2024年上海市黄浦区中考数学三模试卷

这是一份2024年上海市黄浦区中考数学三模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．a2•a3＝a6
C．a5÷a3＝a2D．（a+2a）2＝4a2
2．（4分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．cs60°B．1.3C．83D．27
3．（4分）下列函数中，满足y的值随x的值增大而减小的是（ ）
A．y＝2xB．y=2xC．y＝2﹣xD．y＝﹣2x2
4．（4分）如果一组数据1，2，x，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（ ）
A．6B．5C．2D．1
5．（4分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
6．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形
B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形
C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形
D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：20-9= ．
8．（4分）红细胞的直径约为0.0000077m，0.0000077用科学记数法表示为 ．
9．（4分）分解因式：x2﹣9x＝ ．
10．（4分）方程x=4-3x的根是 ．
11．（4分）不等式组x-2＜02x+1≥0的整数解是 ．
12．（4分）如果关于x的方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是 ．
13．（4分）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ．
14．（4分）某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数．把参赛学生的成绩整理后分为6小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是 ．
15．（4分）如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是 ．
16．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，点E、F分别是边AB、CD的中点．设AD→=a→，DC→=b→，那么向量EC→用向量a→、b→表示是 ．
17．（4分）当相交的两个圆中有一个圆的圆心在另一圆的圆内部时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．已知点O在线段AB上，⊙A的半径为1，如果以OB为半径的⊙O与⊙A“内相交”，且AB＝5，那么OB的取值范围是 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好与△ABC的重心重合，A′B′与BC相交于点E，那么BE：CE的值为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：4x2-4+2x+2-1x-2，其中x=2．
20．（10分）解方程组：y-2x=6①4x2+4xy+y2=4②
21．（10分）如图，半径为5的⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边BC相交于点D，BD＝8，AB＝AD．
（1）求AB的长；
（2）如果tanC=43，判断直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆的位置关系，并说明理由．
22．（10分）在一条笔直的公路上有A、B两地，小明骑自行车从A地去B地，小刚骑电动车从B地去A地然后立即原路返回到B地，如图是两人离B地的距离y（千米）和行驶时间x（小时）之间的函数图象．请根据图象回答下列问题：
（1）求小明离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式；
（2）若两人间的距离不超过3千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到B地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？
23．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE与对角线AC交于点F，FG∥AD，且FG＝EF．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）联结AE、BD，如果AC⊥ED，求证：AE2＝2FG•BE．
24．（12分）已知在直角坐标平面内，抛物线y=12(x-m)2+m+1(m≠0)与y轴交于点A，顶点为点B，点C的坐标为（0，1），直线BC与x轴交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求△ABC的面积；
（3）如果AB⊥BC，求抛物线的表达式．
