作∠CP3D＝90°，点C在y轴上，点D在x轴上，
∴∠EP3F＝∠CP3D，
∴∠EP3C＝∠DP3F，
∵EP3＝5，FP3＝2，
∴EP3≠FP3，
∴△EP3C与△FP3D不全等，
∴CP3≠DP3，
∴P3不是AB的“完美点”，
同理P2不是AB的“完美点”，
故答案为：P1，P4；
②如图2，
作PF⊥y轴于点F，作BE⊥PF于点E，
∴∠AFP＝∠E＝90°，
∴∠APF+∠PAF＝90°，
∵∠APB＝∠MON＝90°，
∴∠APF+∠BPE＝90°，
∴∠BPE＝∠PAF，
∵PA＝PB，
∴△APF≌△PBE（AAS），
∴PE＝AF，BE＝PF，
∵PF＝BE＝OF，PE+PF＝OB＝7，
∴PE＝AF＝2，PF＝BE＝5，
∴P（5，5），
故答案为：（5，5）；
（3）证明；如图3，
在x轴上截取BC＝OA，连接PC，
∵PA＝PB，∠APB＝∠MON＝60°，
∴△APB是等边三角形，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠MON＝120°，
∴∠ABP＝60°，AB＝BP，
∴∠ABO+∠PBC＝180°﹣∠ABP＝120°，
∴∠OAB＝∠PBC，
∴△OAB≌△BCP（SAS），
∴∠PCB＝∠AOB＝60°，PC＝OB，BC＝OA，
∵OM＝ON，∠MON＝60°，
∴△MON是等边三角形，
∴OA＝OM＝ON，
∴BC＝ON，
∴CN＝OB，
∴PC＝CN，
∴△PNC是等边三角形，
∴∠PNC＝60°，
∴∠AOB＝∠PCN，
∴PN∥OA．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．