25．（14分）如图，已知圆O的半径AO＝r，P是半径AO上的一个动点（点P不与点A、点O重合），作线段OP的垂直平分线，分别交线段OP于点B、交圆O于点C和点E（点C在点E的上方）．联结CP并延长，交圆O于点D．
（1）当点P是线段AB中点时，求ACAO的值；
（2）当r＝4时，
①如果PA＝1，求PD的长；
②联结OD交CE于点F，联结PF，如果△PDF为等腰三角形，求CD的长．
2024年上海市黄浦区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．a2•a3＝a6
C．a5÷a3＝a2D．（a+2a）2＝4a2
【考点】整式的混合运算．
【答案】C
【分析】A、根据幂的乘方，底数不数，指数相乘的法则进行计算；
B、根据同底数幂的乘法法则进行计算；
C、根据同底数幂的除法法则进行计算；
D、先合并同类项，再根据积的乘方法则进行计算．
【解答】解：A、（a2）3＝a5，所以此选项不正确；
B、a2•a3＝a5，所以此选项不正确；
C、a5÷a3＝a2，所以此选项正确；
D、（a+2a）2＝（3a）2＝9a2，所以此选项不正确；
故选：C．
2．（4分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．cs60°B．1.3C．83D．27
【考点】无理数；特殊角的三角函数值．
【答案】D
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：cs60°=12是分数，1.3是有限小数，83是整数，它们都不是无理数；
27=33是无限不循环小数，它是无理数；
故选：D．
3．（4分）下列函数中，满足y的值随x的值增大而减小的是（ ）
A．y＝2xB．y=2xC．y＝2﹣xD．y＝﹣2x2
【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质．
【答案】C
【分析】根据一次函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可得答案．
【解答】解：A、函数y＝2x，y随自变量x的值增大而增大，故A不符合题意，
B、函数y=2x，当x＞0或x＜0时，y随自变量x的值增大而减小，故B不符合题意，
C、函数y＝2﹣x，y随自变量x的值增大而减小，故C符合题意，
D、函数y＝﹣2x2，在x＞0时y随自变量x的值增大而减小，x＜0时y随自变量x的值增大而增大，故D不符合题意，
故选：C．
4．（4分）如果一组数据1，2，x，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（ ）
A．6B．5C．2D．1
【考点】众数；中位数．
【答案】B
【分析】根据众数的定义先求出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即可得出答案．
【解答】解：∵数据1，2，x，5，6的众数为6，
∴x＝6，
把这些数从小到大排列为：1，2，5，6，6，最中间的数是5，
则这组数据的中位数为5；
故选：B．
5．（4分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【考点】平行线的判定．
【答案】A
【分析】先根据邻补角的定义得到∠3＝60°，根据平行线的判定当b与a的夹角为45°时，b∥c，由此得到直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°＝15°．
【解答】解：∵∠1＝120°，
∴∠3＝60°，
∵∠2＝45°，
∴当∠3＝∠2＝45°时，b∥c，
∴直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°＝15°．
故选：A．
6．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形
B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形
C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形
D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形
【考点】等腰梯形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；多边形内角与外角．
【答案】D
【分析】根据等腰梯形的概念判断即可．
【解答】解：A、有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，故本选项说法不正确，不符合题意；
B、连接等腰三角形两腰的中点，得到的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形，故本选项说法不正确，不符合题意；
C、有两个相邻的内角相等的梯形不一定是等腰梯形，例如直角梯形有两个相邻的内角相等，不是等腰梯形，故本选项说法不正确，不符合题意；
D、有一组对角互补的梯形是等腰梯形，说法正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：20-9= ﹣2 ．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【答案】﹣2．
【分析】先根据零指数幂和算术平方根运算，然后进行减法运算即可．
【解答】解：原式＝1﹣3＝﹣2．
故答案为：﹣2．
8．（4分）红细胞的直径约为0.0000077m，0.0000077用科学记数法表示为 7.7×10﹣6 ．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【答案】见试题解答内容
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000077＝7.7×10﹣6，
故答案为：7.7×10﹣6．
9．（4分）分解因式：x2﹣9x＝ x（x﹣9） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先确定多项式中的两项中的公因式为x，然后提取公因式即可．
【解答】解：原式＝x•x﹣9•x＝x（x﹣9），
故答案为：x（x﹣9）．
10．（4分）方程x=4-3x的根是 x＝1 ．
【考点】无理方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】先把方程两边同时平方转化为有理方程，然后解得有理方程的解，最后要进行检验，本题得以解决．
【解答】解：x=4-3x两边平方，得
x2＝4﹣3x，
解得，x＝1或x＝﹣4，
检验：当x＝﹣4不是原方程的根，
故原无理方程的解是x＝1，
故答案为：x＝1
11．（4分）不等式组x-2＜02x+1≥0的整数解是 0，1 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【答案】0，1．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出其整数解即可．
【解答】解：x-2＜0①2x+1≥0②，
解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x≥-12，
∴该不等式组的解集是-12≤x＜2，
故该不等式组的整数解是0，1，
故答案为：0，1．
12．（4分）如果关于x的方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是 m＞94 ．
【考点】根的判别式；解一元一次不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＜0，
解得：m＞94，
故答案为：m＞94．
13．（4分）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 35 ．
【考点】概率公式；中心对称图形．
【答案】35．
【分析】在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的5张纸片中，中心对称图案的卡片是圆、矩形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的5张纸片中，中心对称图形有圆、矩形、菱形这3个，
∴抽到中心对称图形的概率是35，
故答案为：35．
14．（4分）某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数．把参赛学生的成绩整理后分为6小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是 80% ．
【考点】频数（率）分布直方图．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据频数分布直方图可得全班的总人数及成绩高于60分的学生，从而得出答案．
【解答】解：∵全班的总人数为3+6+12+11+7+6＝45人，其中成绩高于60分的学生有12+11+7+6＝36人，
∴成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是3645×100%＝80%，
故答案为：80%．
15．（4分）如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是 6 ．
【考点】多边形内角与外角．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正n边形的内角是它中心角的两倍，列出方程求解即可．
【解答】解：依题意有
(n-2)⋅180n=360n×2，
解得n＝6．
故答案为：6．
16．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，点E、F分别是边AB、CD的中点．设AD→=a→，DC→=b→，那么向量EC→用向量a→、b→表示是 2a→+12b→ ．
【考点】*平面向量；梯形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据梯形的中位线等于上底与下底和的一半表示出EF，然后根据向量的三角形法则解答即可．
【解答】解：∵点E、F分别是边AB、CD的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，FC=12DC，
∴EF=12（AD+BC），
∵BC＝3AD，
∴EF=12（AD+3AD）＝2AD，
由三角形法则得，EC→=EF→+FC→=2AD→+12DC→，
∵AD→=a→，DC→=b→，
∴EC→=2a→+12b→．
故答案为：2a→+12b→．
17．（4分）当相交的两个圆中有一个圆的圆心在另一圆的圆内部时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．已知点O在线段AB上，⊙A的半径为1，如果以OB为半径的⊙O与⊙A“内相交”，且AB＝5，那么OB的取值范围是 2.5＜OB＜3 ．
【考点】圆与圆的位置关系．
【答案】2.5＜OB＜3．
【分析】设M为AB的中点，则BM=12AB＝2.5，画图分类讨论两种情况．
【解答】如图所示，设M为AB的中点，则BM=12AB＝2.5，
当O与M重合时，BO=12AB＝2.5，如图所示，此时A在圆B上，则OB＞2.5时，两圆“内相交”．
当OB＝AB时，两圆“内相交”．
∴2.5＜OB＜3．
故答案为：2.5＜OB＜3．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好与△ABC的重心重合，A′B′与BC相交于点E，那么BE：CE的值为 43 ．
【考点】三角形的重心；旋转的性质．
【答案】43．
【分析】先根据旋转的性质得到CB′＝CB，CA＝CA′，∠ACA′＝∠BCB′，根据三角形重心的性质得到AD为BC边上的中线，AA′＝2DA′，则DA′=13AD，根据斜边上的中线性质得到AD＝BD＝CD，所以DA′=16B′C，接着证明∠B′CA′＝∠CA′A得到AD∥B′C，所以△A′DE∽△B′CE，然后利用相似比得到DECE的值，从而得到BE：CE的值．
【解答】解：∵△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，
∴CB′＝CB，CA＝CA′，∠ACA′＝∠BCB′，
∵点A′为△ABC的重心，
∴AD为BC边上的中线，AA′＝2DA′，
∴DA′=13AD，
∵∠BAC＝90°，
∴AD＝BD＝CD，
∴DA′=13BD=13×12BC=16BC=16B′C，
∵∠ACA′＝∠BCB′，
∴∠ACA′+∠DCA′＝∠BCB′+∠DCA′，
即∠ACD＝∠B′CA′，
∵DC＝DA，
∴∠ACD＝∠DAC，
∵CA＝CA′，
∴∠CAA′＝∠CA′A，
∴∠B′CA′＝∠CA′A，
∴AD∥B′C，
∴△A′DE∽△B′CE，
∴DECE=DA'B'C=16，
∴BECE=86=43
故答案为：43．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：4x2-4+2x+2-1x-2，其中x=2．
【考点】分式的化简求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】先化简题目中的式子，然后将x的值代入即可解答本题．
【解答】解：4x2-4+2x+2-1x-2
=4(x+2)(x-2)+2x+2-1x-2
=4+2(x-2)-(x+2)(x+2)(x-2)
=4+2x-4-x-2(x+2)(x-2)
=x-2(x+2)(x-2)
=1x+2，
当x=2时，原式=12+2=2-22．
20．（10分）解方程组：y-2x=6①4x2+4xy+y2=4②
【考点】高次方程．
【答案】x1=-1y1=4或x2=-2y2=2．
【分析】由②得2x+y＝±2从而将原方程组化成两个二元一次方程组，分别求二元一次方程组的解即可．
【解答】解：由②得：（2x+y）2＝4，
∴2x+y＝±2，即2x+y＝2或2x+y＝﹣2，
∴原方程组可化为两个二元一次方程组：
（Ⅰ）y-2x=62x+y=2或（Ⅱ）y-2x=62x+y=-2，
解（Ⅰ）得：x1=-1y1=4；
解（Ⅱ）得：x2=-2y2=2；
∴原方程组的解是x1=-1y1=4或x2=-2y2=2．
21．（10分）如图，半径为5的⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边BC相交于点D，BD＝8，AB＝AD．
（1）求AB的长；
（2）如果tanC=43，判断直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆的位置关系，并说明理由．
【考点】直线与圆的位置关系；解直角三角形；圆周角定理．
【答案】（1）45；
（2）直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆相交．理由见解析．
【分析】（1）连接AD、OB，连接AO并延长交BC于E点，得出AE⊥BC，BE＝DE．根据垂径定理可得BE＝DE＝4，利用勾股定理求出OE＝3，则AE＝8，再利用勾股定理即可求解；
（2）根据正切函数的定义得tanC=AECE=43，可得CE＝6，则BC＝BE+CE＝10，过C作CH⊥AB于H，根据sin∠ABE=AEAB=CHCB可得845=CH10，可求出CH＝45＜9，即可得出答案．
【解答】解：（1）连接OD、AD、OB，连接AO并延长交BC于E点，
∵AB＝AD，OB＝OD，
∴AE⊥BC，BE＝DE．
∵BD＝8，
∴BE＝DE＝4，
∴OE=OB2-BE2=3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AB=AE2+BE2=82+42=45；
（2）直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆相交．理由如下：
∵tanC=AECE=43，AE＝8，
∴CE＝6，
∴BC＝BE+CE＝10，
过C作CH⊥AB于H，
∵sin∠ABE=AEAB=CHCB，
∴845=CH10，
∴CH＝45＜9，
∴直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆相交．
22．（10分）在一条笔直的公路上有A、B两地，小明骑自行车从A地去B地，小刚骑电动车从B地去A地然后立即原路返回到B地，如图是两人离B地的距离y（千米）和行驶时间x（小时）之间的函数图象．请根据图象回答下列问题：
（1）求小明离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式；
（2）若两人间的距离不超过3千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到B地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？
【考点】一次函数的应用．
【答案】（1）y＝﹣15x+30（0≤x≤2）；
（2）1615．
【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”求出小明的速度，根据“小明离B地的距离＝A、B两地之间的距离﹣小明离A地的距离”作答即可；
（2）求出小刚离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式，并写为分段函数的形式，根据“二人相遇时，二人离B地距离相等”列方程求出相遇时间；按照x的取值范围分别求出两人途中相遇后相距3千米时对应的时间，两者之差即为所求．
【解答】解：（1）小明的速度为30÷2＝15（千米/小时），则y＝30﹣15x＝﹣15x+30，
∴小明离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式为y＝﹣15x+30（0≤x≤2）．
（2）小刚骑电动车从B地去A地和从A地返回B地过程中速度不变，均为30÷1＝30（千米/小时），
则小刚从B地去A地过程中离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式为y＝30x（0≤x＜1）；
小刚从A地返回B地过程中离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式为y＝30﹣30（x﹣1）＝﹣30x+60（1≤x≤2）；
∴小刚离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式为y=30x(0≤x＜1)-30x+60(1≤x≤2)．
当二人相遇时，二人离B地距离相等，得﹣15x+30＝30x，解得x=23；
当23≤x≤1时，当两人间的距离为3千米时，得30x﹣（﹣15x+30）＝3，解得x=1115；
当1＜x≤2时，当两人间的距离为3千米时，得﹣30x+60﹣（﹣15x+30）＝3，x=95；
由图象可知，两人途中相遇后当1115＜x＜95时，两人间的距离超过3千米，
95-1115=1615（小时），
∴无法用无线对讲机保持联系的总时间是1615小时．
23．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE与对角线AC交于点F，FG∥AD，且FG＝EF．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）联结AE、BD，如果AC⊥ED，求证：AE2＝2FG•BE．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）由AD∥BC，DE∥AB得四边形ABED是平行四边形，由FG∥AD得△CFG∽△CAD，得到FGAD=CFCA，同理得FGAD=EFAB，进而由FG＝EF得到AD＝AB，即可求证；
（2）连接BD，与AE交于点H，证明△DHE∽△AFE得到EHEF=DEAE，进而由EH=12AE，DE＝BE，FG＝EF，可得12AEFG=BFAE据此即可求证；
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵FG∥AD，
∴△CFG∽△CAD，
∴FGAD=CFCA，
同理可得，EFAB=CFCA，
∴FGAD=EFAB，
∵FG＝EF，
∴AD＝AB，
四边形ABED是菱形；
（2）证明：设BD，AE交于点H，如图，
∵四边形ABED是菱形，
∴EH=12AE，DE＝BE，BD⊥AE，
∴∠DHE＝90°，
∵AC⊥ED，
∴∠AFE＝90°，
∴∠DHE＝∠AFE，
又∵∠DEH＝∠AED，
∴△DHE∽△AFE，
∴EHEF=DEAE，
∵EH=12AE，DE＝BE，FG＝EF，
∴12AEFG=BEAE，
∴12AE2=FG⋅BE，
即AE2＝2FG•BE•
24．（12分）已知在直角坐标平面内，抛物线y=12(x-m)2+m+1(m≠0)与y轴交于点A，顶点为点B，点C的坐标为（0，1），直线BC与x轴交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求△ABC的面积；
（3）如果AB⊥BC，求抛物线的表达式．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）D（﹣1，0）；
（2）S△ABC=14；
（3）y=12x2﹣2x+5．
【分析】（1）求出抛物线y=12（x﹣m）2+m+1顶点B（m，m+1），由B（m，m+1），C（0，1）得直线BC解析式为y＝x+1，故D（﹣1，0）；
（2）求出A（0，12m2+m+1），知A与O（0，0）不重合，根据抛物线与坐标轴共有两个不同的交点，可得12（x﹣m）2+m+1＝0有两个相等的实数解，从而m＝﹣1；可得A（0，12），B（﹣1，0），即可得S△ABC=12×12×1=14；
（3）由AB⊥BC，有AC2＝AB2+BC2，即（12m2+m）2＝m2+（12m2）2+m2+m2，解得m＝0（舍去）或m＝2，即可得y=12（x﹣2）2+2+1=12x2﹣2x+5．
【解答】解：（1）抛物线y=12（x﹣m）2+m+1顶点B（m，m+1），
设直线BC解析式为y＝kx+b，把B（m，m+1），C（0，1）代入得：
mk+b=m+1b=1，
解得k=1b=1，
∴直线BC解析式为y＝x+1，
在y＝x+1中，令y＝0得x＝﹣1，
∴D（﹣1，0）；
（2）在y=12（x﹣m）2+m+1中，令x＝0得y=12m2+m+1，
∴A（0，12m2+m+1），
∵12m2+m+1＝0无实数解，
∴A与O（0，0）不重合，
∵抛物线与坐标轴共有两个不同的交点，
∴抛物线y=12（x﹣m）2+m+1与x轴只有一个交点，
∴12（x﹣m）2+m+1＝0有两个相等的实数解，
∴﹣m﹣1＝0，
解得m＝﹣1；
∵A（0，12m2+m+1），B（m，m+1），
∴A（0，12），B（﹣1，0），
∵C（0，1），
∴AC=12，
∴S△ABC=12×12×1=14；
（3）∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴AC2＝AB2+BC2，
∵A（0，12m2+m+1），B（m，m+1），C（0，1），
∴（12m2+m）2＝m2+（12m2）2+m2+m2，
整理得：m2（m﹣2）＝0，
解得m＝0（舍去）或m＝2，
∴y=12（x﹣2）2+2+1=12x2﹣2x+5．
25．（14分）如图，已知圆O的半径AO＝r，P是半径AO上的一个动点（点P不与点A、点O重合），作线段OP的垂直平分线，分别交线段OP于点B、交圆O于点C和点E（点C在点E的上方）．联结CP并延长，交圆O于点D．
（1）当点P是线段AB中点时，求ACAO的值；
（2）当r＝4时，
①如果PA＝1，求PD的长；
②联结OD交CE于点F，联结PF，如果△PDF为等腰三角形，求CD的长．
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）233．
（2）①DP=74；
②42或25+2．
【分析】（1）利用线段垂直平分线和线段中点性质可得OB=PB=PA=13AO=13r，∠CBO＝∠CBA＝90°，利用勾股定理可求出AC=233r，即可求解；
（2）①延长AO交圆O于点M，连接CM、AD，可证△APD∽△CPM，得到DPMP=APCP，据此即可求解；
②分三种情况讨论：PD＝PF，DP＝DF和FD＝FP，进行解答即可求解．
【解答】解：（1）∵CE是OP的垂直平分线，
∴OB＝PB，∠CBO＝∠CBA＝90°，
∵点P是线段AB中点时，
∴PA＝PB，
∴OB=PB=PA=13AO=13r，
∴AB=23r，
在Rt△OBC中，BC=OC2-OB2=r2-(13r)2=223r，
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=(23r)2+(223r)2=233r，
∴ACAO=233rr=233．
（2）①如图，延长AO交圆O于点M，连接CM、AD，则∠ADC＝∠CMA，即∠ADP＝∠CMP，
∵∠APD＝∠CPM，
∴△APD∽△CPM，
∴DPMP=APCP，
∵r＝4，PA＝1，
∴MP＝7，
∵CE是OP的垂直平分线，
∴CP＝CO＝4，
∴DP7=14，
∴DP=74；
②如图，分三种情况讨论：
当PD＝PF时，∠PDF＝∠PFD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠PFD＝∠OCD，
∵∠PFD+∠OFP＝180°，
∴∠OCD+∠OFP＝180°，
∴∠COF+∠CPF＝180°，
∵CE是OP的垂直平分线，
∴CP＝CO，FP＝FO，
∴∠CPO＝∠COP，∠FPO＝∠FOP，
∴∠CPO+∠FPO＝∠COP+∠FOP，
即∠CPF＝∠COF，
∴∠CPF＝∠COF＝90°，
即∠COD＝90°，
∴CD=OC2+OD2=42+42=42；
当DP＝DF时，∠DPF＝∠DFP，
∵∠FPO＝∠FOP，
∴∠PFD＝∠FPO+∠FOP＝2∠FPO，
∴∠DPF＝2∠FPO，
∵∠CPO＝∠COP，∠FPO＝∠FOP，∠OCD＝∠ODC，
∴∠CPO＝∠COP＝∠FPO＝∠FOP，
∴∠CPO＝2∠FPO，
∵∠CPD＝180°，
∴2∠FPO+∠FPO+2∠FPO＝180°，
∴∠FPO＝36°，
∴∠FOP＝36°，∠DPF＝∠DFP＝72°，
∴∠PDF＝180°﹣72°×2＝36°，
∴∠FOP＝∠PDF，
∴PD＝PO，
设PD＝PO＝x，则AP＝4﹣x，MP＝4+x，
由（1）知△APD∽△CPM，
∴DPMP=APCP，
即x4+x=4-x4，
解得x=25-2或x=-25-2（不合题意，舍去），
∴PD=25-2，
∴CD=CP+PD=4+25-2=25+2；
当FD＝FP时，∠FDP＝∠FPD，
∵FP＝FO，
∴FD＝FO，
∴FD=12DO，
∵∠OCD＝∠ODC，
∴∠FPD＝∠OCD，
∴PF∥CO，
∴△DPF∽△DCO，
∴DPDC=DFDO=12，
∴DP=12DC，
即DP＝CP，
∵CP＝CO，
∴CD＝4+4＝8，不合题意，故此种情况不存在；
综上，CD的长为42或25+2．